Презентация на тему "Решение уравнений содержащих неизвестную под знаком модуля"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ МОРДОВИЯ МОУ «ИНСАРСКАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №1» Конкурс проектно – исследовательских работ «Интеллектуальное будущее Мордовии – 2008» Секция: математика Научный руководитель: Чудаева Е. В., учитель математики Автор работы: ЛУКИНА НИНА, 9 кл; Решение уравнений содержащих неизвестную под знаком модуля

• 
  Слайд 2
  

  ВНИМАНИЕ! При использовании наших материалов помните о соблюдении авторских прав!

• 
  Слайд 3
  

  Объект исследования: Предмет исследования: решение уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля способы решения уравнений Цель работы: ознакомление учащихся с теоретическими основами решения уравнений с модулем, рекомендациями к решению, алгоритмирование процесса решения уравнений содержащих неизвестную под знаком модуля

• 
  Слайд 4
  

  Работа с литературными источниками. 2) Математическое моделирование постановки задачи для построения графического образа линий, входящих в данное уравнение. 3) Эксперимент: исследование различных подходов и методов решения уравнений; исследование изменения вида кривой, в зависимости от параметров входящих в её уравнение . Методы исследования:

• 
  Слайд 5
  

  ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА 1. Решение уравнений. 1.1.Определение модуля. Решение по определению 1.2. Решение уравнений по правилам 1.3. Задачи с несколькими модулями. Последовательное и параллельное раскрытие модулей 1.4. Метод интервалов в задачах с модулями 1.5. Вложенные модули 1.6. Модули и квадраты 1.7. Модули неотрицательных выражений ГЛАВА 2. Функционально-графический способ решения задач. 2.1. Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины 2.2. Построение графиков уравнений, содержащих знак модуля 2.3. Графическое решение уравнений, содержащих знак модуля 2.4. Графическое решение задач с параметром и модулем ЗАКЛЮЧЕНИЕ ЛИТЕРАТУРА ПРИЛОЖЕНИЕ.Исследование вида графического образа заданного неравенством , в зависимости от параметров a иb Содержание работы

• 
  Слайд 6
  

  1.1.Определение модуля. Решение по определению. По определению, модуль, или абсолютная величина, неотрицательного числа a совпадает с самим числом, а модуль отрицательного числа равен противоположному числу, то есть – a: Запишем решение простейших уравнений в общем виде: Пример. Решить уравнение |x –3| = 3 – 2x. Рассматриваем два случая. При x – 3> 0 уравнение принимает вид x – 3 = 3 – 2x, откуда x = 2. Но это значение не удовлетворяет неравенству x – 3 > 0, потому не входит в ответ исходного уравнения. При x – 3 

• 
  Слайд 7
  

         2-е правило:  |f(x)| = g(x) Û        1-е правило: |f(x)| = g(x)  Û ЗАМЕЧАНИЕ. Фигурные скобки обозначают системы, а квадратные – совокупности. Решения системы уравнений – это значения переменной, одновременно удовлетворяющие всем уравнениям системы. Решениями совокупности уравнений являются все значения переменной, каждое из которых есть корень хотя бы одного из уравнений совокупности. 1.2. Решение уравнений по правилам

• 
  Слайд 8
  

  |f(x)| = |g(x)| Û Пример . Решить уравнение |x2 – x – 6| = |2x2 + x – 1|. Решение. Мы уже знаем, что рассматривать (целых 4) варианта распределения знаков выражений под модулями здесь не нужно: это уравнение равносильно совокупности двух квадратных уравнений без каких-либо дополнительных неравенств: Которая равносильна: Первое уравнение совокупности решений не имеет (его дискриминант отрицателен), второе уравнение имеет два корня . Ответ:

• 
  Слайд 9
  

  Третий способ освобождения от модуля – замена переменной Пример . Решить уравнение: Решение. Заметим, что , тогда уравнение примет вид: Пусть , тогда решим квадратное уравнение: Его корни , условию удовлетворяет первый корень. Возвращаясь к переменной х, получаем уравнение решая которое находим: Ответ: .

• 
  Слайд 10
  

  Задачи с несколькими модулями. Два основных подхода к решению. Сначала один из модулей изолируется в одной части уравнения (или неравенства) и раскрывается одним из описанных ранее методов. Затем то же самое повторяется с каждым из получившихся в результате уравнений с модулями и так продолжается, пока мы не избавимся ото всех модулей. Можно снять сразу все модули в уравнении или неравенстве и выписать все возможные сочетания знаков подмодульных выражений. При снятии модуля может получить один из двух знаков – плюс или минус. Эти области определяются знаками выражений под модулями. «последовательное» раскрытие модулей «параллельное»раскрытие модулей

• 
  Слайд 11
  

  Решение. Уединим второй модуль и раскроем его, пользуясь первым способом, то есть просто определением абсолютной величины: К полученным двум уравнениям применяем второй способ освобождения от модуля: Ответ: -1;   Наконец, решаем получившиеся четыре линейных уравнения и отбираем те их корни, которые удовлетворяют соответствующим неравенствам : Пример. Решить уравнение: 1способ

• 
  Слайд 12
  

     Лишь первый и третий из этих корней удовлетворяют соответствующим неравенствам, а значит, и исходному уравнению. Пример. Решить уравнение: 2способ Решение. Рассмотрим 4 возможных набора знаков выражений под модулями. Ответ: -1;

• 
  Слайд 13
  

  Метод интервалов в задачах с модулями. Пусть имеется уравнение, в которое входят три модуля от линейных выражений; например: |x – a| + |x – b| + |x – c| = m.        Первый модуль равен x – a при x ³ a и a – x при x 

• 
  Слайд 14
  

  . Пример. Решить уравнение: Решение. Найдем нули функции x+2=0 илиx+3=0 , откуда x=-2 , x=-3. Рассмотрим 3 возможных набора знаков выражений под модулями. Решаем задачу на каждом интервале: Итак, данное уравнение не имеет решений. Ответ:

• 
  Слайд 15
  

  Вложенные модули Последовательное раскрытие модулей наиболее эффективно в "задачах-матрешках", где внутри одного модуля находится другой, а то и несколько. Пример. Решить уравнение: Решение. Освободимся от внешнего модуля, получим: Второе уравнение совокупности решений не имеет, так как модуль всегда положителен, а первое уравнение равносильно совокупности: Ответ: 0; 2.

• 
  Слайд 16
  

  Модули и квадраты Существует простой и быстрый способ освобождения от знака модуля в уравнениях вида |f(x)| = |g(x)|: Он основан на двух очевидных соображениях. Во-первых, из двух неотрицательных чисел то больше, квадрат которого больше, а если квадраты равны, то и числа равны: a > b Û a2 > b2; a = b Ûa2 = b2.     Во-вторых, квадрат модуля числа равен квадрату самого числа: |a|2 = a2. Поэтому допускается такое равносильное преобразование: Эту же идею можно применить к уравнениям или неравенствам, одна часть которых равна нулю, а другая содержит разность модулей как сомножитель. В такой задаче разность модулей можно заменить разностью квадратов тех же выражений:

• 
  Слайд 17
  

  Модули неотрицательных выражений. Пример 1. Решить уравнение: Решение. Нетрудно догадаться, что все выражения, стоящие под знаком второго, третьего и т.д. модулей положительны. И поскольку модуль положительного выражения равен самому этому выражению, получим Ответ: 0 Пример 2. Решить уравнение: Решение. Воспользуемся тождеством , и получим уравнение , решая которое методом интервалов получим ответ Ответ:

• 
  Слайд 18
  

  Графическое решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины. Решить уравнение : 3| x + 2 | + x 2 + 6x + 2 = 0. Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики функций Парабола пересеклась с «уголком» в точках с координатами (-4; 6) и (-1; 3), следовательно, решениями уравнения будут абсциссы точек: Ответ:

• 
  Слайд 19
  

  Графическое решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины. Решить равнение: | 4 – x | + | (x – 1)(x – 3) | = 3. Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики функций Парабола пересеклась с «уголком» в точках с координатами (1; 0), (2; 1) и (4; 3), следовательно, решениями уравнения будут абсциссы точек: Ответ:

• 
  Слайд 20
  

  Графическое решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины. Решить графически уравнение Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики: -2 2 Эти графики пересекаются в двух точках (-2; -3) и (2; 3), следовательно, исходное уравнение имеет два решения Ответ:

• 
  Слайд 21
  

  Найти все значения а, при которых уравнение Данное уравнение равносильно совокупности Выражая параметр а, получаем: График этой совокупности – объединение уголка и параболы. пересекает полученное объединение в трех точках. имеет ровно три корня? Ответ: 1 2 3 4 5 -1 -2 -1 1 х а а = -1 Прямая

• 
  Слайд 22
  

  В процессе работы над темой «Решение уравнений содержащих неизвестную под знаком модуля» мы: Изучили литературу по данному вопросу. Познакомились с алгебраическим и графическим подходом к решению уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля. Исследовали количество решений уравнения, в зависимости от параметров входящих в её условие. и пришли к выводу: В ряде случаев при решении уравнений с модулем, возможно, решать уравнения по правилам, а иногда удобнее воспользоваться геометрический способ решения, который, к сожалению, не всегда применим, из-за сложности изображения линий входящих в условие задачи. При решении уравнений, содержащих модуль и параметр, графический способ является более наглядным и сравнительно более простым. ЗАКЛЮЧЕНИЕ