Презентация на тему "Поиски различных способов решения планиметрической задачи" 11 класс

Применим такой метод решения задачи, когда педагог учит поиску решения, ставит вопросы, даёт указания в такой последовательности, чтобы ученики не просто запоминали предлагаемое им готовое решение, а сами его находили. При таком подходе учителю будет принадлежать направляющая, руководящая роль, а школьникам основная работа. Рассмотрим, как можно осуществить этот подход применительно к нашей задаче.

Учитель предлагает школьникам внимательно ознакомиться с условием задачи.

На слайде № 2 чертёж к задаче.

С В А К М Р

Учитель: Подумайте, какой вспомогательный треугольник можно рассмотреть и зачем?

Ученики затрудняются ответить.

Учитель даёт указания.

Учитель: Рассмотрите ΔКВМ и выразите отношения площадей SΔКСМ :S ΔКВМ и SΔКВМ :S ΔКРМ через отношения линейных элементов. Тогда, что вы сможете найти?

Ученики: Тем самым найдём отношение площадей искомых треугольников КСМ и КРМ через отношения линейных элементов.

Далее следует молчание. Ученики испытывают трудности при следующем шаге. Учитель советует.

Учитель: Попробуйте провести высоту из точки М в треугольниках КСМ и КВМ. Что вы заметили?

Ученики: Треугольники КСМ и КВМ имеют общую высоту, проведённую из вершины М. Поэтому, отношение их площадей равно отношению оснований КС и КВ.

Учитель: Запишите это равенство и запомните.

Ученики записывают: SΔКСМ :S ΔКВМ =КС:КВ (1)

Учитель: Как вы думаете для каких треугольников можно провести аналогичные рассуждения?

Ученики: Аналогичные рассуждения можно провести для треугольников КВМ и КРМ. Они имеют общую высоту, проведённую из точки К. Поэтому,

SΔКВМ :S ΔКРМ =ВМ:РМ (2).

Учитель: Подумайте, какие отношения можно получить, исходя из равенств (1) и (2)?

Ученики: Исходя из этих равенств, можно найти отношение площадей искомых треугольников КСМ и КРМ через линейные элементы. Для этого сначала выразим SΔКВМ из равенств (1) и (2) :

SΔКВМ= · SΔКСМ; SΔКВМ· SΔКРМ.

Следовательно, SΔКСМ: SΔКРМ= (3)

Учитель: Как можно упростить это отношение?

Ученики: Исходя из условия задачи, выразим длину отрезка ВМ через длину отрезка РМ. По условию РВ:ВМ =4:1, поэтому ВМ:РМ =1:5, то есть ВМ=

Значит, SΔКСМ: SΔКРМ = ·. (4).

Поэтому задача сводится к нахождению отношения . Очевидно, что это отношение надо пытаться связать с условием задачи. Только как это сделать?

Ученики затрудняются продолжить решение.

Учитель даёт указания.

Учитель: Ключевым моментом в этой задаче является вспомогательное построение: проведите из точки В отрезок ВНМА. Какой теоремой теперь можно воспользоваться?

Слайд №3.

Н С В А К М Р

Ученики: Теоремой о пропорциональных отрезках.

Учитель: Действительно, применение этой теоремы является одним из ключевых моментов при решении данной задачи выбранным способом. Сформулируйте и примените её.

Ученики: Стороны угла, пересекаемые параллельными прямыми, рассекаются ими на пропорциональные части.

Применим эту теорему для двух углов.

Для угла АРМ: РН : НА = РВ : ВМ.

Так как по условию РВ : ВМ = 4 : 1, то

РН : НА = 4 : 1 (5)

Для угла РКВ: КС : СВ = КА: НА (6)

Далее ученики затрудняются продолжить решение.

Учитель даёт совет.

Учитель: Вспомните, какую промежуточную задачу мы решаем и попытайтесь использовать при этом равенства (5) и (6).

Ученики: Данная задача была сведена к поиску отношения длин отрезков КС и КВ. Очевидно, что для этого достаточно найти отношение длин отрезков КС и СВ, используя равенства (6) и (5).

Воспользовавшись равенством (5), найдём . Но так как по условию перемножив эти два последних равенства, получим: . Тогда из равенства (6) будет следовать, что КС:СВ=5:3, а значит, КС:КВ=5:8.

Следовательно, SΔКСМ: SΔКРМ = · = 1:8.

Задача решена.

Учитель: Давайте попробуем решить задачу вторым способом, который начинается так же, как и первый, но доказательство того факта, что КС:СВ=5:3, проводится иначе.

Ученики: Может быть также, как и в первом способе выполнить вспомогательное построение?

Только, как это сделать?

Ученики затрудняются. Учитель даёт указания.

Учитель: Проведите две дополнительные прямые так, чтобы образовались две пары подобных треугольников.

Ученики: Попробуем провести через точку К прямую, параллельную стороне РМ, и продолжить отрезок МА до пересечения с этой прямой в точке Е.

Слайд №4.

Е С В А К М Р

Учитель: Это верное построение. Теперь самостоятельно подумайте над дальнейшими действиями.

Ученики: На чертеже мы видим две пары подобных треугольников: ΔЕАК подобен ΔМАР и

ΔЕКС подобен ΔМВС. Легко доказать, что они подобны по первому признаку подобия.

Один из учеников доказывает подобие этих треугольников.

Учитель: Продолжайте рассуждения. Вы на верном пути. Используя эти суждения, к каким умозаключениям можно придти?

Ученики: Понятно, что из подобия треугольников следует равенство отношений соответствующих отрезков. Осталось догадаться, какие это будут отношения и в какой последовательности их надо рассматривать?

Учитель: Вспомните какую промежуточную задачу мы решаем и продолжите дальнейшие действия.

Ученики: Нам надо доказать, что КС:СВ=5:3.

Учитель: А для этого какие треугольники надо рассмотреть?

Ученики: ΔЕКС и ΔМВС, так как из их подобия следует, что КС:ВС=ЕК:МВ.

Учитель: Попытайтесь теперь выразить отрезки ЕК и МВ через длину какого-нибудь одного отрезка.

Ученики: Используя подобие ΔЕАК и ΔМАР, получим: ЕК:МР=АК:АР. Так как по условию АК:АР=1:3, то ЕК:МР=1:3, а значит ЕК=МР. Очевидно, что длину отрезка МВ следует также выразить через длину отрезка МР. Это легко сделать, так как по условию РВ:ВМ=4:1. Значит, МВ= МР. Поэтому, КС:ВС= МР: МР=5:3.

Заканчивается решение задачи также, как и в первом способе.

Учитель: Как вы думаете, какое дополнительное построение, аналогичное построению во втором способе, можно провести?

Ученики: Через точку М можно провести прямую параллельную стороне КР и продолжить отрезок КВ до пересечения с этой прямой в точке О.

Слайд №5.

К А С В О М Р

Учитель: Завершите решение задачи третьим способом самостоятельно.

Ученики без труда заканчивают решение.

Для сильных школьников и тех, кто посещает факультатив, можно предложить решить эту задачу с помощью векторов и с помощью теоремы Менелая.

Для решения задачи векторным способом целесообразно доказать ученикам два ключевых геометрических утверждения, связанных с отношением отрезков.

Слайд №6.