Презентация на тему "Производная функции. Определение, геометрический смысл, правила дифференцирования" 11 класс

Содержание

• 
  Слайд 1

  Производная функции

  Определение производной Геометрический смысл производной Связь между непрерывностью и дифференцируемостью Производные основных элементарных функций Правила дифференцирования Производная сложной функции Производная неявно заданной функции Логарифмическое дифференцирование

• 
  Слайд 2

  Определение производной

  Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале (a; b). Аргументу x придадим некоторое приращение : y 0 х х f(x) x+Δx f(x+ Δx) Найдем соответствующее приращение функции: Если существует предел то его называют производной функции y = f(x) и обозначают одним из символов:

• 
  Слайд 3
  

  Итак, по определению: Функция y = f(x) , имеющая производную в каждой точке интервала (a; b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Значение производно функции y = f(x) в точке x0 обозначается одним из символов: Если функция y = f(x) описывает какой – либо физический процесс, то f ’(x) есть скорость протекания этого процесса – физический смысл производной.

• 
  Слайд 4

  Геометрический смысл производной

  Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и М1: y 0 х х f(x) x+Δx М М1 f(x+ Δx) Через точки М и М1 проведем секущую и обозначим через φ угол наклона секущей. φ При в силу непрерывности функции также стремится к нулю, поэтому точка М1 неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая ММ1 переходит в касательную. y 0 х х f(x) α М

• 
  Слайд 5
  

  Производная f ’(x) равна угловому коэффициентукасательной к графику функции y = f(x) в точке, абсцисса которой равна x. Если точка касания М имеет координаты (x0; y0), угловой коэффициент касательной есть k = f’(x0). Уравнение прямой с угловым коэффициентом: Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой. Уравнение касательной Уравнение нормали

• 
  Слайд 6

  Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

  Если функция f(x) дифференцируема в некоторой точке , то она непрерывна в ней. Теорема Пусть функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке х, следовательно существует предел: Доказательство: где при По теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции Функция y = f(x) – непрерывна. Обратное утверждение не верно: непрерывная функция может не иметь производной.

• 
  Слайд 7

  Производные основных элементарных функций

  1 Формула бинома Ньютона: Степенная функция: Придадим аргументу x приращение , тогда функция получит приращение: K – факториал

• 
  Слайд 8
  

  По формуле бинома Ньютона имеем: Тогда:

• 
  Слайд 9
  

  2 Логарифмическая функция: Аналогично выводятся правила дифференцирования других основных элементарных функций.

• 
  Слайд 10

  Правила дифференцирования

  Пусть u(x) , v(x) и w(x) –дифференцируемые в некотором интервале (a; b) функции, С – постоянная.

• 
  Слайд 11

  Производная сложной функции

  Пусть y =f(u) и u = φ(x) , тогда y =f(φ(x)) – сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x. Теорема Если функция u = φ(x) имеет производную в точке x а функция y =f(u) имеет производную в соответствующей точке u, то сложная функция имеет производную , которая находится по формуле: Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько:

• 
  Слайд 12

  Пример

  Вычислить производную функции

• 
  Слайд 13
  

  Вычислить производную функции Данную функцию можно представить следующим образом: Коротко:

• 
  Слайд 14

  Производная неявно заданной функции

  Если функция задана уравнением y =f(х) , разрешенным относительно y, то говорят, что функция задана в явном виде. Для нахождения производной неявно заданной функции необходимо продифференцировать уравнение по х, рассматривая при этом y как функцию от х, и полученное выражение разрешить относительно производной. Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения не разрешенного относительно y:

• 
  Слайд 15

  Логарифмическое дифференцирование

  В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать, а затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.

• 
  Слайд 16
  

  Функция называется степенно – показательной. Пусть u =u(x) и v = v(x)– дифференцируемые функции. Производная такой функции находится только с помощью логарифмического дифференцирования.