Презентация на тему "Симметрия функций и преобразование их графиков"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Симметрия функций и преобразование их графиков

• 
  Слайд 2

  ЦЕЛИ:

  Повторить определение функции; основные понятия, связанные с ней; способы задания функции. Ввести понятие чётной и нечётной функции. Освоить основные способы преобразования графиков. Воспитание интереса к математике. Развитие зрительного восприятия предмета.

• 
  Слайд 3

  ПЛАН

  1.Повторение Определение функции. Способы задания функции 2.Преобразование графиков функции Симметрия относительно оси у, f(x)→f(- x) Симметрия относительно оси х, f(x)→ - f(x) Параллельный перенос вдоль оси х, f(x)→f(x-а) Параллельный перенос вдоль оси у,f(x) → f(x)+b Сжатиеи растяжение вдоль оси х, f(x) → f(αx), α>0 Сжатие и растяжение вдоль оси у, f(x) → kf(x),k>0 Построение графика функции у= | f (x) | Построение графика функции у= f( | x | ) Построение графика обратной функции

• 
  Слайд 4

  ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ

  Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число у. Обозначение: у = f(х), где х –независимая переменная (аргумент функции), у –зависимая переменная (функция). Множество значений х называется областью определения функции.(D) Множество значений у называется областью значения функции.(Е) D E y x y = f (x)

• 
  Слайд 5

  Пример№1

  у = √х – 2 + 3 При х = 6, у(6) = √6 – 2 + 3 = 5 Найдём область определения. х - 2 ≥ 0, х ≥2⇒ D(у) = [2; +∞); Так как по определению арифметического корня 0 ≤ √х – 2 ≤ +∞, 0 + 3≤ √х – 2 + 3 ≤ +∞+ 3, или 3 ≤ у ≤ +∞, Е(х) = [3; +∞)

• 
  Слайд 6

  Пример №2.

  Найти область определения и область значения функции f (x) = 3 +1 . х-2 Функция определена при х - 2 ≠ 0, то есть х ≠ 2⇒ D(у) = (-∞;2) U (2; +∞); Так как при всех допустимых значениях х дробь 1/(х-2) не обращается в нуль, то функция f (x) принимает все значения, кроме 3. Поэтому Е(f) = (-∞;3) U (3; +∞);

• 
  Слайд 7

  Пример №3.

  Найти область определения дробно-рациональной функцииf (x) = 1 + 3 х + 4 . х-2 (х - 1)(х + 3) Знаменатели дробей обращаются в нуль при х = 2, х = 1, х = -3. Поэтому область определения D(f) = (-∞;-3) U (-3; 1) U (1; 2) U (2; +∞);

• 
  Слайд 8

  Пример №4.

  Зависимость 2 х – 3 х2 + 1 Уже не является функцией. При х = 1, пользуясь верхней формулой, найдём у = 2*1 – 3 = -1, а пользуясь нижней формулой, получим у = 12 + 1 = 2. Таким образом, одному значению х =1 соответствуют два значения у (у=-1 и у=2). Поэтому эта зависимость (по определению) не является функцией у(х) =

• 
  Слайд 9

  СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ

  Аналитический способ: функция задаётся с помощью формулы. Примеры: у = х2, у = ax + b Табличный способ: функция задаётся с помощью таблицы. Описательный способ: функция задаётся словесным описанием. Графический способ: функция задаётся с помощью графика.

• 
  Слайд 10

  ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

  Графиком функции называетсямножество точек плоскости с координатами (х; f(х)) у х1 f(х1) х2 f(х2) х

• 
  Слайд 11

  Пример №5.

  Дана функция у = 2 х – 3 |х| + 4. Принадлежит ли графику этой функции точка с координатами а) (-2; -6); б) (-3; - 10) Решение. а) при х = -2, у = 2· (-2) -3·|-2| + 4 = - 4 - 3·3 + 4 =-6 Так как у(-2) = -6, то точка А(-2; -6) принадлежит графику функции. б) при х = -3, у = 2· (-3) -3·|-3| + 4 = - 6 - 3·3 + 4 =-11 Так как у(-3) = -11, то точка В(-3; -10) не принадлежит графику функции

• 
  Слайд 12

  Пример №6.

  Дана функция f(х) = - х2 + 6х – 8. Найдём точки пересечения графика функции с осями координат. Решение. 1) Точка пересечения с осью ординат, при х=0, у(0) = - 02 + 6·0 – 8 = - 8. Получаем координаты этой точки А(0; -8) 2) Точка пересечения с осью абсцисс, при у =0, 0 = - х2 + 6х – 8, х2- 6х + 8=0, D = 36 – 32 =4, x1= (6-2)/2=2, x1= (6+2)/2=4. Поэтому график функции пересекает ось абсцисс в двух точках: В(2; 0) и С(4;0)

• 
  Слайд 13

  Симметрия относительно оси уf(x)→f(- x)

  Графиком ф-и у = f (- х) получается преобразованием симметрии графика ф-и у = f (х) относительно оси у. у = х2 = (-х)2 у=√х у = f (-х) у у у х х х у=f(х) у=√-х

• 
  Слайд 14

  Симметрия относительно оси хf(x)→ - f(x)

  График ф-и у =- f (х) получается преобразованием симметрии графика ф-и у = f (х) относительно оси х. у = х2 у= - sinx у= f(х) у = - х2 у = - f (х) у= sinx у у у х х х

• 
  Слайд 15

  Чётность и нечётность

  Функция наз-ся чётной, если: область определения функции симметрична относительно нуля, для любого х из области определения f (- х) = f (х) График чётной функции симметричен относительно оси у Функция наз-ся нечётной, если: область определения функции симметрична относительно нуля, для любого х из области определения f (- х) = - f (х) График нечётной функции симметричен относительно начала координат х у х у

• 
  Слайд 16

  Параллельный перенос вдоль оси х, f(x)→f(x-а)

  Графиком ф-и у = f (х-a) получается парал – лельным переносом графика ф-и вдоль оси х на |a| вправо при а >0 и влево при а

• 
  Слайд 17

  Параллельный перенос вдоль оси у,f(x) → f(x)+b

  Графиком ф-и у = f (х)+b получается парал – лельным переносом графика ф-и у = f (х) вдоль оси y на |b| вверх при b>0 и вниз при b

• 
  Слайд 18

  Сжатиеи растяжение вдоль оси х,f(x) → f(αx), α>0

  График функции у = f (αx) получается сжатием графика функции у =f (x) вдоль оси х в αраз при α>1 График функции у = f (αx) получается растяже- нием графика функции у =f (x) вдоль оси х в 1/αраз при 0

• 
  Слайд 19

  Сжатие и растяжение вдоль оси у,f(x) → kf(x),k>0

  График функции у = kf (x) получается сжатием графика функции у =f (x) вдоль оси y в 1/kраз при 0 1 у=1/2х2 у=2sinx у=1/2sinx у у у=sinx х х х у=kf(x) у=kf(x) у=f(x) у

• 
  Слайд 20

  Построение графика функции у=|f(x)|

  Части графика функции у = (х),лежащие выше оси х и на оси х остаются без изменения, лежащие ниже оси х – симметрично отражаются относительно этой оси (вверх) 1 3 0 1 у у у х х х y=|log2x| y=|x2-4x+3| y=|sinx| y=log2x y=sinx y=x2-4x+3

• 
  Слайд 21

  Построение графика функции у=f(|x|)

  Часть графика функции у = (х), лежащая левее оси х и на оси у удаляется, а часть, лежащая правее оси у - остаётся без изменения и, кроме того, симметрично отражается относительно оси у (влево). Точка графика, лежащая на оси у, остаётся неизменной. у у y=x2-4|x|+3 х х y=x2-4x+3 y=sinx y=sin|x|

• 
  Слайд 22

  Построение графика обратной функции

  График ф-и у = g(х), обратной данной для функции у = f (х), можно получить преобразованием симметрии графика ф-и у = f (х) относительно прямой у= х. 1 1 0 1 0 1 y=cosx -1 0 1 y=sinx у у у х х х у = 2х y= log2x y=arcsinx y =arccosx

• 
  Слайд 23

  Контрольные вопросы

  Дайте определение чётной, нечётной функций. Расскажите о способах задания функции. Что такое область определения? Что такое область значения? Как найти точки пересечения с осями координат? Какие свойства симметрии вы изучили? Как проявляются свойства симметрии на графиках? Задание на дом гл.7, занятие 4, стр. 133 – 136. Вопросы и упражнения 1- 11.