Презентация на тему "Теорема Менелая."

Содержание

• 
  Слайд 1

  Теорема Менелая.

  Теория. Тренажеры. Задачи.

• 
  Слайд 2

  Теорема Менелая (теория).

  Теорема: Пусть некоторая прямая пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей. Точки это пересечения со сторонами или их продолжениями соответственно. Тогда имеет место следующее равенство: А В С

• 
  Слайд 3

  Правило для запоминания

  Обход можно начинать с любой точки, но при этом обязательно чередовать: вершина – точка на стороне – вершина – точка на стороне и т.д. А В С

• 
  Слайд 4

  Тренажер-1.

  Для заданных чертежей записать теорему Менелая.

• 
  Слайд 5

  Тренажер-2.

  На заданных чертежах найти два возможных применения теоремы Менелая. Пример:

• 
  Слайд 6

  Тренажер-3.

  Найти отношения отрезков: ? ? 2 6 9 4 6 2 3 1 ? ? 8 3 5 4 ? ? 12 4 3 4 ? ?

• 
  Слайд 7

  Задачи.

  Задача 1. Доказать теорему о точке пересечения медиан. Задача 2. В треугольнике АВС проведена медиана AD. На ней выбрана точка К так, что AK:KD=3:1. В каком отношении прямая ВК делит площадь треугольника АВС? А С Е F M A B С D Р K 3 1

• 
  Слайд 8
  

  Задача 3. На сторонах треугольника АВС даны соответственно точки М и N такие, что АМ:МВ=СN:NA=1:2. В каком отношении точка S (пересечение этих отрезков) делит каждый из этих отрезков? Задача 4. В треугольнике АВС биссектриса AD делит ВС в отношении 2:1. В каком отношении медиана СЕ делит эту биссектрису? B A С N S 2 1 Р 1 2 B A С К 2 1 Е D

• 
  Слайд 9
  

  Задача 5. В треугольнике АВС на стороне АВ взята точка К так, что АК:ВК=1:3, а на стороне ВС взята точка L так, что CL:BL=2:1. Пусть Q – точка пересечения прямых AL и CК. Найти площадь треугольника АВС, если площадь треугольника BQL равна 2. А В С К L Q x 3x y 2y S=2 Решение: 1) Применим теорему Менелая к треугольнику ABL: 2z z S=1 2) Найдем площадь треугольника ABQ: S=3 3) Используем отношение площадей треугольников ABL и ALC: S=6 Ответ: площадь треугольника равна 9.

• 
  Слайд 10
  

  Задача 6. (ЕГЭ-2008) Точка М, лежащая на стороне параллелограмма ABCD, соединена с вершиной В. Диагональ АС пересекает отрезок ВМ в точке К. Площадь треугольника КВС равна 6, площадь треугольника КМС равна 4. Найти площадь исходного параллелограмма. А B C D K M S=6 S=4 Решение: 3x 2x O 2) Применим теорему Менелая к треугольнику BDM: 2y y S=10 3) Используем отношение площадей треугольников BMС и DMC: S=5 S=15 S=15 Получаем, что площадь всего параллелограмма равна 30.

• 
  Слайд 11

  Использование теоремы Менелая в стереометрических задачах.

  В правильной четырехугольной пирамиде MABCD точка F – середина ребра МВ, точка К делит ребро МD в отношении МК:KD=5:1. В каком отношении плоскость АFK делит: Высоту МО данной пирамиды? Ребро МС? A B C D M O F K

• 
  Слайд 12
  

  A B C D M O F K Решение: Построение сечения. Н L 1) AF и AK – прямые пересечения плоскости с гранями пирамиды. 2) FK – пересечение плоскости сечения с BMD. 3) Прямая AL – пересечение плоскости сечения с АМС. 4) Прямые FL и FK – прямые пересечения плоскости с гранями пирамиды. 5) AFLK – искомое сечение.

• 
  Слайд 13
  

  A B C D M O F K Н L S B M D О F K x x 5y y S Н 1) По теореме Менелая для треугольника ВMD получаем: 2z 2z z 3z 2) Для треугольника ВМС получаем: Решение: нахождение отношения МН:НО

• 
  Слайд 14
  

  A B C D M O F K Н L Использование теоремы Менелая в стереометрических задачах. Нахождение отношения ML:LC C О Н М А L 5x 3x По теореме Менелая для треугольника МОС получаем: