Содержание
-
Конус
Понятие конуса. Площадь поверхности конуса. Усеченный конус.
-
Понятие конуса
Рассмотрим окружность Lс центром в точке О и прямую ОР, перпендикулярную к плоскости αэтой окружности. Через точку Р и каждую точку окружности проведем прямую. Поверхность, образованная этими прямыми, называется конической поверхностью, а сами прямые – образующими конической поверхности. Точка Р называется вершиной, а прямая OР – осью конической поверхности. α О L P
-
Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом. Круг называется основанием конуса, вершина конической поверхности — вершиной конуса, отрезки образующих, заключенные между вершиной и основанием, — образующими конуса, а образованная ими часть конической поверхности — боковой поверхностью конуса. Ось конической поверхности называется осью конуса, а ее отрезок, заключенный между вершиной и основанием, — высотой конуса. Отметим, что все образующие конуса равны друг другу (объясните почему). O P Ось Вершина Образующие Боковая поверхность Основание
-
Конус – фигура вращения
Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. На рисунке изображен конус, полученный вращением прямоугольного треугольника ABC вокруг катета АВ. При этом боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы АС, а основание — вращением катета ВС. В А С
-
Осевое сечение
Рассмотрим сечение конуса различными плоскостями. Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого — диаметр основания конуса, а боковые стороны — образующие конуса. Это сечение называется осевым.
-
Если секущая плоскость перпендикулярна к оси ОР конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром О ирасположенным на оси, конуса. Радиус r1этого круга равен (ОР/РО1)*r, где r - радиус основания конуса, что легко усмотреть из подобия прямоугольных треугольников РОМ и РО1М1. O P M О1 r r1 M1 α
-
Площадь поверхности конуса
Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих. Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса. В Р А Р А В А|
-
За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. Выразим площадь Sбoкбоковой поверхности конуса через его образующую I и радиус основания r. Площадь кругового сектора — развертки боковой поверхности конуса равна πl2α 360 Где α – градусная мера дуги АВАI, поэтому
-
Sбок = πl2α 360 (1)
-
Выразим α через l и r. Так как длина дуги ABA' равна 2πr(длине окружности основания конуса), то 2πr = (πl/180)* α, откуда α = 360 r l
-
Подставив это выражение в формулу (1), получим Sбок = πrl (2)
-
Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую. Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Для вычисления площади SКОНполной поверхности конуса получается формула
-
Sбок = πr(l+ r)
-
Усеченный конус
Возьмем произвольный конус и проведем секущую плоскость, перпендикулярную к его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усеченным конусом. Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усеченного конуса, а отрезок, соединяющий их центры,— высотой усеченного конуса. O P О1 r1 Основание Образующая Основание r Боковая поверхность
-
Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, заключенные между основаниями, называются образующими усеченного конуса. Все образующие усеченного конуса равны друг другу.
-
Усеченный конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям. На рисунке изображен усеченный конус, полученный вращением прямоугольной трапеции ABCD вокруг стороны CD, перпендикулярной к основаниям ADи ВС. При этом боковая поверхность образуется вращением боковой стороны АВ, а основания усеченного конуса — вращением оснований СВ и DA трапеции. С В А D
-
Докажем, что площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую, т. е. Sбок = π(r + r1) l Где r и r1 – радиусы оснований, l – образующая усеченного конуса.
-
▼ Пусть Р — вершина конуса, из которого получен усеченный конус, АА1— одна из образующих усеченного конуса, r > r1 точки О и О 1 — центры оснований. Используя формулу (2), получаем O P A О1 r1
-
Sбок= π r * PA - π r 1 * PA = π r(PA 1+ AA1 ) - π r 1 * PA 1
-
Отсюда, учитывая, что AA1=l, находим Sбок = πrl+ π(r - r1) PA 1 Выразим PA 1через l, r и r1. Прямоугольные треугольники РО1А1и РОА подобны, так как имеют общий острый угол Р, поэтому (3)
-
PA 1 PA = r 1 r или PA 1 + l Отсюда получаем PA1 = r 1 r PA 1 = l r 1 r -r 1
-
Sбок = π(r+r1)l Подставив это выражение в формулу (3), приходим к формуле
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.