Презентация на тему "Сечения многогранников"

Содержание

• 
  Слайд 1

  СЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННИКОВ

  Если многогранник лежит по одну сторону от данной плоскости, то он может: а) не иметь с плоскостью ни одной общей точки; б) иметь одну общую точку – вершину многогранника; в) иметь общий отрезок – ребро многогранника; г) иметь общий многоугольник – грань многогранника. Если у многогранника имеются точки, лежащие по разные стороны от данной плоскости, то общей частью многогранника и плоскости будет многоугольник, называемый сечением многогранника плоскостью.

• 
  Слайд 2

  ДИАГОНАЛЬНЫЕ СЕЧЕНИЯ

  Сечение призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания и два прилежащих к ней боковых ребра, называется диагональным сечениемпризмы. Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ основания и вершину, называется диагональным сечениемпирамиды. Пусть плоскость пересекает пирамиду и параллельна ее основанию. Часть пирамиды, заключенная между этой плоскостью и основанием, называется усеченной пирамидой. Сечение пирамиды также называется основаниемусеченной пирамиды.

• 
  Слайд 3

  Упражнение 1

  Какой фигурой является сечение многогранника плоскостью? Ответ: Многоугольником.

• 
  Слайд 4

  Упражнение 2

  Сколько диагональных сечений имеет n-угольная: а) призма; б) пирамида? Ответ: а) ; б) .

• 
  Слайд 5

  Упражнение 3

  Может ли в сечении куба плоскостью получиться: а) треугольник; б) правильный треугольник; в) равнобедренный треугольник; г) прямоугольный треугольник; д) тупоугольный треугольник? Ответ: а) Да; б) да; в) да; г) нет; д) нет.

• 
  Слайд 6

  Упражнение 4

  Может ли в сечении куба плоскостью получиться: а) квадрат; б) прямоугольник; в) параллелограмм; г) ромб; д) трапеция; е) прямоугольная трапеция? Ответ: а) Да; б) да; в) да; г) да; д) да; е) нет.

• 
  Слайд 7

  Упражнение 5

  Может ли в сечении куба плоскостью получиться: а) пятиугольник; б) правильный пятиугольник? Ответ: а) Да; б) нет.

• 
  Слайд 8

  Упражнение 6

  Может ли в сечении куба плоскостью получиться: а) шестиугольник; б) правильный шестиугольник; в) многоугольник с числом сторон больше шести? Ответ: а) Да; б) да; в) нет.

• 
  Слайд 9

  Упражнение 7

  Какие многоугольники можно получить в сечении четырехугольной пирамиды плоскостью? Ответ: Треугольник, четырехугольник, пятиугольник.

• 
  Слайд 10

  Упражнение 8

  Может ли в сечении правильного тетраэдра плоскостью получиться квадрат? Ответ: Да.

• 
  Слайд 11

  Упражнение 9

  Может ли в сечении тетраэдра плоскостью получиться четырехугольник, изображенный на рисунке? Ответ: Нет.

• 
  Слайд 12

  Упражнение 10

  Может ли в сечении октаэдра плоскостью получиться: а) треугольник; б) четырехугольник; в) пятиугольник; г) шестиугольник; д) семиугольник; е) восьмиугольник? Ответ: а) Нет; б) да; в) нет; г) да; д) нет; е) нет.

• 
  Слайд 13

  ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ

  При построении сечений многогранников, базовыми являются построения точки пересечения прямой и плоскости, а также линии пересечения двух плоскостей. Если даны две точки A и B прямой и известны их проекции A’ и B’ на плоскость, то точкой С пересечения данных прямой и плоскости будет точка пересечения прямых AB и A’B’ Если даны три точки A,B, C плоскости и известны их проекции A’, B’, C’ на другую плоскость, то для нахождения линии пересечения этих плоскостей находят точки P и Q пересечения прямых AB и AC со второй плоскостью. Прямая PQ будет искомой линией пересечения плоскостей.

• 
  Слайд 14

  Упражнение 1

  Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E, F, G, лежащие на ребрах куба, выходящих из одной вершины, Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, G, лежащие на ребрах куба. достаточно просто соединить данные точки отрезками. Полученный треугольник EFG будет искомым сечением.

• 
  Слайд 15

  Упражнение 2

  Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E, F, G, проведем прямую EF и обозначим P её точку пересечения с AD. Обозначим Q точку пересечения прямых PGи AB. Соединим точки E и Q, F и G. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, G , лежащие на ребрах куба. Полученная трапеция EFGQ будет искомым сечением.

• 
  Слайд 16

  Упражнение 3

  Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E, F, G, Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, G , лежащие на ребрах куба, для которых AE = DF. соединим точки E и F. Прямая EF будет параллельна AD и, следовательно, BC. Соединим точки E и B, F и C. Полученный прямоугольник BCFE будет искомым сечением.

• 
  Слайд 17

  Упражнение 4

  Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E, F и вершину B, Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, лежащие на ребрах кубаи вершину B. Соединим отрезками точки E и B, F и B. Через точки Eи F проведем прямые, параллельные BF и BE, соответственно. Полученный параллелограмм BFGE будет искомым сечением.

• 
  Слайд 18

  Упражнение 5

  Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E, F, G, проведем прямую EF и обозначим P её точку пересечения с AD. Обозначим Q, R точки пересечения прямой PGс ABи DC. Соединим точки E и Q, G и S. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, G , лежащие на ребрах куба. Полученный пятиугольник EFSGQ будет искомым сечением. Обозначим S точку пересечения FR cСС1.

• 
  Слайд 19

  Упражнение 6

  Решение. Для построения сечения куба, проходящего через точки E, F, G, найдем точку P пересечения прямой EF и плоскости грани ABCD. Проведем прямую RF и обозна-чим S, T её точки пересечения с CC1 и DD1. Обозначим Q, R точки пересечения прямой PG с AB и CD. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, G , лежащие на ребрах куба. Соединим точки E и Q, G и S, U и F. Проведем прямую TE и обозначим U её точку пересечения с A1D1. Полученный шестиугольник EUFSGQ будет искомым сечением.

• 
  Слайд 20

  Упражнение 7

  Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, G, принадлежащие граням BB1C1C, CC1D1D, AA1B1B, соответственно. Решение. Из данных точек опустим перпендикуляры EE’, FF’, GG’на плоскость грани ABCD, и найдем точки I и H пересечения прямых FE и FG с этой плоскостью. IH будет линией пересечения искомой плоскости и плоскости грани ABCD.Обозначим Q, R точки пересечения прямой IH с AB и BC. Проведем прямые PG и QE и обозначим R, S их точки пересечения с AA1 и CC1. Проведем прямые SU, UVи RV, параллельные PR, PQ и QS. Полученный шестиугольник RPQSUV будет искомым сечением.

• 
  Слайд 21

  Упражнение 8

  Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F, лежащие на ребрах куба, параллельно диагонали BD. Решение. Проведем прямые FG и EH, параллельные BD. Проведем прямую FP, параллельную EG,и соединим точки P и G. Соединим точки E и G, F и H. Полученный пятиугольник EGPFH будет искомым сечением.

• 
  Слайд 22

  Упражнение 9

  Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки E, F , лежащие на ребрах куба, параллельно диагонали BD1. Решение. Проведем прямые EF, EC и BD.Точку пересечения прямых EC и BD обозначим P. Через точку P проведем прямую, параллельную BB1, и ее точку пересечения с EFобозначим Q. Через точку Q проведем прямуюRS, параллельную BD1.Точку пересечения прямых ER и BC обозначим G. Соединим отрезками точки G и F. F и S. Проведем прямую EH, параллельную FS и соединим точки H и S. Соединим отрезками точки E и G, G и F,F и S. Полученный пятиугольник EGFSH будет искомым сечением.

• 
  Слайд 23

  Упражнение 10

  Построить сечение двух кубов плоскостью, проходящей через точки K, L, M , лежащие на ребрах куба. Решение. Сначала построим сечение верхнего куба. Это будет шестиугольник LNMPKQ. Продолжим MN, PKи QL. Соответствующие точки обозначим R, S и U, V. Проведем прямые RX и VY, параллельные UV и SR, соответственно. Искомое сечение состоит из двух шестиугольников LNMPKQи RSUVYX.

• 
  Слайд 24

  Упражнение 11

  Построить сечение призмы ABCA1B1C1плоскостью, проходящей через точки E, F,G. Решение. Соединим точки E и F. Проведем прямую FG и ее точку пересечения с CC1обозначим H. Проведем прямую EH и ее точку пересечения с A1C1обозначим I. Соединим точки I и G. Полученный четырехугольник EFGI будет искомым сечением.

• 
  Слайд 25

  Упражнение 12

  Построить сечение призмы ABCA1B1C1плоскостью, проходящей через точки E, F,G. Решение. Проведем прямую EG и обозначим H и I ее точки пересечения с CC1и AC. Проведем прямую IF и ее точку пересечения с ABобозначим K. Проведем прямую FH и ее точку пересечения с B1C1обозначим L. Соединим точки E и K, G и L. Полученный пятиугольник EKFLG будет искомым сечением.

• 
  Слайд 26

  Упражнение 13

  Построить сечение призмы ABCA1B1C1плоскостью, параллельной AC1,проходящей через точки E, F. Решение. Проведем прямую EF и найдем точку G ее пересечения с плоскостью ACC1. Для этого проведем прямую EH параллельно BC.Искомой точкой G будет точка пересечения прямых EF и HC1. Через точку G проведем прямуюпараллельно AC1 и ее точки пересечения с A1C1 и AA1 обозначим I и K. Соединим точки I и F, K и E. Полученный четырехугольник EFIK будет искомым сечением.

• 
  Слайд 27

  Упражнение 14

  Построить сечение призмы ABCA1B1C1плоскостью, параллельной,проходящей через точки Eна ребре BC, F на грани ABB1A1и G на грани ACC1A1. Решение. Проведем прямую GF и найдем точку H ее пересечения с плоскостью ABC. Проведем прямую EH,и обозначим P и I ее точки пересечения с AC и AB. Проведем прямые PG и IF, и обозначим S, RиQ их точки пересечения с A1C1,A1B1 и BB1. Соединим точки E и Q, S и R. Полученный пятиугольник EQRSP будет искомым сечением.

• 
  Слайд 28

  Упражнение 15

  Построить сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки A, B, D1. Решение. Заметим, что сечение будет проходить через точку E1. Проведем прямую AB и найдем ее точки пересечения K и L с прямыми CD и FE. Проведем прямые KD1, LE1и найдем их точки пересечения P, Q с прямыми CC1и FF1. Шестиугольник ABPD1E1Q будет искомым сечением.

• 
  Слайд 29

  Упражнение 16

  Построить сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки A, B’, F’. Решение. Проведем отрезки AB’ иAF’. Через точку B’ проведем прямую, параллельную AF’, и ее точку пересечения с EE1обозначим E’. Через точку F’ проведем прямую, параллельную AB’, и ее точку пересечения с CC1обозначим C’. Через точки E’ и C’ проведем прямые, параллельные AB’ и AF’, и их точки пересечения с D1E1и C1D1обозначим D’, D” . Соединим точки B’, C’; D’, D”; F’, E’. Полученный семиугольник AB’C’D”D’E’F’ будет искомым сечением.

• 
  Слайд 30

  Упражнение 17

  Построить сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки F’, B’, D’. Решение. Проведем прямые F’B’ иF’D’, и найдем их точки пересечения P и Q с плоскостью ABC. Проведем прямую PQ. Обозначим R точку пересечения PQ и FC. Точку пересечения F’R и CC1обозначим C’. Соединим точки B’, C’ иC’, D’. Через точку F’ проведем прямые, параллельные C’D’ и B’C’, и их точки пересечения с AA1и EE1обозначим A’иE’ . Соединим точки A’, B’иE’, D’. Полученный шестиугольник A’B’C’D’E’F’ будет искомым сечением.

• 
  Слайд 31

  Упражнение 18

  Построить сечение пирамиды ABCD плоскостью, параллельной ребру AD и проходящей через точки E, F. Решение. Соединим точки E и F. Через точку F проведем прямую FG, параллельную AD. Соединим точки G и E. Полученный треугольник EFG будет искомым сечением.

• 
  Слайд 32

  Упражнение 19

  Построить сечение пирамиды ABCD плоскостью, параллельной ребру CD и проходящей через точки E, F . Решение. Через точки E и F проведем прямые EG и FH, параллельные CD. Соединим точки G и F, E и H. Полученный треугольник EFG будет искомым сечением.

• 
  Слайд 33

  Упражнение 20

  Решение. Для построения сечения пирамиды, проходящего через точки E, F, G, проведем прямую EF и обозначим P её точку пересечения с BD. Обозначим Q точку пересечения прямых PGи CD. Соединим точки F и Q, E и G. Построить сечение пирамиды ABCD плоскостью, проходящей через точки E, F, G. Полученный четырехугольник EFQG будет искомым сечением.

• 
  Слайд 34

  Упражнение 21

  Построить сечение пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через точки A, E, F. Решение. Для построения сечения пирамиды, проходящего через точки E, F, G, проведем прямую EF и обозначим G её точку пересечения с DB. Проведем прямые AG и CB.Обозначим Pих точку пересечения. Проведем прямую PF и обозначим Q её точку пересечения с SC. Соединим точки A и F, A и E, E и Q . Полученный четырехугольник AFQE будет искомым сечением.

• 
  Слайд 35

  Упражнение 22

  Решение. Для построения сечения пирамиды, проходящего через точки E, F, G, проведем прямую FG и обозначим P её точку пересечения с SB. Проведем прямую PE и обозначим Q её точку пересечения с AB. Построить сечение пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через точки E, F, G. Полученный пятиугольник ETFGQ будет искомым сечением. Соединим точки T и F. Проведем прямую GQ и обозначим R её точку пересечения с AD. Проведем прямую RE и обозначим T её точку пересечения с SD.

• 
  Слайд 36

  Упражнение 23

  Построить сечение пирамиды SABCD плоскостью, параллельной AS и проходящей через точки E, F. Решение. Соединим точки E и F. Через точку F проведем прямую, параллельную AS,и обозначим G ее точку пересечения с AC. Проведем прямую EG и обозначим H ее точку пересечения с AD. Через точку H проведем прямую, параллельную AS,и обозначим I ее точку пересечения с SD. Соединим точки I и F. Полученный четырехугольник EFIH будет искомым сечением.

• 
  Слайд 37

  Упражнение 24

  Построить сечение пирамиды SABCD плоскостью, параллельной BD и проходящей через точки E, F. Решение. Проведем прямую EF и обозначим Q ее точку пересечения с AC. Проведем прямую SO и обозначим P её точку пересечения с EF. Через точку P проведем прямую GH, параллельную BD. Соединим точки F, G, E, H. Полученный четырехугольник FGEH будет искомым сечением.

• 
  Слайд 38

  Упражнение 25

  Решение. Найдем точку пересечения P прямой A1C1с плоскостью основания. Найдем точку Q пересечения прямой E1C1с плоскостью основания. Проведем прямую ED и обозначим R, её точку пересечения с прямой PQ. Прямая PQбудет линией пересечения плоскости сечения и плоскости основания. Построить сечение пирамиды SABCDEF плоскостью, проходящей через точки A1, C1, E1. Аналогичным образом находятся точки F1и B1. Проведем прямую E1R и обозначим D1 её точку пересечения с SD. Шестиугольник A1B1C1D1E1F1 будет искомым сечением.