Презентация на тему "Непрерывность функции"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Лекция 3. непрерывность функции.

  Непрерывность функции. Односторонняя непрерывность. Разрывы функции. Классификация разрывов Основные теоремы о непрерывности функций Использование теоремы Больцано-Коши для приближенного решения нелинейных уравнений

• 
  Слайд 2

  Определение непрерывной функции

  Пусть функция у = f(x) 1. определена в точке х0и в некоторой окрест­ности этой точки. 2. имеет предел при 3. он равен значению функции в этой точке ) Тогда функция у = f(x) называется непрерывной в точке х0,  

• 
  Слайд 3

  Нахождение предела непрерывной функции

  Если f(x) – непрерывная функция, то ), а так как , то Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции f(x) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функцию f(x) вместо аргумента х подставить его предельное значение х0  

• 
  Слайд 4

  Пример 1

  Вычислить предел =  

• 
  Слайд 5

  Односторонняя непрерывность

  Пусть функция у = f(x) определена на промежутке (a,х0]. f(x) непрерывна в точке х0 слева, если ) Пусть функция у = f(x) определена на промежутке [х0,b). f(x) непрерывна в точке х0 справа, если ) Для непрерывности функции f(x) в точке х0необходимо и достаточно, чтобы функция f(x)была непрерывна слева и справа в точке х0  

• 
  Слайд 6

  Точки Разрыва функции

  Точки , в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если х = х0— точка разрыва функции у = f(x), то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий определения непрерывности функции: 1. Функция определена в окрестности точки х0, но не определена в самой точке х0 Например, функция не определена в точке х0=2  

• 
  Слайд 7
  

  2. Функция определена в точке х0и ее окрестности, но не существует предела f(x) при x—>х0 Например, функция Определена в точке х0=2, но не имеет предела при x—> х0 ,поскольку 1, а Следовательно, х0=2 – точка разрыва функции f(x)  

• 
  Слайд 8
  

  2. Функция определена в точке х0и ее окрестности, но не существует предела f(x) при x—>х0 Например, функция Определена в точке х0=2, но не имеет предела при x—> х0 ,поскольку 1, а Следовательно, х0=2 – точка разрыва функции f(x)  

• 
  Слайд 9
  

  3) Функция определена в точке х0и ее окрестности, существует, но этот предел не равен значению функции в точке х0 ) Следовательно, х0=0– точка разрыва функции f(x)   Следовательно, х0=0  

• 
  Слайд 10

  Классификация разрывов

  Точка разрыва х0 называется точкой разрыва первого рода функции у = f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы) если А1 = А2, то точка х0 называется точкой устранимого разрыва; если А1 ≠ А2, то точка х0называется точкой конечного разрыва.Величину |А1— A2|называют скачком функции в точке разрыва первогорода. Точка разрыва х0называется точкой разрыва второго рода функ­ции у = f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слеваили справа) не существует или равен бесконечности.  

• 
  Слайд 11
  

  В рассмотренных выше примерах 1) функция в точке х0=2 имеет разрыв 2 рода 2) функция в точке х0=2 имеет разрыв первого Рода, скачок функции = 1 3) В точке х0=0 имеет устранимый разрыв Первого рода  

• 
  Слайд 12

  теоремы о непрерывности функций

  Т.1 Сумма , произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю) Т.2 Пусть функции y=f(x)непрерывна в точке хо, а функция z=g(y) непрерывна в точке y0= f(xo). Тогда сложная функция g(f(x)), состоящая изнепрерывных функций, непрерывна в точке хо Т.3 Если функция у = f(x) непрерывна и строго монотонна на [а;b] оси OX, то обратная функция также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c;d] оси Оу

• 
  Слайд 13
  

  Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений. Теорема Больцано-Коши. Если функция у = f{x) непрерывна на отрезке [а;Ь] и принимает на его концах неравные значения f(a)=A , f(b)=Bто на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В Следствие. Если функция y=f(x)непрерывна на отрезке [а;Ь] и на егоконцах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [а;Ь] найдется хотябы одна точка с, в которой данная функция f{x) обращается в нуль: f(с) = 0.

• 
  Слайд 14

  Использование теоремы Больцано-Коши

  Геометрический смысл теоремы: если график непрерывной функции переходит с одной стороны оси Ох на другую, то он пересекает ось Ох Следствие лежит в основе так называемого «метода половин­ного деления», который используется для нахождения корня уравнения f(x) = 0.

• 
  Слайд 15

  метод половин­ного деления

  Ш а г 1. Выбираем отрезок [a,b] такой что f(a) f(b)< О Ш а г 2. Вычисляем f(a) и f(b).Ш а г 3. Вычисляем c= (a+b)/2.Ш а г 4. Вычисляем f(c) . Если f(c) = О, то c— корень уравнения.Ш а г 5. При f(c)≠0если f(a) f(c)< О, то полагаем a=a, b= c, иначеполагаем а = c, b= b.Ш а г 6. Если b — а —ε< О то задача решена. В качестве искомого корня(с заданной точность ε) принимается величина c. Иначе процессделения отрезка [а; b] пополам продолжаем, возвращаясь к шагу 2.