Презентация на тему "Метод мажорант"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  ФЕСТИВАЛЬ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ И ТВОРЧЕСКИХ РАБОТУЧАЩИХСЯ «ПОРТФОЛИО»«Метод мажорант»Работа ученицы 11 «А» классаГосударственного образовательного учреждения лицея №1571 Северо-Западного окружного управления Департамента образования города МосквыКисловой АнныНаучный руководитель учитель математикилицея №1571 Свежевская Ольга ГеннадьевнаНаучный консультант учитель математики Бохонова Клавдия Васильевна, Заслуженный учитель России2007 год

• 
  Слайд 2
  

  Заинтересовавшись поисками универсальных методов решения математических задач, ученица решила более обстоятельно изучить и изложить один из таких способов – решение уравнений и неравенств так называемым «методом мажорант». Аня начала накапливать материал, пользуясь различными пособиями по алгебре и началам анализа, вариантами вступительных письменных экзаменов по математике различных ВУЗов. Когда вышло в свет пособие для подготовки и проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы (под ред. С.Шестакова), то ученица и там обнаружила множество красивых задач, к которым применим исследуемый ею метод. По мере накопления материала научный руководитель Ольга Геннадьевна предоставляла девочке возможность на уроке рассказывать детям о своих находках. Выступление ученицы в роли учителя, безусловно, и самой ей помогло глубже изучить проблему, а задаваемые старшеклассниками вопросы заставляли её искать научно-обоснованные, но в то же время доступные школьникам приёмы изложения материала. Неоценимую помощь оказала Кислова Аня девятиклассникам, штудирующим в настоящее время сборники подготовительных задач к экзамену по алгебре за курс основной школы и ЕГЭ. И девятиклассники, и одиннадцатиклассники непременно встретят на любом экзамене задания повышенной сложности, решаемые методом мажорант. Есть в проекте и задачи самого автора. Поскольку нет предела совершенствованию, то накопление материалов по данной теме будет продолжено следующими поколениями учащихся, а Кисловой Анне мы выразим благодарность за её творческий общественно-полезный труд. Представляем на ваш суд её проект. Кислова Анна, ученица 11 «А» класса Свежевская Ольга Геннадьевна, учитель математики, руководитель проекта

• 
  Слайд 3
  

  Перед вами обложка пособия, выпущенного издательством лицея №1571 СЗОУО г. Москвы 2007

• 
  Слайд 4

  Цели проекта:

  сконцентрировать в одном пособии задачи, решаемые методом мажорант; показать ученикам практически универсальный алгоритм решения многих задач этим методом; заинтересовать читателя решением нестандартных задач, стимулировать самостоятельный поиск и создание собственных задач подобного типа. пополнить библиотеку методических пособий в школьном кабинете математики; передать этот проект в школьное издательство для создания брошюры «метод мини-макс»; на базе данного проекта провести 2-3 факультативных занятия для наших старшеклассников, что будет немало способствовать повышению их уровня математического развития. Задачи проекта:

• 
  Слайд 5
  

  Решить неравенство: Решение Оценим левую часть неравенства: 1. это неравенство верно при любых значениях , причём существуют значения , при которых достигаются и значение 0, и значение 1. это неравенство верно при любых значениях , причём существуют значения , при которых достигаются и значение 0, и значение 1. 3. это неравенство верно при любых допустимых значениях х. (Искать допустимые значения х не обязательно, вы в этом сейчас убедитесь). Теперь вчитаемся в условие. Сумма трёх неотрицательных чисел не может быть меньше нуля, а равна нулю тогда и только тогда , когда каждое слагаемое равно 0. Метод мажорант К 11 классу мы с одноклассниками решили сотни различных уравнений и неравенств. Исследуя различные способы их решения, я пришла к выводу, что наиболее красивым, наиболее универсальным способом поиска решений является именно этот метод. Очень возможно, что кто-то из вас и не слышал такое выражение, как «метод мажорант». На самом деле, вы встречались с этим методом, просто не знали, как он называется. Некоторые математики называют этот метод по-другому: «метод математической оценки», «метод mini-max». Это очень красивый метод, и ему непременно надо научить всех.

• 
  Слайд 6
  

  Здесь достаточно решить одно из уравнений системы и проверить, подходят ли полученные значения х для остальных уравнений. Выберу самое лёгкое для решения уравнение, а именно третье: Теперь проверим, являются ли найденные корни третьего уравнения корнями других уравнений системы. равенство верное; Проверим первое значение переменной : равенство неверное Значит, не является решением данной системы. Проверим второе значение х: равенство верное; равенство верное Значит, решением системы является. Ответ:

• 
  Слайд 7
  

  3 1 1 Y X Y=3 Вершина параболы, стоящей в левой части неравенства, имеет координаты x=1, y=3. Наименьшее значение функции равно 3 при x =1. У графиков данных функций только одна общая точка с координатами x=1,y=3 Ответ: 1

• 
  Слайд 8
  

  8 -8 Y X 5 Y=8 Вершина параболы, стоящей в правой части уравнения, имеет координаты x=5, y=8. Область значений выражения, стоящего в левой части уравнения [-8;8]. У графиков данных функций нет общих точек. Ответ: нет решений

• 
  Слайд 9
  

  Не удивляйтесь, что только на этих страницах, а не раньше, я решила изложить теоретические основы метода и снова затем продолжу решение задач. Теория станет более понятной, когда я с вами уже рассмотрела несколько примеров. В одном из пособий мы встречаем такое определение: «Мажорантой данной функции на множестве P называется такое число M, что либо для всех , либо для всех ». Мы знаем много мажорант для известных функций. Например, любое число, больше или равное 1, будет мажорантой для функций и на любом множестве. Основная идея метода мажорант состоит в следующем: Пусть мы имеем уравнение и существует такое число M, что для любого xиз области определения и имеем: и , тогда уравнение эквивалентно системе: Естественно, у вас возникнет вопрос: «Как же искать такое число M?»

• 
  Слайд 10
  

  Существует несколько приёмов нахождения данного числа М. I способсвязан с нахождением области значений заданных функций. Пример Решить уравнение Решение Проанализируем сначала правую часть уравнения. Рассмотрим квадратичную функцию , графиком которой будет являться парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём координаты вершины данной параболы. Я думаю, что все знают, как это делается, поэтому не буду расписывать всё; координаты вершины (5;8). Тогда область значений этой квадратичной функции , причём значение 8 она принимает только один раз при х=5. В левой части уравнения находится функция . Область значение её [-8,8]. Значит, если графики этих функций имеют общую точку, то её ордината может быть только 8. Данное уравнение равносильно системе: Второе уравнение системы имеет единственный корень 5 , но при выполнении проверки первого уравнения получаем неверное равенство из чего делаем вывод, что система, а значит, и исходное уравнение, не имеет решений. Ответ: решений нет.

• 
  Слайд 11
  

  Ответ: 5

• 
  Слайд 12
  

  Решить уравнение Решение Проанализируем правую часть уравнения. Рассмотрим квадратичную функцию , графиком которой будет являться парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём координаты вершины. Координаты вершины параболы (3;1). Значения этой квадратичной функции больше или равны 1, причём значение 1 функция принимает только один раз – при х=3. . Значения левой части данного уравнения не превосходят 1. Равенство между значениями данных функций может достигаться только тогда, когда обе части уравнения принимают значение 1. Следовательно, данное уравнение равносильно системе: Решив второе уравнение системы, получим . Проверяем, является ли число 3 корнем первого уравнения системы: равенство верное. Значит, значение 3 является решением исходного уравнения. Ответ: 3.

• 
  Слайд 13
  

  Решение На первый взгляд, это не простой пример, но решается он не так уж сложно. Начинаем опять с анализа составляющих неравенства. Функция имеет наибольшее значение равное 1, причём достигается оно только при х=-4. Учитывая, что функция возрастает , и , делаем вывод о справедливости неравенства при любом значении х. Большим единицы произведение в левой части данного уравнения никак не может быть. Неравенство равносильно системе: Решаем первое уравнение системы: Проверяем является ли число (-4) корнем второго уравнения системы. Проверка: равенство верное Ответ: -4 Рассмотрим теперь пример, содержащий логарифм. Решить неравенство

• 
  Слайд 14
  

  Рассмотрим неравенство с тремя (!) переменными. Решение Нас выручит метод мажорант. Начнём с оценки левой части неравенства. Так как для любого действительного числа справедливо неравенство , а значение арифметического квадратного корня неотрицательно , то Оценим правую часть неравенства: Следовательно, неравенство решений не имеет, так как и Ответ: решений нет.

• 
  Слайд 15
  

  II способ. При поиске решения уравнений и неравенств часто бывает полезным применение базовых неравенств

  Неравенство Коши равенство достигается в этом неравенстве при a = b . Если же , то Оценка однородного тригонометрического многочлена Тригонометрические неравенства Оценка двух взаимообратных чисел , если равенство достигается при

• 
  Слайд 16
  

  Ответ: Тогда значение дроби в правой части не больше 1 (меньше или равно 1) Значит, если данное уравнение имеет решения, то только тогда, когда обе части одновременно станут равными 1 при одних и тех же значениях переменных.

• 
  Слайд 17
  

  Ответ: 0

• 
  Слайд 18
  

  Решить систему уравнений: И тут снова на помощь приходит метод мажорант. Решение Рассмотрим первое уравнение системы Оценим левую часть уравнения как сумма двух взаимнообратных положительных чисел. Смотрите – система уравнений с тремя (!) переменными. Оценим правую часть уравнения Уравнение равносильно системе: Ответ: , , , Воспользуемся равенством для второго уравнения системы.

• 
  Слайд 19
  

  Решение Сначала запишем равносильное уравнение в удобном для нас виде: (*) Найдем наименьшее значение функции, стоящей в левой части уравнения, на отрезке . Отсюда видно, что f(x) возрастает на отрезках и , а убывает на отрезке . Значит, наименьшее значение функция f(x) принимает либо в точке , либо в точке . Но и , наименьшим значением функции f на данном отрезке оказалось значение 1. Итак, левая часть уравнения (*) не меньше 1 на отрезке , причем значение 1 может достигаться только при . А значение выражения в правой части уравнения (*) не больше 1. Значит, если значения функций совпадут, то этим значением может быть только 1. Проверкой убеждаемся, что и правая часть при х=1/2 принимает значение 1 . Ответ: 0,5 IIIcпособ. Нахождение мажоранты с помощью производной: Пример Найти все решения уравнения лежащие на отрезке

• 
  Слайд 20
  

  Дорогие девятиклассники!Для вас я решу несколько типичных заданий повышенной сложности из Сборника задач для подготовки и проведения экзамена по алгебре за курс основной школы (под редакцией С.Шестакова). Такие же задания ждут вас на предстоящем ЕГЭ (Едином государственным экзамене). И снова нас выручит метод мажорант. Решение Поскольку дискриминант каждого квадратного трёхчлена, стоящего под знаком арифметического квадратного корня, отрицателен, то при любых значениях переменной Х они принимают только положительные значения (коэффициент при Х2 положителен) Сумма неотрицательного числа (х-2)2 и числа 1 не меньше 1, а сумма неотрицательного числа и числа 5 не меньше 5. Тогда Причём знак равенства можно будет ставить только в случае, если Х=2, в остальных случаях сумма дробей в левой части уравнения окажется меньше числа 7/5, а нам этого не нужно. Математики говорят, что дробь 7/5 является мажорантой для функции 3.3 D 08(а) Решить уравнение f(x)= Ответ: 2

• 
  Слайд 21
  

  Мне показался интересным пример Значения первого арифметического квадратного корня больше или равны 1, причём равно 1 только в случае, если верно равенство . Аналогично, значения второго арифметического квадратного корня не меньше 5 (больше или равны 5). Следовательно, согласно методу мажорант, или методу «мини-макс», как его ещё называют, левая часть уравнения имеет минимум, равный 6, а правая часть представляет собой постоянную функцию со значением 6. Но чтобы значения функций совпали, надо проверить, имеет ли решение система: х-2у+1=0, 3х-у-2=0. Единственное решение этой системы (1;1) Ответ: (1;1) Решение Решение Число 2 – наименьшее значение выражения, стоящего в левой части неравенства, причём достигается оно лишь при х = -2. Число 2 – наибольшее значение дроби, стоящей в правой части неравенства, причём достигается оно лишь при у=3. Левая часть неравенства никогда не станет меньше 2. Согласно применяемому нами методу остаётся единственная возможность, чтобы обе части неравенства приняли значение 2. Ответ: (-2;3) 4.2. D08. Решить уравнение На первый взгляд, следующее неравенство сложно уже хотя бы тем, что оно с двумя переменными. Но метод «мини-макс», или метод мажорант и здесь нас выручит.

• 
  Слайд 22
  

  Рассмотрим задание 4.3 D10. Решить неравенство, зная, что значения Х и У – целые числа. Решение По условию, Х и У целые числа, а тогда значения подкоренных выражений окажутся тоже целыми числами. Нельзя допустить, чтобы значения подкоренных выражений оказались больше или равны 1 (тогда неравенство не будет выполнено). Значит, нам ничего не остаётся, как потребовать, чтобы значения подкоренных выражений, будучи целыми в то же время были и меньше 1. Да это же целое число 0, и ничего другого! Составим и решим систему 3х-2у-4=0 2х+3у-7=0 Эта система имеет единственное решение (2;1) Ответ: (2;1)

• 
  Слайд 23
  

  Предлагаю свой собственный пример. Решить уравнение Ответ:

• 
  Слайд 24

  Задачи для самостоятельного решения:

  Пример Ответ 3 0,25

• 
  Слайд 25

  Таким образом:

  Представленная нами работа будет очень полезна школьникам для подготовки к поступлению в ВУЗ. Работа будет полезна и студентам, потому что рассмотренный нами метод может быть с успехом применен и к решению многих задач по высшей математике; Подготовка старшеклассников к олимпиадам обязательно должна включать в себя и решение задач методом мажорант.