Презентация на тему "Усеченный конус"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Усеченный конус.

  МОУ СОШ №256 г.Фокино

• 
  Слайд 2
  

  Усеченным конусом называется часть полного конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. Круги, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями усеченного конуса.

• 
  Слайд 3
  

  Образующей усеченного конуса называется часть образующей полного конуса, заключенная между основаниями. Высотой усеченного конуса называется расстояние между основаниями.

• 
  Слайд 4
  

  Пусть в конусе, высота которого известна, проведено сечение, находящееся на расстоянии три от вершины. Чему равна образующая получившегося усеченного конуса, если известна образующая полного конуса? 8 ?

• 
  Слайд 5
  

  Усеченный конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основанию.

• 
  Слайд 6
  

  Пусть дан усеченный конус, радиусы оснований и высота которого известны. Найдите образующую усеченного конуса. 8 ?

• 
  Слайд 7
  

  Прямая, соединяющая центры оснований, называется осью усеченного конуса. Сечение, проходящее через ось, называется осевым. Осевое сечение является равнобедренной трапецией.

• 
  Слайд 8
  

  Найдите площадь осевого сечения, если известны радиус нижнего основания, высота и образующая. 36 ?

• 
  Слайд 9
  

  Боковая поверхность усеченного конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса.

  Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.

• 
  Слайд 10

  Доказательство:

  Боковую поверхность усеченного конуса будем понимать как предел, к которому стремится боковая поверхность вписанной в этот конус правильной усеченной пирамиды, когда число боковых граней неограниченно увеличивается.

• 
  Слайд 11
  

  Впишем в конус правильную пирамиду. Ее боковая поверхность состоит из трапеций.

• 
  Слайд 12
  

  Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно рассматривать как разность между площадями боковых поверхностей двух конусов. Поэтому развертка усеченного конуса – это часть круглого кольца. Замечание:

• 
  Слайд 13
  

  Усеченный конус получен от вращения прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основаниям, Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса, если известны основания и боковая сторона трапеции. ?

• 
  Слайд 14

  Задача.

  Радиус меньшего основания усеченного конуса равен 5, высота равна 6, а расстояние от центра меньшего основания до окружности большего основания равно 10. Найдите площадь боковых поверхностей усеченного и полного конусов.

• 
  Слайд 15
  

  Достроим усеченный конус до полного и проведем осевое сечение. Решение:

• 
  Слайд 16
  

  1) Вычислим радиус большего основания. Решение:

• 
  Слайд 17
  

  2) Найдем боковую сторону трапеции –образующую усеченного конуса. Решение:

• 
  Слайд 18
  

  3) Используя подобие треугольников, найдем образующую полного конуса. Решение: ~

• 
  Слайд 19
  

  4) Подставим найденные значения в формулы для площадей боковой поверхности полного и усеченного конусов. Решение:

• 
  Слайд 20

  Формула объема усеченного конуса.

  Объем усеченного конуса равен сумме объемов трех конусов, имеющих одинаковую высоту с усеченным конусом, а основаниями: один – нижнее основание этого конуса, другой – верхнее, а третий – круг, радиус которого есть среднее геометрическое между радиусами верхнего и нижнего оснований.

• 
  Слайд 21

  Доказательство:

  Поместим на верхнем основании усеченного конуса малый конус, дополняющий его до полного и рассмотрим объем его как разность объемов двух конусов.

• 
  Слайд 22
  

  Вычислим высоту полного конуса из подобия треугольников. Доказательство: ~

• 
  Слайд 23
  

  Объемы полного и дополнительного конусов относятся как кубы радиусов оснований. Доказательство: ~

• 
  Слайд 24
  

  Вычтем из объема большого конуса объем малого конуса. Доказательство:

• 
  Слайд 25
  

  Найдите объем усеченного конуса, если известны его высота и радиусы оснований. 149π ?

• 
  Слайд 26

  Подобные цилиндры и конусы.

  Подобные цилиндры или конусы можно рассматривать как тела, полученные от вращения подобных прямоугольников или прямоугольных треугольников.

• 
  Слайд 27
  

  Сечение, параллельное основанию конуса, отсекает от него малый конус, подобный большому.

• 
  Слайд 28
  

  В цилиндре проведено сечение, параллельное основанию. Будет ли малый цилиндр, который отсекается этим сечением, подобен большому? ?

• 
  Слайд 29
  

  Площади боковых поверхностей подобных цилиндров и конусов относятся как квадраты радиусов или высот, а объемы – как кубы радиусов или высот.

• 
  Слайд 30
  

  В конусе, высота которого известна, проведено сечение, параллельное основанию. Известно также соотношение объемов малого и большого конусов. На каком расстоянии от основания находится сечение? ? 2

• 
  Слайд 31
  

  Радиусы оснований усеченного конуса относятся как 2:3. Высота конуса разделена на три равные части, и через точки деления проведены плоскости, параллельные основаниям. Найти, в каком отношении разделился объем усеченного конуса. Задача.

• 
  Слайд 32
  

  Зная, что радиусы оснований конуса относятся как два к трем, обозначим радиусы как 2а и 3а и рассмотрим осевое сечение конуса. Решение:

• 
  Слайд 33
  

  1) Используя подобие, найдем радиусы проведенных сечений. Решение:

• 
  Слайд 34
  

  2) Достроив усеченный конус до полного, найдем, какую часть от полного конуса составляют меньшие конусы. Решение: V – объем наибольшего конуса

• 
  Слайд 35
  

  3) Определим, какую часть от объема полного конуса составляют усеченные конусы, расположенные между соседними сечениями и найдем отношение объемов этих конусов. Решение: Ответ: V1 :V2 :V3 = 127 : 168 : 217