Презентация на тему "ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ"

Содержание

• 
  Слайд 1

  ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ

• 
  Слайд 2
  

  Если функция u(x) и v(x) дифференцируемы на некотором промежутке и на этом промежутке существует интеграл  ∫ v du , то на нем существует интеграл  ∫ udv, причем  ∫ u dv = uv -  ∫ v du. Эта формула называется формулой интегрирования по частям неопределенного интеграла .

• 
  Слайд 3
  

  Пусть функцииu и vдифференцируемы на промежутке ∆ ; тогда по правилу дифференцирования произведения d(uv) = vdu + udv, поэтому udv = d( uv) – v du

• 
  Слайд 4
  

  Интеграл от каждого слагаемого правой части существует: интеграл  ∫ v du существует по условию, а по свойству 1◦ Имеем :  ∫ d (uv) = uv + C

• 
  Слайд 5
  

  Согласно свойству 3 существует интеграл ∫ u du , причем ∫ u dv = ∫ d(uv) - ∫ v du = uv - ∫ v du где постоянная интегрирования C, отнесена к интегралу ∫ v du. Формула  ∫ u dv = uv -  ∫ v duдоказана.

• 
  Слайд 6
  

  Замечание 1. Очевидно, что в формуле интегрирования по частям оператор дифференцирования, обозначенный штрихом, перемещается с V на U. Этим обусловлена важная роль формулы при доказательстве самосопряженности линейных дифференциальных операторов.Замечание 2. Формулу интегрирования по частям удобно применять также в виде∫ U(x) · v(x) dx   =   U(x) · V(x) − ∫ u(x) · V(x) dx,(2)где функция v(x) имеет очевидную первообразную V(x) , а   U(x) — дифференцируемая функция, причем ее производная   u(x) = U'(x)  является более простой функцией, чем она сама.

• 
  Слайд 7
  

  Замечание 3. Формулу интегрирования по частям (1) можно представить в виде в виде∫ U(x) dV(x)   =   U(x)V(x)   −   ∫ V(x) dU(x) .(3)Метод интегрирования по частям применяется в следующих случаях:1. Подинтегральное выражение содержит в качестве множителя одну из функций ln x ,   arcsin x ,   arccos x ,   arctg x . Если применить формулу (2), полагая в ней U(x) равной одной из этих функций, то подынтегральное выражение Vxu(x) может оказаться проще исходного.2. Подинтегральное выражение имеет вид:   Pn(x) eαx ,    Pn(x)sinαx или   P(x)cosαx ,  где Pn(x) — многочлен степени n .Интегралы от таких функций вычисляются n –кратным применения формулы интегрирования по частям (1), причем в качестве U(x) каждый раз следует брать многочлен. После каждого интегрирования по частям степень многочлена понижается на единицу.3. Подинтегральное выражение имеет видeαx · cosβx,  eαx · sinβx,  sin(lnx),  cos(lnx).После двукратного интегрирования по частям получается линейное алгебраическое уравнение относительно исходного интеграла.4. После подведения под знак дифференциала получился интеграл   ∫ U(x) dV(x) ,   в котором функция U(x) не выражается через V(x), но функция V(x) выражается черезU(x). Тогда можно применить формулу интегрирования по частям (3).

• 
  Слайд 8
  

  Интегрирование по частям.

• 
  Слайд 9