Презентация на тему "ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА"

Содержание

• 
  Слайд 1

  ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

  Дифференциальноеисчисление

• 
  Слайд 2

  §2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПРИ ПОМОЩИ ПРОИЗВОДНЫХ

  2.1. Возрастание и убывание функций Теорема (необходимые условия возрастания и убывания функции). Если дифференцируемая на интервале (a;b) функция ƒ(х) возрастает (убывает), то ƒ'(х)≥0 (ƒ'(х)≤0) для x є (a;b). Геометрически теорема означает, что касательные к графику возрастающей дифференцируемой функции образуют острые углы с положительным направлением оси Ох или в некоторых точках параллельны оси Ох. y x O y=f(x)

• 
  Слайд 3
  

  Теорема (достаточные условия возрастания и убывания функции). Если функция ƒ(х) дифференцируема на интервале (a;b) и ƒ'(х)>0 (ƒ'(х)

• 
  Слайд 4
  

  2.2.  Максимум и минимум функций ►Точка х0 называется точкой максимума функции у=ƒ(х), если существует такая -окрестность точки х0, что для всех х ≠ х0 из этой окрестности выполняется неравенство ƒ(х) ƒ(х0).   y x max min x1 x2 x1-   x1+   x2-   x2+   y=f(x)

• 
  Слайд 5
  

  Теорема (необходимое условие экстремума функции). Если дифференцируемая функция у=ƒ(х) имеет экстремум в точке х0, то ее производная в этой точке равна нулю: ƒ'(х0)=0. Геометрически равенство ƒ'(х0)=0 означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции у=ƒ(х) касательная к ее графику параллельна оси Ох. ЗАМЕЧАНИЯ 1)Обратная теорема неверна, т.е. если ƒ'(х0)=0, то это не значит, что х0- точка экстремума.

• 
  Слайд 6
  

  2)Непрерывная  функция  у=׀ х׀ в точке  х=0 производной не имеет, но точка х=0 — точка минимума. ►Такие точки называются критическими. 3)Непрерывная  функция  в точке  х=0 производная не существует, но точка х = 0 — точка минимума .   Непрерывная функция может иметь экстремум лишь в точках, где производная функции равна нулю или не существует.

• 
  Слайд 7
  

  Теорема (достаточное условие экстремума функции). Если непрерывная функция у=ƒ(х) дифференцируема в некоторой δ -окрестности критической точки х0 и при переходе через нее (слева направо) производная ƒ'(х) меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума; с минуса на плюс, то х0 — точка минимума. Графическая интерпретация доказательства теоремы y x max f’(x)>0 x0 x0-   x0+   f’(x)0

• 
  Слайд 8
  

  Примеры: 1)Найти экстремум функции   2)Найти экстремум функции   3) )Найти экстремум функции  

• 
  Слайд 9
  

  2.3.  Выпуклость графика функции. Точки перегиба ►График дифференцируемой функции у=ƒ(х) называется выпуклым вниз на интервале (а;b), если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале. x y ►График функции у=ƒ(х) называется выпуклым вверх на интервале (а;b), если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале. x y

• 
  Слайд 10
  

  ►Точкой перегиба графика непрерывной функции у=ƒ(х) называется точка x0 в которой выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз или наоборот. Теорема. Если функция у=ƒ(х) во всех точках интервала (а;b) имеет отрицательную вторую производную, т. е. ƒ"(х) 0 xє(а;b) — график выпуклый вниз. x y x0 y=f(x)

• 
  Слайд 11
  

  Теорема (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная ƒ"(х) при переходе через точку х0, в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой х0 есть точка перегиба. Теорема (необходимое условие существования точек перегиба). Если дифференцируемая функция у=ƒ(х) имеет точку перегиба, то ее вторая производная в этой точке равна нулю: ƒ”(х0)=0.

• 
  Слайд 12
  

  Примеры: 3)Исследовать на выпуклость и точки перегиба график функции у= .   1)Исследовать на выпуклость и точки перегиба график функции у=х5-х+5. 2)Исследовать на выпуклость и точки перегиба график функции  

• 
  Слайд 13
  

  2.4. Асимптоты графика функции ►Aсимптотой графика функции y=f(x) называется прямая y=kx+b, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой . Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными. M(x;y) d y=kx+b y=f(x)

• 
  Слайд 14
  

  Теорема 1.Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 (кроме, может быть, самой этой точки) и хотя бы один из пределов функции , или . Тогда прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x).   Вертикальные асимптоты х = а следует искать в точках разрыва функции или на концах ее области определения.

• 
  Слайд 15
  

  Теорема 2.Пусть функция y = f(x) определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции . Тогда прямая y = b является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x).   Если конечен один из пределов или , то функция имеет лишь левостороннюю или правостороннюю горизонтальную асимптоту.   Замечание.

• 
  Слайд 16
  

  Теорема 3.Пусть функция y = f(x) определена при достаточно больших х и существуют конечные пределы функции kи . Тогда прямая y= kx+b является наклонной асимптотой графика функции y=f(x).   y=kx+b y=f(x) Замечание 1. Наклонная асимптота, так же, как и горизонтальная, может быть правосторонней или левосторонней.

• 
  Слайд 17
  

  Замечание 3. Асимптоты графика функции у=ƒ(х) при х→+ ∞ и х→- ∞ могут быть разными. Поэтому при нахождении пределов kи следует отдельно рассматривать случай, когда х→+∞ и когда х→- ∞.   Примеры: 1)Найти асимптоты графика функции у = хех; 2)Найти асимптоты графика функции   Замечание 2.Если хотя бы один из пределов kили не существует или равен бесконечности, то кривая у=ƒ(х) наклонной асимптоты не имеет.  

• 
  Слайд 18
  

  2.5. Общая схема исследования функции и построения графика 1.  Найти область определения функции. 2.  Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат. 3.  Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида. 4.  Найти асимптоты графика функции. 5.  Найти интервалы монотонности функции. 6.  Найти экстремумы функции. 7.  Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.

• 
  Слайд 19
  

  Примеры: 1)Исследовать функциюи построить ее график.  

• 
  Слайд 20
  

  2)Исследовать функциюи построить ее график.   y=x-1