Содержание
-
Однородные и неоднородные уравнения
Автор проекта: Воронин Матвей Юрьевич, 9 «Г» класс. Руководитель проекта: Шумихина Наталья Вениаминовна. МОУ «СОШ № 16 Вологда 2020
-
План решения уравнения.
Решение уравнений
-
Что такое однородные и неоднородные уравнения?
Однородными уравнениями называют уравнения, все слагаемые которых имеют одинаковую степень.(в левой части все одночлены имеют одинаковую степень, справа 0) Неоднородными уравнениями называют уравнения, все слагаемые которых не имеют одинаковую степень.(в левой части все одночлены не имеют одинаковую степень, справа 0)
-
Однородные уравнения.
Решение однородных уравнений сводится к делению каждого одночлена уравнения на наивысшую степень одной из неизвестных и дальнейшей замене переменных. Задание: решите уравнение 3x²−2xy−y²=0 Видим, что это уравнение однородное, разделим на y² (предположим, что y≠0). Получили: 3. Пусть t=3t²-2t-1=0. Видим, что t₁=1 является корнем данного уравнения, а t₁·t₂=t₂=
-
Получили, что =Отсюда следует, что y=x или y=−3x, тогда множество решений, удовлетворяющее уравнению, можно представить парой чисел: (m;g=m)или (a;b=−3a). Изобразим решение данного уравнения графически: 1)y=x ●прямая пропорциональность ●график − прямая ●точки прямой:
-
2)у=−3x ●прямая пропорциональность ●график − прямая ●точки прямой:
-
Изобразим график, показывающий множество решений данного уравнения:
-
Таким образом, координаты любой точки каждого из графиков являются решением данного уравнения.
-
Задание: решите уравнение (x²−x+1)³+2x⁴(x²−x+1)−3x⁶=0 Видим, что это уравнение однородное относительно переменных u=x²−x+1 и v=x². Проверив, что x=0 неявляется корнем данного уравнения, разделим его почленно на v³=x⁶. Получим уравнение: Положив Легко видеть, что у=1 — корень данного уравнения, поэтому,
-
разделив (у−1)(y²+y+3)=0
-
Обнаружив, что дискриминант квадратного уравнения D=1−12=−11 отрицательный, заключаем, что уравнение у³+2у−3=0 имеет единственный корень y=1. Это значит, осталось решить уравнение: Решая это уравнение, находим единственный корень х=1. Ответ: 1
-
Задание: решите задачу: При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, концентрация которого 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы? Заполним таблицу:
-
Таким образом масса чистой кислоты в 3 растворе равна 0,3(x+y); 0,2х+0,5у. Составим уравнение: 0,3(x+y)=0,2х+0,5у 0,3х+0,3у=0,2х+0,5у 0,2у=0,1х Ответ:
-
Линейные уравнения.
Линейное уравнение — уравнение с одной переменной вида ax=b, где aи b — числа, х – переменная; a называется коэффициентом при переменной, b — свободным членом. Задание: решите уравнение 5х=42 Разделю обе части уравнения на 5, таким образом найдя корень уравнения: х=42/5 → х=8,4 Ответ: х=8,4
-
Задание: решите уравнение 7х+5=47 Для начала вычтем из обеих частей уравнения по 5, приведя его к стандартному виду: 7х=42. Затем разделим обе части уравнения на 7, получим х=6, это и является корнем данного уравнения. Ответ: х=6
-
Квадратные уравнения.
Квадратное уравнение — уравнение вида ax²+bx+c=0 (a≠0), где х- переменная, a, b, c —числа. Квадратное уравнение называют полным, если b, c ≠0; неполным, если b=0, либо c=0, либо b=c=0. Неполные квадратные уравнения решаются вынесением общего множителя или извлечением квадратного корня. Корни полного квадратного уравнения находятся поформуле
-
·=; (x₁, x₂ —корни квадратного уравнения) Задание: решите уравнение х²-20=0 Разложим левую часть уравнения по формуле разности квадратов получим (х-2)(х+2)=0, отсюда видно, что х=±2 Ответ: х=±2 Задание: решите уравнение х²-2х-35=0 Так как х·х==-35, а хх==2, то увидим, что корни этого уравнения это 7 и -5.
-
Ответ: х=-5; х=7 Задание: решите уравнение 2х²-11х-21=0 D=b²-4ac=(-11)²-4·2·(-21)=121+168=289=17² x₁====7 x₂====-1,5 Ответ: х=-1,5; х=7
-
Возвратные уравнения 3 степени.
Возвратными уравнениями 3 степени называют уравнения вида ax³+bx²+bx+a=0, где a≠0, х – переменная, а, b – числа. Возвратными уравнения 3 степени решаются при помощи разложения левой части уравнения на множители: ax³+bx²+bx+a= a(x³+1)+bx(x+1)= a(x+1)(x²−x+1)+bx(x+1)= = (x+1)(a(x² −x+1)+bx) Задание: решите уравнение 2хᶟ+7х²+7х+2=0
-
Разложим левую часть уравнения на множители: 2x³+7x²+7x+2=2(x³+1)+7x(x+1)= 2(x+1)(x²−x+1)+ +7x(x+1)= (x+1)(2(x² −x+1)+7x)=(x+1)(2x²−2x+2+7x)= =(x+1)(2x²+5x+2) Запишем первоначальное уравнение, заменив левую часть: (x+1)(2x²+5x+2)=0, отсюда следует, что х+1=0 или 2x²+5x+2=0 Решив оба уравнения, получаем: x₁=−1 или x₂=−2, x₃=−0,5 Ответ: −2, −1, −0,5
-
Биквадратные уравнения.
Биквадратными уравнениями называют уравнения вида ax⁴+bx²+c=0, где а≠0, а, b,c – числа; x — переменная. Решаются биквадратные уравнения приведением их к квадратным уравнениям с помощью замены x²=t и дальнейшем решении квадратного уравнения с обратной заменой. Задание: решите уравнение 4х⁴-5х²+1=0 Совершим замену: x²=t; t≥0. Получим уравнение: 4t²−5t+1=0 Очевидно, что t₁=1, а t₁∙t₂=0,25. Значит t₂=0,25
-
Совершим обратную замену: x²=1 и x²=0,25, следовательно x₁¸₂=±1; x₃¸₄=±0,5 Ответ:x₁¸₂=±1; x₃¸₄=±0,5
-
Возвратные уравнения 4 степени.
Возвратные уравнения 4 степени — уравнения видаax⁴+bxᶟ+cx²+bx+a=0,где а≠0, х — переменная; a, b, c —числа. Возвратные уравнения 4 степени решаются делением всех одночленов, входящих в уравнение на х² и дальнейшем введением переменной y=x+ уравнение приводится к квадратному. Задание: решите уравнение x⁴-4xᶟ+x²+4x+1=0 Проверив, что х=0 не является корнем уравнения, разделим на x², получим x²-4х+1+=0. Введём новую переменную y=x-
-
Уравнение принимает вид: у²-4у+3=0. Заметим, что у=1 является корнем данного уравнения, а у·у==3, тогда у₂=3. Совершив обратную замену и решив 2 квадратных уравнения получаем корни данного уравнения x₁¸₂=, ; x₃¸₄= Ответ:x₁¸₂=, ; x₃¸₄=
-
Обобщённо-возвратные уравнения 4 степени.
Обобщённо-возвратные уравнения 4 степени — уравнения вида ax⁴+bxᶟ+cx²+kbx+k²a=0, где а≠0, х -переменная;b, c, k, a — числа. Обобщённо-возвратные уравнения 4 степени решаются делениемвсех одночленов, входящих в уравнение на x² и дальнейшем введении переменной у=х+ приводится к квадратному. Задание: решите уравнение 3x⁴-2xᶟ-31x²+10x+75=0 Перепишем уравнение в виде 3x⁴-2xᶟ-31x²+(-5)(-2)х+(-5)²·3=0. Видим, что уравнение обобщённо-возвратное четвертой степени.
-
В нём k=(-5), а=3. Проверив, что х=0 не является корнем данного, разделим на х² каждый одночлен этого уравнения и вынесем общие множители слагаемых, получили: 3(x²+)-2(x-)-31=0. Произведем замену у=x-²-2у-1=0. Найдем корни данного уравнения – это 1 и -, произведем обратную замену и решим 2 квадратных уравнения, получим корни и Ответ: и
-
Способы решения произвольных уравнений.
В данной презентации рассматривались уравнения, имеющие определенный вид. Для их решения люди нашли способы решения, и они стали стандартными. Далее в презентации я представлю способы решения произвольных уравнений, которые могут не работать с каждым из них, но они значительно упрощают поиски решений конкретного уравнения.
-
Решение уравнений через ОДЗ.
Иногда для решения уравнения достаточно рассмотреть область допустимых значений. Рассмотрим такой пример: Задание: решите уравнение 773х³-266х+=577х²-70х- Рассмотрим ОДЗ: и у неравенств, получим, что единственным возможным корнем уравнения может являться 1.Подставим 1 в уравнение и получим верное числовое равенство, таким образом мы решили уравнение. Ответ: 1 Если бы мы пытались избавиться от квадратного корня, то получили бы огромные числа и степень многочлена явно больше 10.
-
Решение уравнений с помощью анализирования.
Перед тем, как решать уравнение, нужно проанализировать, а может ли оно иметь корни? Рассмотрим подобный пример: Задание: решите уравнение 2х⁶+х⁴+х²+1=0 Заметим, что все степени при переменных четные, а значит значения 2х⁶;х⁴;х² не могут быть отрицательны, да к тому же неотрицательное значение складывается с положительным, а значит оно не может равняться нулю. Ответ: решений нет
-
Решение уравнения с помощью рассмотрения его как квадратного.
Задание: решите уравнение Возведём обе части уравнения в квадрат, получим х⁴+25-10х²-х-5=0 Произведем замену t=5, получим t²-(2х²+1)t+х⁴-х=0,найдём дискриминант данного уравнения: D=4x⁴+1+4x²-4x⁴+4x=4x²+4x+1= =(2x+1)². Далее найдем корни данного уравнения: t₁‚₂= → и t=Совершаем обратную замену и получаем 2 квадратных уравнения: х²+х-4=0 и х²-х-5=0. Решаем эти уравнения через дискриминант и получаем 4 корня:
-
; . Важно найти ОДЗ и сравнить с полученными результатами: х²-5и х+5, решая это уравнение получаем промежутки на числовой прямой . Сравнив корни уравнений с ОДЗ понимаем, что только 2 из них являются решениями первоначального уравнения. Ответ: ;
-
Решение уравнений с помощью метода неопределённых коэффициентов.
Метод неопределённых коэффициентов заключается в том, чтобы разложить уравнения на множители. Рассмотрим такой пример ― Задание: решите уравнение 6х⁴+23х³+31х²+31х-7=0 Распишем уравнение, разложив на множители: (ax²+bx+c)(dx²+ex+f)=0. Раскроем скобки и вынесем общие множители, получили: adx⁴+x³(ae+bd)+x²(af+be+cd)+x(bf+ce)+cf=0. Сопоставим полученное уравнение с изначальным и составим систему уравнений:
-
С помощью подбора найдем корни: a=3, b=4, c=7, d=2, e=5, f=-1. Таким образом перепишем первоначальное уравнение, разложив его на множители: 6х⁴+23х³+31х²+31х-7= =(3х²+4х+7)(2х²+5х-1). Первое уравнение не имеет корней, а второе имеет корни .
-
Ответ:
-
Решение уравнений, имеющих хотя бы 1 целый корень.
Существует теорема, которая гласит, что если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет хотя бы один целый корень, то он находится среди делителей свободного члена. Рассмотрим подобное уравнение. Задание: решите уравнение х⁴+2х³-11х²+4х+4=0 Рассмотрим все делители свободного члена: ±1, ±2, ±4. Подставив все делители вместо переменной, мы видим, что корнями данного уравнения являются х=1 и х=2, тогда разделим х⁴+2х³-11х²+4х+4 на (х-1)(х-2)=х²-3х+2.(Пример деления столбиком многочлена на многочлен приведён на слайде 10)
-
Решение уравнений, имеющих хоть 1 целый корень.
Получили многочлен х²+5х+2. Таким образом х⁴+2х³-11х²+4х+4=(х--1)(х-2)(х²+5х+2)=0, далее, решив квадратное уравнение х²+5х+2=0, мы получаем 2 корня х₃‚₄= Ответ: 1; 2;
-
Решение уравнений, имеющих хоть 1 рациональный корень.
Существует теорема, которая гласит, что если уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональный корень, то оно представлено в виде отношения делителя свободного члена к делителю старшего коэффициента. Рассмотрим подобное уравнение. Задание: решите уравнение 6х³-11х²-2х+8=0 Рассмотрим возможные корни, сначала целые, потом рациональные, заметим, что является корнем данного уравнения, тогда разделим (6х³-11х²-2х+8) на (х-), получим 6х²-3х-6. Таким образом 6х³-11х²- -2х+8= (х-)(6х²-3х-6). Решив данное квадратное уравнение мы
-
получаем корни Ответ: ;
-
Вывод по презентации.
Данная презентация подошла к концу, в ней была рассмотрена очень важная тема — решение уравнений. Я постарался изложить максимально подробно изученный мной материал, но тем не менее это лишь маленькая часть от этой обширной темы. Призываю всех изучать математику, любить математику всем сердцем, видеть её красоту, она может как сделать ваш досуг увлекательным, так и иметь практическое применение в вашей жизни!
-
Литература.
Новейший полный справочник школьника по математике (5 – 11 классы). Издательство – «Эксмо», Москва, 2008. Учебное пособие для учащихся 9 класса с углублённым изучением математики под редакцией Н.Я.Виленкина. Издательство – «Просвящение», Москва, 2001. Интернет ресурс: https://www.resolventa.ru/spr/algebra/red2.htm Ютуб канал: https://www.youtube.com/channel/UCLDpIKDTFBSwIYtAG0Wpibg?
-
Спасибо за внимание!
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.