Презентация на тему "Методика обучения решению планиметрических задач"

Содержание

• 
  Слайд 1

  МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

  Лекция 1 ЧЕТЫРХУГОЛЬНИКИ Ларионова Наталья Евгеньевна, МАОУ Лицей математики и информатики

• 
  Слайд 2
  

  В школьных задачах по геометрии мы обычно рассматриваем выпуклые четырехугольники

• 
  Слайд 3
  

  В чем разница между ними? Если любые две точки выпуклого многоугольника соединить отрезком — весь отрезок будет лежать внутри многоугольника. Для невыпуклых фигур это не выполняется. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов. Произвольные четырехугольники в задачах по геометрии встречаются редко. Намного чаще — такие, у которых есть параллельные стороны. Это параллелограмм, ромб, квадрат, прямоугольник и трапеция.

• 
  Слайд 4

  В таблице собраны их определения и свойства.

• 
  Слайд 5
  

  Параллелограмм — это четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон.Свойства параллелограмма:Противоположные стороны параллелограмма равны.Противоположные углы параллелограмма равны.Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.

• 
  Слайд 6
  

  Давайте посмотрим, как свойства параллелограмма применяются в решении задач ОГЭ и ЕГЭ.Задача 1. Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.

  Пусть BМ и CK — биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к стороне BC. Сумма углов ABC и BCD равна 180   Углы OBC и OCB — половинки углов ABC и BCD. Значит, сумма углов ABC и BCD равна 90градусов. Из треугольника BOC находим, что угол BOC — прямой. Ответ: 90. Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, — перпендикулярны.

• 
  Слайд 7
  

  Легко доказывается и другое свойство биссектрис параллелограмма:Биссектрисы противоположных углов параллелограмма — параллельны.

  Задача 2. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.

• 
  Слайд 8
  

  Задача 2. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.

  Найдем на этом рисунке накрест лежащие углы. Углы DAE и BEA, а также CED и ADE — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны. Значит, угол DAE равен углу BEA, а угол CED — углу ADE. Получаем, что треугольники ABE и CDE — равнобедренные, то есть BE=AB, а EC=CD. Тогда BC = 5+5=10. Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

• 
  Слайд 9
  

  Прямоугольник и его свойстваПрямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.Диагонали прямоугольника равны.

• 
  Слайд 10
  

  Задача1. В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении 1:2, меньшая его сторона равна 6. Найдите диагональ данного прямоугольника.

  Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. Найдем, чему равен угол DBA и его синус, а затем найдем DB. Ответ: 12.

• 
  Слайд 11
  

  Рассмотрим еще одну задачу, в которой применяются свойства диагоналей прямоугольника.Задача 2. Острые углы прямоугольного треугольника равны 24и 66Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.  

  Казалось бы, при чем здесь прямоугольник? Дан прямоугольный треугольник, из вершины прямого угла проведены высота и медиана. А что можно сказать о длине этой медианы? Давайте достроим чертеж до прямоугольника. Поскольку диагонали прямоугольника равны (это свойство прямоугольника) и делятся пополам в точке пересечения, отрезки CM, BM и AM тоже будут равны. Каждый из них равен половине диагонали прямоугольника. Мы доказали теорему: В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

• 
  Слайд 12
  

  Итак, BM = CM, значит, треугольник BMC равнобедренный, и угол BCM равен 24. По свойству высоты, проведенной из вершины прямого угла, Углы ACH и ABC равны 24. Тогда угол MCH (между медианой и высотой треугольника ABC) равен 90-24-24=42. Ответ: 42.  

• 
  Слайд 13
  

  Центр описанной окружности — точка, равноудаленная от всех вершин треугольника. Очевидно, эта точка — середина гипотенузы.В прямоугольном треугольнике центром описанной окружности является середина гипотенузы.

  Задача 1. Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 5. Проведем диагональ AC. Получим, что AC равна 2R. Ответ: 10.

• 
  Слайд 14

  Ромб и его свойства

  По определению, ромб — это параллелограмм, все стороны которого равны. Свойства ромба: Диагонали ромба перпендикулярны. Диагонали ромба делят его углы пополам.

• 
  Слайд 15
  

  Воспользуемся свойствами ромба для решения задач.Задача 1. Найдите меньшую диагональ ромба, стороны которого равны 2, а острый угол равен 60  

  Проведем меньшую диагональ ромба и рассмотрим треугольник ADB. Поскольку AD = DB, а угол DAB равен 60, треугольник ADB — равносторонний. Следовательно, меньшая диагональ ромба равна 2.  

• 
  Слайд 16
  

  1. Найдите высоту ромба, сторона которого равна , а острый угол равен 60?  

  Один из подходов к решению задач по геометрии — метод площадей. Он состоит в том, что площадь фигуры выражается двумя разными способами, а затем из полученного уравнения находится неизвестная величина. Пусть a — сторона ромба. Отсюда найдем высоту

• 
  Слайд 17
  

  2. Диагонали ромба относятся как 3:4. Периметр ромба равен 200. Найдите высоту ромба.

  Пусть диагонали ромба равны 6x и 8x. Диагонали ромба перпендикулярны, значит, треугольник AOB — прямоугольный. По теореме Пифагора AB = AO^2 + OB^2, AB^2 = 9x^2 + 16x, AB^2 = 25x^2, Отсюда AB=5x. Поскольку периметр равен 200, 5x 4=200, x=10, AB=50, а диагонали ромба равны 60 и 80. Нам надо найти высоту ромба.   Давайте запишем, чему равна площадь ромба. С одной стороны, S = a h. С другой стороны, площадь ромба складывается из площадей двух равных треугольников ABC и ADC, то есть равна 60 40 = 2400. Отсюда h = S : a = 2400 : 50 = 48. Ответ: 48.  

• 
  Слайд 18
  

  Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.Можно дать и другое определение квадрата:квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

  Получается, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба. Квадрат относится к правильным многоугольникам. У правильного многоугольника все стороны равны и все углы равны. Перечислим свойства квадрата: Все углы квадрата — прямые, все стороны квадрата — равны.

• 
  Слайд 19
  

  3. Диагонали квадрата делятся точкой пересечения пополам. 4. Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов (делят его углы пополам). 5. Диагонали квадрата делят его на 4 равных прямоугольных равнобедренных треугольника. 2. Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом. Периметр квадрата P в 4 раза больше его стороны и равен: P=4a. Площадь квадрата равна квадрату его стороны: S=a^2.

• 
  Слайд 20
  

  Теорема 1. Диагональ квадрата равна произведению его стороны на то естьd=a.  

  Доказательство: Рассмотрим квадрат ABCD. Проведем диагональ квадрата AC. Треугольник АВС – прямоугольный с гипотенузой АС. Запишем для треугольника АВС теорему Пифагора: + =+=2 АС= ∙ a. что и требовалось доказать.  

• 
  Слайд 21
  

  Теорема 2. Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его стороны:r = a  

  Доказательство: Пусть окружность с центром в точке О и радиусом r вписана в квадрат АВСD и касается его сторон в точках P, M, N, K. Тогда OPAB, ON перпендикулярно CD, поскольку AB параллельно CD. Через точку О можно провести только одну прямую, перпендикулярную АВ, поэтому точки Р, О и N лежат на одной прямой. Значит, PN – диаметр окружности. Поскольку АРND – прямоугольник, то PN = AD, то есть 2r=a, r=a/2, что и требовалось доказать.  

• 
  Слайд 22
  

  Теорема 3. Радиус описанной около квадрата окружности равен половине его диагонали:R= a.  

  Доказательство: Диагонали квадрата АС и BD равны, пересекаются в точке О и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому OA=OB=OC=OD, т.е. точки A, B, C и D лежат на одной окружности, радиус которой R = d/2 (d=AC=BD). Это и есть описанная около квадрата АВСD окружность. По теореме 1: Тогда что и требовалось доказать.

• 
  Слайд 23
  

  Заметим, что периметр квадрата тоже можно связать с радиусами вписанной и описанной окружностей:P=4a=4R=8r.!Четырехугольник является квадратом, если выполняется хотя бы одно из условий:Все стороны равны и среди внутренних углов есть прямой угол.Диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам.