Презентация на тему "Исследование функций и построение графиков"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Исследование функций и построение графиков

• 
  Слайд 2

  Теоретический материал

• 
  Слайд 3

  Содержание

  1) Область определения функции 2) Свойства функции (четность, нечетность, периодичность) 4) Точки пересечения функции с осями координат 5) Непрерывность функции. Характер точек разрыва 6) Асимптоты 7) Экстремумы функции. Исследование функции на монотонность 8) Выпуклость функции. Точки перегиба

• 
  Слайд 4

  Область определения функции

  Определение.Областью определения функции называется множество значений независимой переменной, при которых функция определена. Примеры.

• 
  Слайд 5

  Четные и нечетные функции

  Функция y=f(x) называется четной, если Функция y=f(x) называется нечетной, если

• 
  Слайд 6

  Периодичные функции

  Определение. Функция y=f(x) называется периодической, если существует такое положительное число Т, что если х принадлежит Df , тох±Т также принадлежит Df и f(x+T)=f(T).

• 
  Слайд 7

  Точки пересечения с осями координат

  При исследовании функции необходимо найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат. Абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох находятся из системы уравнений у=f(x) и у=0, а ординаты точек пересечения графика функции с осью Оу находятся из системы уравнений у=f(x) и х=0.

• 
  Слайд 8

  НепрерывностьХарактер точек разрыва

  Функция у=f(x)называется непрерывной в точке х0, если функция определена в точке х0 и предел функции в точке х0 равен значению функции в точке х0. Функции, непрерывные в каждой точке из области определения функции, называются непрерывными функциями. Примеры непрерывных функций: y=cosx, y=sinx, y=ex , y=Pn(x) (многочлен степени n).

• 
  Слайд 9

  Точки разрыва функции

  Определение. Точкой разрыва функции называется точка из области определения функции, в которой функция не является непрерывной. Пример. Функция разрывна в 0, так как

• 
  Слайд 10

  Классификация точек разрываТочки устранимого разрыва

  Если в точке х0 существуют конечные односторонние пределы функции, равные между собой, но не равные значению функции в точке х0, то точка х0 называется точкой устранимого разрыва.

• 
  Слайд 11

  Классификация точек разрываТочки скачка

  Если в точке х0 существуют конечные односторонние пределы функции, не равные между собой, то точка х0 называется точкой скачка (точкой разрыва I рода).

• 
  Слайд 12

  Классификация точек разрываТочки разрыва II рода

  Если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке х0 не существует или бесконечен, то точка называется точкой разрыва II рода.

• 
  Слайд 13

  Вертикальные асимптоты

  Прямая х=х0 называется вертикальной асимптотой графика функции при , если или .

• 
  Слайд 14

  Наклонные асимптоты

  Если существует прямая y=kx+b такая, что , то эта прямая называется асимптотой графика функции f при . Для того чтобы прямая y=kx+b была асимптотой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: , .

• 
  Слайд 15

  Экстремумы функции

  Пусть функция f (x) определена и непрерывна на интервале (а, b). Точка х0интервала (а, b) называется точкой строгого максимума (минимума) функции f (x), если в некоторой проколотой окрестности точки х0 f (x) f (x0) ). Точки минимума и точки максимума функции называются точками экстремума функции. Необходимое условие экстремума. Пусть точка х0 - точка экстремума функции. Тогда либо производная функции в этой точке равна 0, либо не существует.

• 
  Слайд 16

  Исследование функции на монотонность

  Критические точки функции х=±1. f '(x)>0 при х1; f '(x)0 (f '(x)>0) в (а, b), то функция f (x) строго возрастает(строго убывает)в (а, b). Рассмотрим функцию f(x) = x + 1|x

• 
  Слайд 17

  Выпуклость функции

  Функция у=f(х), определенная на интервале (а, b), называется выпуклой вверх (вниз) в интервале (а, b), если для любых х1и х2 из интервала (а, b) из того, что х1

• 
  Слайд 18

  Выпуклость функции.Точки перегиба

  Если график функции в точке (х0, f(x0)) переходит с одной стороны касательной на другую, то точка х0 называется точкой перегиба функцииf(x). Также говорят, что график функции f (x) имеет на интервале(a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если график этой функции в пределах (a, b) лежит не ниже (не выше) любой своей касательной.

• 
  Слайд 19

  Достаточные условия выпуклости функции и существования точек перегиба

  Достаточное условие строгой выпуклости функции Если на интервале (а,b) f ''(x)>0, то на интервале (а,b) функция выпукла вниз, и если на интервале f ''(x)

• 
  Слайд 20

  Практический материал

• 
  Слайд 21

  Исследуем функцию и построим её график.

  1). Поскольку знаменатель положителен при всех , область определения функции - вся ось 2). Функция f(x) - нечётная, поскольку при смене знакаx числитель меняет знак, а знаменатель остаётся без изменения, откуда f(-x) = - f(x). Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат. Периодической функция не является. 3). Поскольку область определения этой элементарной функции -- вся вещественная ось, вертикальных асимптот график не имеет.

• 
  Слайд 22
  

  4). Найдём наклонные асимптоты при в виде . Имеем: Таким образом, асимптотой как при , так и при служитпрямая .

• 
  Слайд 23
  

  5). Найдём точки пересечения с осями координат. Имеем: f(0) = 0, причёмx=0 - единственное решение уравнения f(x) = 0. Значит, график y = f(x) пересекает сразу и ось Ox, и ось Oyв начале координат. Очевидно, что f(x)>0 при x>0и f(x)

• 
  Слайд 24
  

  6) Найдём производную: Очевидно, что f´(x) ≥ 0 при всех ; единственная точка, в которой f´(x) = 0 - это x=0. Значит, функция f(x) возрастает на всей оси Ox, а в стационарной точке x=0имеет горизонтальную касательную.

• 
  Слайд 25
  

  7) Найдём вторую производную: Знаменатель этой дроби положителен при всех x. Числитель имеет корни x=0 и x=±√3, при этом f’’(x)>0 на интервалах и - на этих интервалах функция выпукла. На интервалах и выполняется обратное неравенство f’’(x)

• 
  Слайд 26
  

  8). Теперь мы можем построить график с учётом всех предыдущих пунктов исследования функции. График имеет такой вид:

• 
  Слайд 27

  Исследуем функцию f(x) = (x2 – 2x)exи построим её график.

  1). Ясно, что D(f) = R, поскольку оба сомножителя в выражении f(x) определены при любом . Область значений E(f) найдём после того, как отыщем локальные экстремумы функции. 2). Функция не является ни чётной, ни нечётной; не является она и периодической. 3). Область определения не имеет граничных точек, значит, нет и вертикальных асимптот графика.

• 
  Слайд 28
  

  4) Будем искать наклонные асимптоты в виде y = kx + b. Коэффициент kнайдём по формуле : при имеем так что при асимптоты нет, причём функция f(x) стремится к при . Приимеем:

• 
  Слайд 29
  

  Теперь найдём значение bпо формуле . Имеем: Таким образом, k=0и b=0, так что при асимптота имеетуравнение y=0, то есть совпадает с осью Ox. 5). Точка пересечения с осью Oyравна f(0)=0. Заодно нашли одну точку пересечения с осью Ox. Чтобы найти все точки пересечения графика с осью Ox, решаем уравнение f(x) = (x2 – 2x)ex. Поскольку ex ≠ 0, решаем уравнение , откуда получаем два корня: x=0иx=2. Так как точек разрыва нет, то имеем три интервала знакопостоянства функции: , и .

• 
  Слайд 30
  

  Знак функции определяется множителем x2 – 2x, поскольку ex >0 при всех x. Значит, f(x)>0 при и при и f(x)0, то есть, с учётом того, что ex >0, неравенством x2 – 2x>0. Решением этого неравенства служит множество На этих двух интервалах функция возрастает. Легко видеть, что на интервале выполняется неравенство f‘(x)

• 
  Слайд 31
  

  Значение функции в этой точке равно В точке √2 убывание сменяется возрастанием, значит, точка √2 -- точка локального минимума функции. Значение функции в точке минимума таково: Теперь мы можем примерно представить, как идёт график функции: Эскиз графика функции f(x)

• 
  Слайд 32
  

  Становится очевидно, что область значений функции -- это 7) По эскизу графика видно, что где-то в местах, обведённых кружочками, должно смениться направление выпуклости, то есть должны быть точки перегиба. Для исследования этого найдём вторую производную: Решим неравенство,эквивалентное неравенству x2+2x-2>0. Решением этого квадратного неравенства служит объединение интервалов и. На этих интервалах функция выпукла.

• 
  Слайд 33
  

  Ясно, что на интервале функция будет вогнутой. Тем самым точки и  -- это точки перегиба. Значения функции в точках перегиба такие: 8). Осталось построить окончательный чертёж: График функции(x2 – 2x)ex .