Презентация на тему "Применение производной для исследования функций"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Применение производной для исследования функций.

  1. Нахождение промежутков возрастания функции. 2. Нахождение промежутков убывания функции. 3. Нахождение промежутков постоянства функции. 4. Нахождение экстремумов. 5. Решение уравнений. 6.Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, непрерывной на отрезке.

• 
  Слайд 2

  Монотонность функции

  Убывает на (-;x, x) Возрастает на х1; х2. Постоянна на а;в у х У=f(x) x1 х2 а в

• 
  Слайд 3

  Исследование функции на возрастание

  У Х Если f'(x)>0 в каждой точке интервала I, то функция f монотонно возрастает на интервале I. АЛГОРИТМ D(f) f '(x) Решить неравенство f'(x)>0 4. Выписать промежутки, где производная имеет знак «+». у=f(x) х2 х1

• 
  Слайд 4

  Исследование функции на убывание

  у Если в каждой точке интервала If'(x)

• 
  Слайд 5

  Исследование функции на постоянство

  у у = f(x) о х а в Функция у = f(x) постоянна на интервале (а; в) тогда и только тогда , когда f '(x) = 0 в каждой точке этого интервала.

• 
  Слайд 6

  ЭКСТРЕМУМЫ

  Необходимое условие экстремума Если Х0 – точка экстремума функции У = f(x) , то эта точка является критической точкой данной функции, т.е. в этой точке производная либо равна нулю, либо она не существует. Если f'(x)>0 при х x0, то Х0 – точка максимума. ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА Если функция у = f(x) непрерывна в точке Х0 и производная f'(x) меняет знак в этой точке , то Х0 – ТОЧКА ЭКСТРЕМУМА функции у = f (x) Если f'(x)0 при x>Х0, то Х0 – точка минимума. f'(x)>0 f'(x)=0 f'(x)

• 
  Слайд 7
  

  СХЕМА ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ИНТЕРВАЛОВ МОНОТОННОСТИ И ЭКСТРЕМУМОВ

  Характер изменения функции - 2 3 + - +

• 
  Слайд 8

  А с и м п т о т ы

  Прямая у = кх +в называется асимптотой графика функции у = f(x) , если расстояние от точки М графика функции до прямой у = кх + в стремиться к нулю при бесконечном удалении точки М. Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у = f(x), если limf(x)=∞ х→ а Прямая у = в является горизонтальной асимптотой графика функции у = f(x), если limf(x)=b х→∞ Прямая у = кх + в является наклонной асимптотой графика функции у = f(x), если limf(x)=к х →∞ х lim(f(x)─kx)=b Х→∞ х У у = в У= f(x) у 0 а Х = а М. .М 0 Х У = f(x) . М у = кх + в y=f(x) У 0 Х

• 
  Слайд 9

  СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ЕЁ ГРАФИКА.

  НАХОЖДЕНИЕ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБЛАСТИ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ЧЕТНОСТЬ И НЕЧЕТНОСТЬ. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ПЕРИОДИЧНОСТЬ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГРАФИКА ФУНКЦИИ С ОСЯМИ КООРДИНАТ И ИНТЕРВАЛОВ, ГДЕ ФУНКЦИЯ СОХРАНЯЕТ ЗНАК. НАХОЖДЕНИЕ АСИМПТОТ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК ЭКСТРЕМУМОВ ФУНКЦИИ. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА.

• 
  Слайд 10

  Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке.

  Функция, непрерывная на отрезке, достигает своего наибольшего и наименьшего значений на этом отрезке либо в критических точках, принадлежащих отрезку, либо на его концах. f(b) у =f(x) f(a) f(xmin) 0 аХminв х Хmax maхf(x)=f(xmax) [a;b] minf(x)=f(xmin) [a;b] 0 а Хmax в х minf(x)=f(b) [a;b] maxf(x)=f(xmax) у [а;b] 0 а ХminХmaxbх maxf(x)=f(a) [а;b]minf(x)=f(b) [a;b] у f(xmax) у f(b) f(a) f(xmax) у f(a) f(xmax) f(xmin) f(b)

• 
  Слайд 11
  

  ۩Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке

  ЭТАПЫ Найти производную Найти на данном отрезке критические точки, т.е. точки, в которых f’(x)=0 или не существует Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка. Из вычисленных значений выбрать наименьшее и наибольшее. пример для функции у = 2x³-3x²-36x+5 на отрезке [0;4] f ' (x)=6x²-6x-36 f'(x)=0 при х = -2 и при х = 3. Отрезку [0;4] принадлежит только одна критическая точка: х = 3. 3. f(0)=5;f(3)=-76;f(4)=-59 4. maxf(x)=f(0)=5; minf(x)=f(3)=-76 [0;4] [0;4]