Содержание
-
Сложение колебаний
-
Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты: х1 = А1cos (t + 1), х2 = А2cos (t + 2). Результирующее колебание х = х1 + х2 должно быть гармоническим колебанием той же частоты , что и складываемые колебания, то есть х = А cos (t + ). Задача заключается в нахождении амплитуды А и начальной фазы результирующего колебания.
-
Сложение гармонических колебаний проведём на векторной диаграмме.
-
Результирующий вектор, определяемый по правилу параллелограмма, будет изображать результирующее колебание х = х1 + х2. Амплитуду А результирующего колебания определим из векторной диаграммы по теореме косинусов: и начальную фазу из
-
Амплитуда результирующего колебания получается наибольшей (А = Амакс) при их синфазности, т. е. при разности фаз кратной чётному числу : Амакс= А1 + А2 при 2 - 1 = 2m;
-
При разности фаз складываемых колебаний кратной нечётному числу они оказываются в противофазе, и амплитуда результирующего колебания получается минимальной. Амин = А1 - А2 при 2 - 1 = (2m + 1); m = 0, 1, 2, …
-
При равенстве амплитуд А1 = A2 складываемых колебаний амплитуда результирующего колебания становится равной нулю. Противофазные колебания с равными амплитудами полностью погашают друг друга.
-
БИЕНИЯ х1 = А1cos (t + 1) х2 = А1cos ( + )t + 2)], где . Результирующий вектор с амплитудой А = А1 + A2 будет при этом пульсировать по величине (по модулю) и вращаться с переменной скоростью.
-
В результате сложения этих двух колебаний получаем х = Аcost + Аcos ( + )t = = 2А[cos (/2)t]cost
-
Биенияминазывают периодические изменения амплитуды результирующего колебания от сложения двух однонаправленных колебаний с близкими частотами: - частота биений.
-
Сложение перпендикулярных колебаний. Задача нахождения траектории результирующего движения заключается в исключении параметра t и связывании напрямую координат у и х.
-
После необходимых математических преобразований (выразить косинус суммы аргументов, найти чему равны sin t и cost)получаем уравнение эллипса с произвольной ориентацией его осей относительно осей Х и У.
-
Частные случаи: а) = 0 (или 2m) - колебания по х и у - синфазны: б) = (2m + 1) - колебания по х и у противофазны. Траектория – прямая линия.
-
в) = 2 - колебания по х и у фазно-ортогональны. Уравнение траектории: х2А2 + у2/В2 = 1 - уравнение эллипса приведённого к осям координат. При равенстве амплитуд складываемых взаимно-перпендикулярных колебаний эллипс вырождается в окружность. Случаи = /2 и = - /2 отличаются направлением движения точки по эллипсу или окружности (по или против часовой стрелки).
-
Фигуры Лиссажу. Частоты взаимно - перпендикулярных колебаний не одинаковы. При кратности частот траектория становится замкнутой, причём число пересечения ею осей Х и Y повторяет соотношение частот соответствующих колебаний.
-
ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
-
Сила трения (или сопротивления) где r– коэффициент сопротивления, – скорость движения. Запишем второй закон Ньютона для затухающих прямолинейных колебаний вдоль оси x: где kx – возвращающая сила, rυx – сила трения. Разделим на массу и введем обозначения: . Получаем
-
Решение этого уравнения имеет вид (при ): где ω0 – круговая частота собственных колебаний (без затухания); ω – круговая частота свободных затухающих колебаний. Для колебаний под действием упругой силы ;; -
-
называется условным периодом затухающих колебаний
-
Найдем отношение значений амплитуды затухающих колебаний в моменты времени t и t+T: где β– коэффициент затухания. . =
-
Натуральный логарифм отношения амплитуд, следующих друг за другом через период Т, называется логарифмическим декрементом затухания: Время релаксации– время, в течение которого амплитудаАуменьшается в eраз. отсюда
-
Пусть N число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в e раз. Тогда ; ; Итак, логарифмический декремент затухания есть физическаявеличина, обратнаячислу колебаний, по истечении которых амплитуда А уменьшается в e раз.
-
При большом коэффициенте затухания происходит не только быстрое уменьшение амплитуды, но и заметно увеличивается период колебаний. Когда сопротивление становится равным критическому , а то круговая частота обращается в нуль ( ), а ( ), колебания прекращаются. Такой процесс называется апериодическим . При колебаниях тело, возвращающееся в положение равновесия, имеет запас кинетической энергии. В случае апериодического движения энергия тела при возвращении в положение равновесия оказывается израсходованной на преодоление сил сопротивления, трения.
-
Для характеристики колебательной системы употребляется величина, называемая добротностью. Добротность пропорциональна количеству колебаний, совершенных системой за время, за которое амплитуда уменьшается в е раз ( то есть за время релаксации).
-
Пружинный маятник Колебательный контур
-
При малых затуханиях можно считать, что энергия в колебательной системе изменяется по закону где - значение энергии в начальный момент времени. Продифференцируем это выражение по времени:
-
Скорость убывания энергии со временем Если за период энергия мало изменяется, то при умножении этого выражения на Tможно найти убыль энергии за период и выразить добротность через энергию.
-
При слабом затухании колебаний добротность с точностью до множителя 2 равна отношению энергии, запасенной в системе в данный момент к убыли этой энергии за один период колебаний.
-
Контрольные вопросы Формулы амплитуды и начальной фазы результирующего колебания при сложении одинаково направленных колебаний. Общая формула траектории взаимно перпендикулярных колебаний. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Логарифмический декремент затухания. Определение добротности и формулы для пружинного маятника и колебательного контура
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.