Презентация на тему "3. Несобственные интегралы"

Содержание

• 
  Слайд 1

  3. Несобственные интегралы

  3.4. Главное значение несобственного интеграла Пусть f(x) определена и интегрируема на любом [a,b]. Главным значением интеграла по Коши называется величина Теорема. Если существует , то Пусть f(x) определена на [a,c) (c,b] , интегрируема на любых [a,с-] и [c+,b], не ограничена в окрестности точки c. Главным значением интеграла по Коши называется предел Теорема. Если существует , то .   1

• 
  Слайд 2

  4. n– мерное евклидово пространство

  4.1. Основные определения. Геометрическая терминология в Rn x = (x1,x2,…,xn) (x,y)= x,y :(x,y)  0, (x,y) = 0  x = y x,y :(x,y) = (y,x)  x,y,z :(x,y) (x,z) + (z,y) (неравенство треугольника) Неравенство Коши-Буняковского Величина - называется скалярным произведением и обозначается (x,y). Величина называется нормой и обозначается ||x||. Теорема. Для нормы справедливо неравенство ||x+y||  ||x|| + ||y||.   2

• 
  Слайд 3

  4. n – мерное евклидово пространство

  1) (x,x)0, (x,x)=0 x=0 (x= (0,0,…,0)) 2) (x,y)=(y,x) 3) (x,y)=(x,y) 4) (x+y,z)=(x,z)+(y,z). Определение. Пространство Rn со скалярным произведением (x,y) будем называть евклидовым пространством. (n – мерный) открытый шар радиуса  c центром в точке x0 или  окрестность точки x0 : S(x0)={ xRn:(x,x0)1) под окрестностью  понимается любое множество вида {xRn:(x,x0)>r}, для произвольного числа r, и произвольной точки x0. (n – мерный) параллелепипед : B=[a1,b1] [a2,b2]… [an,bn]. 3

• 
  Слайд 4
  

  Проколотая окрестность точки: { xRn:0

• 
  Слайд 5
  

  4.2. Сходящиеся последовательности Последовательность {xk}={(} называется сходящейся, если существует точка x такая, что . При этом пишут xk x.( уметь формулировать на языке  - N) Фундаментальная последовательность. Последовательность {xk} называется фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши: >0 M m>M p:(xm+p,xm)

• 
  Слайд 6
  

  4.3. Теоремы о вложенных множествах и Больцано-Вейерштрасса Теорема 4. (О стягивающихся к нулю вложенных множествах). Для последовательности вложенных компактных не пустых множеств К1 К2  …  Кn …, диаметр которых  0, существует единственная общая точка . Теорема Больцано-Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.   6

• 
  Слайд 7
  

  4.4. Функции многих переменных Определение. Пусть D – некоторое множество точек пространства Rn. Если для xD сопоставлено единственное число uR, то говорят, что задана функция, определенная на множестве D. При этом пишут u= f(x) = f(x1,x2,…,xn),Dназывается областью определения функции f. 7 O z M(x,y,z) z = f (x,y) y D P(x,y) x

• 
  Слайд 8
  

  Определение. Пусть f определена на DRn, и x0 – предельная точка множества D. Число A называется пределом функции f при x x0 , если >0>0xD:|f(x)-A|0>0x,xD:|f(x)-f(x)|

• 
  Слайд 9
  

  Свойства пределов 1) Если предел существует, то он единственен. 2) Если существуют конечные пределы , , то будет существовать . 3) Если существуют конечные пределы , , то будет существовать . 4) Если существуют конечные пределы , , и В  0, то будет существовать . Определение. Пусть f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x0и a=(a1,a2,…,an) – заданный вектор.Пределом функции f(x) в точке x0 в направлении вектора a называется предел. Предложение. Если существует , то существует и предел функции f(x) в точке x0 по любому направлению и он равен A.   9

• 
  Слайд 10
  

  Примеры 1. Доказать, что функция f(x,y) = (х + у) sin(1/x)sin(1/y)- является бесконечно малой в точке 0. 2. Существует ли предел 3. Вычислить предел 4. Существует ли предел 5. Вычислить предел 6. Вычислить предел Повторные пределы (случай n = 2). Теорема. Если функция f(x) определена в проколотой окрестности точки M0= (x0,y0) и существует конечный предел =A и для y(y0-, y0+)(y) =. Тогда =A. Пример:   10

• 
  Слайд 11
  

  4.5. Непрерывность функции многих переменных Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0 , если =f(x0). Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке множества. Предложение. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций является так же непрерывной функцией ( в последнем случае знаменатель должен быть отличен от нуля). Кроме того непрерывной является модуль непрерывной функции. Дать определения: 1) Определение на языке «-»; 2) По последовательностям; 3) На языке приращений f(x) = f(x + x) – f(x), x = (x1, x2, …, xn) Функция f(x) называется непрерывной в точке x0по переменной xk, если частное приращение k f(x0) = f(x0+ kx) – f(x0), kx= (0, 0, …, xk, 0,…, 0) этой функции в точке x0представляет собой бесконечно малую функцию от kx, т. е. если . Пример:   11

• 
  Слайд 12
  

  Основные свойства непрерывных функций Предложение 1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций является так же непрерывной функцией ( в последнем случае знаменатель должен быть отличен от нуля). Кроме того непрерывной является модуль непрерывной функции. Предложение 2. Пусть xi = i(t1, t2,…, tm), i = 1, 2, …, nнепрерывны в точке А(а1а2,.. .,аm), а функция и = f(x1, x2, … , xn) непрерывна в точке В{b1, b2, …, bn), где bk= k(a1, a2,…, am), i = 1, 2, …, n. Тогда сложная функция и = f(1(t1, t2,…, tm), 2(t1, t2,…, tm), … , n(t1, t2,…, tm)), непрерывна в точке А(а1а2,.. .,аm). 12