Презентация на тему "Методы решениятригонометрических уравнений"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Методы решениятригонометрических уравнений

  Решение простейших тригонометрических уравнений     Решение тригонометрических уравнений разложением на множители Решение тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным уравнениям Решение тригонометрических уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение Решение тригонометрических уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму Решение тригонометрических уравнений с применением формул понижения степени   Решение тригонометрических уравнений как однородное    Решение тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки  Решение тригонометрических уравнений с помощью замены неизвестного  Решение тригонометрических уравнений с помощью оценки левой и правой частей уравнения (метод оценок) Решение тригонометрических уравнений содержащих тригонометрические функции под знаком радикала

• 
  Слайд 2
  

  К определению тригонометрического уравнения различные авторы учебных пособий подходят по-разному. Мы назовём тригонометрическим уравнением равенство тригонометрических выражений, содержащих неизвестное (переменную) только под знаком тригонометрических функций. Уравнения вида и т.д. – тригонометрические уравнения.

  Уравнения вида и т.д. не являются тригонометрическими, они относятся к типу трансцендентных уравнений и, как правило, решаются приближенно или графически.

• 
  Слайд 3
  

  Решить тригонометрическое уравнение – значит, найти все его корни – все значения неизвестного, удовлетворяющие уравнению.

  Простейшими тригонометрическими уравнениями являются: , где , где

• 
  Слайд 4

  1.   Решение простейших тригонометрических уравнений

  По определению арифметического квадратного корня перейдем к равносильной системе уравнений. Ответ:

• 
  Слайд 5

  2. Решение тригонометрических уравнений разложением на множители

  Пример. х = 2πn, nϵZ Отметим полученные решения и область определения на тригонометрическом круге. Ответ:

• 
  Слайд 6
  

  3. Решение тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным уравнениям Пусть тогда или

• 
  Слайд 7
  

  Корней нет Ответ:

• 
  Слайд 8
  

  4. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение При решение уравнений данным способом необходимо знать формулы:

• 
  Слайд 9
  

  По формулам приведения  преобразуем разность синусов в произведение: или Ответ:

• 
  Слайд 10
  

  5. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму При решение уравнений данным способом необходимо знать формулы:

• 
  Слайд 11
  

  или Ответ:

• 
  Слайд 12
  

  6. Использование формул понижения степени При решение уравнений данным способом необходимо знать формулы: или или Ответ:

• 
  Слайд 13
  

  7. Однородные уравнения Уравнения и т.д. называют однородными относительно и Сумма показателей степеней при и всех членов такого уравнения одинакова. Эта сумма называется степенью однородного уравнения. Рассмотренные уравнения имеют соответственно первую, вторую и третью степень. Делением на ,где - степень однородного уравнения, уравнение приводится к алгебраическому относительно функции Разделим обе части уравнения на Ответ:

• 
  Слайд 14
  

  Умножим правую часть уравнения на Разделим на и и Ответ:

• 
  Слайд 15
  

  8.Введение вспомогательного угла.  Рассмотрим уравнение вида:   a sin x + b cos x = c  где  a, b, c  – коэффициенты;   x – неизвестное. Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса,  а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1,  а сумма их квадратов равна 1.  Тогда можно обозначить их соответственно как  cos и sin  - так называемый вспомогательный угол и наше уравнение принимает вид:

• 
  Слайд 16
  
• 
  Слайд 17
  

  Так как  ,то  и уже являются соответственно косинусом и синусом определенного угла; ясно, что этот угол  Ответ: 

• 
  Слайд 18
  
• 
  Слайд 19
  

  9. Метод рационализации (метод универсальной тригонометрической подстановки) для уравнения вида  Известно, что если  , то выражаются рационально через  Вводим вспомогательное неизвестное так, чтобы после подстановки получилось рациональное уравнение относительно вспомогательного неизвестного.

• 
  Слайд 20
  

  Обозначим получим: Решим данное уравнение и получим следующие ответы: 1. если  то 2. если  то то у уравнения нет корней; 3. если  то , , , ,

• 
  Слайд 21
  

  - уравнение имеет решение. Ответ: 

• 
  Слайд 22
  

  (1) (2)

• 
  Слайд 23
  

  При переходе от уравнения (1) к уравнению (2), могла произойти потеря корней, значит необходимо проверить, являются ли корни уравнения  корнями данного уравнения.

• 
  Слайд 24
  

  Проверка. Если , тогда - не верно, значит  не является корнями исходного уравнения. Ответ: 

• 
  Слайд 25
  

  11. Решение тригонометрических уравнений с помощью оценкилевой и правой частей уравнения (метод оценок)   Пример 1. что невозможно. Ответ.  Решений нет.

• 
  Слайд 26
  

  Пример 2.

• 
  Слайд 27
  

  Пример 3. Пусть Подставляем во второе уравнение: Ответ. 

• 
  Слайд 28
  

  Пример 4. или Если Если то то , , Ответ. 

• 
  Слайд 29
  

  12.      Решение тригонометрических уравнений содержащих тригонометрические функции под знаком радикала Пример №1 Решим уравнение 2. или   Учитывая условие 1, sin x ≥ 0, решением системы будут серии : x = х =