Презентация на тему "Определенный интеграл и его применение"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Определённый интеграл. Его применение

  Выполнила: Студентка группы К-11 ХК ДУТ Шкурко Виктория

• 
  Слайд 2

  План

  1. Понятие определённого интеграла 2. Пример 3. Свойства определённого интеграла 4. Определённый интеграл с переменным верхним пределом 5. Применение определенного интеграла Площадь криволинейной трапеции Длина кривой Площадь поверхности вращения Объем тела вращения

• 
  Слайд 3

  Понятие определённого интеграла

  Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a, b] (где) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. При этом употребляется запись

• 
  Слайд 4
  

  Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a, b] – отрезком интегрирования.

• 
  Слайд 5
  

  Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная функция для f(x), то, согласно определению: Равенство называется формулой Ньютона-Лейбница.

• 
  Слайд 6
  

  При a = b по определению принимается

• 
  Слайд 7
  

  Разность F(b) – F(a) кратко записывают так:

• 
  Слайд 8
  

  Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:

• 
  Слайд 9

  Пример

  Вычислить определённый интеграл: Решение. Произведём замену переменной, полагая: Тогда dt = 2x dx, откуда xdx = (1/2) dt, и подынтегральное выражение преобразуется так:

• 
  Слайд 10
  

  Найдём новые пределы интегрирования. Подстановка значений x = 4 и x = 5 в уравнение даёт а Используя теперь формулу получим: После замены переменной мы не возвращались к старой переменной, а применили формулу Ньютона-Лейбница к полученной первообразной.

• 
  Слайд 11

  Свойства определённого интеграла

  Теорема 1. Определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю, т.е. Это свойство содержится в самом определении определённого интеграла. Однако его можно получить и по формуле Ньютона-Лейбница:

• 
  Слайд 12
  

  Теорема 2. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. Пусть F(x) – первообразная для f(x). Для f(t) первообразной служит та же функция F(t), в которой лишь иначе обозначена независимая переменная. Следовательно: На основании формулы   последнее равенство означает равенство интегралов и

• 
  Слайд 13
  

  Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т.е.

• 
  Слайд 14
  

  Теорема 4. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций, т.е.

• 
  Слайд 15
  

  Теорема 5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям, т.е. если то:

• 
  Слайд 16
  

  Теорема 6. При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак, т.е.  

• 
  Слайд 17
  

  Теорема 7 (теорема о среднем). Определённый интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке внутри его, т.е.

• 
  Слайд 18
  

  Теорема 8. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна (положительна), то и определённый интеграл неотрицателен (положителен), т.е. если

• 
  Слайд 19
  

  Теорема 9. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции и непрерывны, то неравенство можно почленно интегрировать, т.е.  

• 
  Слайд 20

  Определённый интеграл с переменным верхним пределом

  Пусть f(x) – непрерывная на отрезке [a, b] функция, а F(x) – её первообразная. Рассмотрим определённый интеграл: где ,

• 
  Слайд 21
  

  А через t  обозначена переменная интегрирования, чтобы не путать её с верхней границей. При изменении х меняется и опредёленный интеграл     т.е. он является функцией верхнего предела интегрирования х, которую обозначим через Ф(х), т.е.

• 
  Слайд 22
  

  Докажем, что функция Ф(х) является первообразной для f(x) = f(t). Действительно, дифференцируя Ф(х), получим: так как F(x) – первообразная для f(x), а F(a) – постояная величина. Функция Ф(х) – одна из бесконечного множества первообразных для f(x), а именно та, которая при x = aобращается в ноль.

• 
  Слайд 23
  

  Вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной

  При выводе формулы интегрирования по частям было получено равенство udv = d(uv) – vdu. Проинтегрировав его в пределах от a до b и учитывая теорему 4 параграфа о свойствах определённого интеграла, получим

• 
  Слайд 24
  

  Как это следует из теоремы 2 параграфа о свойствах неопределённого интеграла, первый член в правой части равен разности значений произведения uv при верхнем и нижнем пределах интегрирования. Записав эту разность кратко в виде: получаем формулу интегрирования по частям для вычисления определенного интеграла:

• 
  Слайд 25

  Применение определенного интеграла

  Площадь криволинейной трапеции

• 
  Слайд 26

  Длина кривой

• 
  Слайд 27

  Площадь поверхности вращения

• 
  Слайд 28

  Объем тела вращения

• 
  Слайд 29

  Источники информации:

  http://function-x.ru/integral4.html Конспект лекций http://uztest.ru/abstracts/?idabstract=68542 http://osiktakan.ru/alg10.html

• 
  Слайд 30