Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.
Добавить свой комментарий
Аннотация к презентации
Скачать презентацию (0.3 Мб). Тема: "Теорема Менелая и теорема Чевы". Предмет: математика. 20 слайдов. Для учеников 11 класса. Добавлена в 2016 году. Средняя оценка: 4.0 балла из 5.
Теорема Менелая и теорема Чевы в школьном курсе математики
«Все незначительное нужно,
Чтобы значительному быть…»
И. Северянин
Работа учителя математики Колиной Н.К.,МБОУ сош№17,г.Заволжье Нижегородской области
Слайд 2
Содержание
Теоретические основы
Теорема Чевы
Теорема Менелая
Методические рекомендации
Методика обучения решению задач в период предпрофильной подготовки
Изучение темы «Теорема Менелая и теорема Чевы» в курсе геометрии 10 класса
Применение теорем Менелая и Чевы в решении стереометрических задач
Слайд 3
Теорема Чевы
Пусть в ∆ABC на сторонах BC,AC,AB или их продолжениях взяты соответственно точки A1, B1 и C1,не совпадающие с вершинами треугольника. Прямые A A1, BB1и CC1пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда выполняется равенство
Слайд 4
Теорема Менелая
Пусть на сторонах AB, BC и на продолжении стороны AC (либо на продолжениях сторон AB,BC и AC) ∆ABC взяты соответственно точки C1,A1 и B1, не совпадающие с вершинами ∆ABC . Точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство
Слайд 5
Методика обучения решению задач в период предпрофильной подготовки
1. Теорема Менелая и пропорциональные отрезки в треугольнике.
2. Теорема Чевы и ее следствия. Применение теорем Чевы и Менелая к задачам на доказательство.
3. Решение задач на пропорциональное деление отрезков в треугольнике.
4. Решение задач, связанных с нахождением площадей.
5. Комбинированные задачи.
Слайд 6
Теорема Менелая и пропорциональные отрезки в треугольнике
Задача 1.В треугольнике ABC точка D делит сторону BC в отношении BD:DC= 1: 3, а точка O делит AD в отношении AO:OD=5:2. В каком отношении прямая BO делит отрезок AC?
Задача 2.В∆ABC на стороне AC взята точка M, а на стороне BC – точка K так, что AM: MC= 2:3, BK: KC= 4:3. В каком отношении AK делит отрезок BM?
Задача 3. В ∆ABCAA1 - биссектриса,
BB1- медиана; AB=2, AC=3;
Найти BO: OB1
Слайд 7
Теорема Чевы и ее следствия.
Следствие1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Следствие 2.Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Следствие3. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Слайд 8
Следствие4. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Следствие 5. Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон, пересекаются в одной точке.
Слайд 9
Применение теорем Чевы и Менелая к задачам на доказательство
Задача 1. Используя теорему Чевы, доказать, что в произвольном треугольнике прямые, проходящие через вершины и делящие периметр треугольника пополам, пересекаются в одной точке.
Задача 2. На стороне AC треугольника ABC взяты точки P и E , на стороне BC – точки M и K, причем AP: PE: EC= CK: KM: MB. Отрезки AM и BP пересекаются в точке O, отрезки AK и BE – в точке T. Докажите, что точки O, T и С лежат на одной прямой.
Слайд 10
Задачи на пропорциональное деление отрезков в треугольнике.
Задача 1. В треугольнике ABC, описанном около окружности, AB = 8, BC = 5, AC = 4. Точки A1,В1 и C1 - точки касания, принадлежащие соответственно сторонам BC,AC и BA. Точка P - точка пересечения отрезков AA1 и CC1. Найдите AP:PA1.
Задача 2. Стороны треугольника 5, 6 и 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.
Слайд 11
Задача 3. В треугольнике ABC, площадь которого равна 6, на стороне AB взята точка K, делящая эту сторону в отношении AK:BK = 2:3, а на стороне AC – точка L, делящая AC в отношении AL: LC = 5:3. Точка Q пересечения прямых CK и BL удалена от прямой AB на расстояние 1,5. Найдите длину стороны AB.
Задача 4. На стороне AC в треугольнике ABC взята точка K. AK=1, KC = 3. На стороне AB взята точка L. AL:LB=2:3. Q – точка пересечения прямых BK и CL. S = 1. Найдите длину высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B.
Слайд 12
Задачи, связанные с нахождениемплощадей
Задача 1. Медиана BD и биссектриса AE треугольника ABC пересекаются в точке F. Найти площадь треугольника ABC , если AF=3FE, BD=4, AE=6.
Задача 2. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки M и N соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке L. Площади треугольников AML , CNL и ALC равны соответственно 15, 48 и 40. Найти площадь треугольника ABC.
Слайд 13
Комбинированные задачи.
Задача 1. На стороне NP квадрата MNPQ взята точка A, а на стороне PQ – точка B так, что NA:AP = PB:BQ = 2:3. Точка L является точкой пересечения отрезков MA и NB. В каком отношении точка L делит отрезок MA?
Задача 2. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC через точку A проведена прямая, которая пересекает диагональ BD в точке E и боковую сторону CD в точке K, причем BE:ED=1:2, CK:KD=1:4. Найдите отношение длин оснований трапеции.
Слайд 14
Изучение темы «Теорема Менелая и теорема Чевы» в курсе геометрии 10 класса
Урок 1. Теорема Менелая и теорема Чевы.
Задача.В треугольнике ABC на стороне AC взята точка N так, что AN:NC=m:n, на стороне BC- точка K. BN пересекает AK в точке Q,
BQ : QN= p:q. Найти отношение площадей треугольников AKC и ABK.
( т.к. высоты равны)
I способ.Дополнительное построение: ND //
BC.
Слайд 15
II способ.Рассмотрим треугольник BCN и секущую AK. По теореме Менелая
Слайд 16
Урок 2. Применение теорем Менелая и Чевы в решении ключевых задач
Изучение темы «Теорема Менелая
и теорема Чевы» в курсе геометрии 10 класса
Цели урока:1)формировать умения:
-видеть конфигурации, удовлетворяющие
заданным условиям;
-решать задачи нестандартными
способами;
-использовать теоремы в задачах на
доказательство;
2) развивать самостоятельность.
Слайд 17
Задача.В равнобедренном треугольнике ABC (AС=BC) проведены медиана BN и высота АМ, которые пересекаются в точке D. AD=5, DM=2. Найти
Решение: AN=NC, AM=5+2=7. Рассмотрим ∆AMC и секущую NB. По теореме Менелая
Пусть коэффициент пропорциональности равен k, тогда СМ=3k, BM=2k. Из ∆ACM- прямоугольного:
;
,
,
Ответ:
Слайд 18
Применение теорем Менелая и Чевы в решении стереометрических задач.
Задача 1.На продолжении ребра АС правильной треугольной пирамиды ABCD с вершиной D взята точка K так, что КА:КС=3:4, а на ребре DC взята точка L так, что DL:LC=2:1. В каком отношении делит объем пирамиды плоскость, проходящая через точки B, L и К?
Задача 2. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с вершиной S. На продолжении ребра CD взята точка M так, что DM=2CD . Через точки М, В и середину ребра SC проведена плоскость. В каком отношении она делит объем пирамиды?
Слайд 19
Задача 3. Дана правильная треугольная призма с боковыми ребрами AA1,BB1 и CC1. Причем на продолжении ребра BA взята точка M так, что MA=AB. Через точки M,B1 и середину ребра AC проведена плоскость. В каком отношении она делит объем призмы?
Слайд 20
«Умение решать задачи- такое же практическое искусство, какумение плавать или бегать. Емуможно научиться только путем подражания или упражнения»Д.Пойа
Общеизвестно, что геометрическая линия является одной из центральных линий курса математики. Она предполагает систематическое изучение свойств геометрических фигур на плоскости, формирование пространственных представлений, развитие логического мышления и подготовку аппарата, необходимого для изучения смежных дисциплин и курса стереометрии.
В геометрических задачах, в отличие от задач алгебраических, далеко не всегда удается указать рецепт решения, алгоритм, приводящий к успеху. Здесь, помимо формального знания многочисленных соотношений между элементами геометрических фигур, необходимо иметь интуицию и опыт[21,с.222]. Важно уметь смотреть и видеть, замечать различные особенности фигур, делать выводы из замеченных особенностей, предвидеть возможные дополнительные построения, облегчающие анализ задачи. «Умение решать задачи - такое же практическое искусство, как умение плавать или бегать. Ему можно научиться только путем подражания или упражнения»,- писал Д. Пойа.
Одним из интереснейших разделов элементарной геометрии справедливо считается геометрия треугольника. Треугольники изучаются на протяжении всего курса планиметрии. Их изучение начинается с признаков равенства треугольников, центральное место курса занимают метрические соотношения в треугольниках, рассматривается серия теорем о «замечательных точках» в треугольниках, изучаются подобные треугольники.
Это не случайно. Несмотря на то, что треугольник едва ли не простейшая после отрезка фигура, он имеет много важных и интереснейших свойств, к которым сводятся свойства других, более сложных фигур. Среди теорем о треугольниках есть такие, изучение которых позволяет существенно расширить круг геометрических задач, решаемых школьниками. Значение их состоит прежде всего в том, что из них или с их помощью можно вывести большинство теорем геометрии, они служат основой многих дальнейших выводов. Таковыми являются теорема Пифагора, теорема синусов, теорема косинусов и т.д. С понятием треугольника связаны имена многих выдающихся ученых: теорема Пифагора, формула Герона, прямая Эйлера, теорема Карно и многие другие.
Но в геометрии треугольника много и таких теорем, авторы которых остались в истории науки только «благодаря треугольникам». Речь идет о двух таких теоремах – теореме Чевы и теореме Менелая. Они не входят в школьный курс математики основной школы, включены в программу профильного курса изучения геометрии в 10 классе. При этом обе они имеют интересные и многочисленные приложения, позволяют легко и изящно решать целый класс задач.
С темой «Теорема Менелая и теорема Чевы» учащиеся впервые встречаются в курсе геометрии 10 класса профильного уровня, причем из 17 часов, отведенных на изучение главы «Геометрия на плоскости», ей уделяется всего 2 часа. Понятно, что за такое время можно лишь ознакомиться с теоремами и рассмотреть их применение к простейшим задачам. Для формирования умений различать этот тип задач, решать их нужно время и соответствующая система упражнений. Не удивительно, что учащиеся быстро забывают факты, связанные с этими утверждениями.
Все это наводит на мысль о том, что полезно начинать знакомить учащихся с подобными теоремами и задачами намного раньше - еще в период предпрофильной подготовки, в 8-9 классах - параллельно с соответствующими разделами школьной программы по математике. Очевидно, в рамках уроков это сделать не удастся из-за той же нехватки времени. Здесь смогут помочь элективные курсы, факультативные занятия, математические кружки.
Данная работа написана на основе практических занятий с учащимися выпускных классов: в девятых классах (2004-2006 г.г.) - в рамках факультатива с учениками, проявляющими повышенный интерес к предмету; в 11 классе (2001-2005 г.г.) – в ходе довузовской подготовки, а также в 10 классе (2006 г.) - в соответствии с программой класса естественнонаучного профиля.
Многие из разобранных задач предлагались на подготовительных курсах, вступительных экзаменах в МГУ, МФТИ, ННГУ. Часть задач взята из сборников, указанных в списке литературы. Представленный в работе материал начал изучаться в 2000 году; после выступления на районном семинаре учителей- математиков в 2003 году разработками начали пользоваться и коллеги.
Основные цели работы:
- анализ учебной и методической литературы по изучаемой теме;
- изучение опыта учителей, работающих в этом направлении;
- анализ и обобщение личного опыта, выдача практических рекомендаций, которые могут быть использованы учителями при решении данной проблемы.
В главе I «Теоретические основы темы «Теорема Менелая и теорема Чевы»» рассматриваются теоретические вопросы, причем более углубленно, чем предусмотрено «Программой для классов с углубленным изучением математики». Это позволяет варьировать, дозировать изучение материала в зависимости от степени подготовленности класса.
В главе II «Методические рекомендации к изучению темы «Теоремы Менелая и Чевы» в школьном курсе математики» предложена модель обучения решению задач на пропорциональное деление отрезков. Известно, что их можно решать разными способами: методом подобия, методом площадей, с помощью геометрии масс или векторным методом. В работе же представлен еще один, довольно простой метод решения - с использованием теорем Менелая и Чевы.
Обучение решению геометрических задач с применением теорем Менелая и Чевы предлагается провести в 3 этапа:
1 этап – в период предпрофильной подготовки, в 8-9 классах, познакомить учащихся с теоремами и сформировать умения решать ключевые задачи темы;
2 этап – рассмотреть соответствующие вопросы в школьном курсе геометрии 10 класса профильного уровня;
3 этап – после изучения основ стереометрии показать, как «работают» теоремы в решении стереометрических задач.
Предложенная система упражнений удовлетворяет следующим требованиям:
1) задачи разделены по видам: а) по характеру требования- задачи на доказательство, на вычисление или нахождение; б) по отношению к способу решения - стандартные и нестандартные;
2) среди упражнений достаточное число дидактических, то есть одно-, двухшаговых заданий для реализации этапа осознания, осмысления изучаемого материала, направленных на формирование умений;
3) включены комплексные задачи, то есть задачи, при решении которых используются знания, полученные при изучении не только данной, но и предыдущих тем, а также при изучении других разделов математики;
4) в систему задач входят и задачи, специально направленные на формирование положительных качественных характеристик ума: задачи с нестандартной постановкой вопроса, задачи, допускающие несколько способов решения;
5) задачи рассчитаны на учащихся с различными уровнями подготовленности, что обеспечивает соблюдение принципа посильных трудностей.[7, с.203-204]
Глава 1. Теоретические основы темы «Теорема Менелая и теорема Чевы ».
«Все незначительное нужно,
чтобы значительному быть…»
И. Северянин.
1.1. Теорема Чевы.
Мы знаем, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Поставим теперь общий вопрос. Рассмотрим
ABC и отметим на его сторонах BC, AC и AB (или их продолжениях) соответственно точки A
,B
и C
( рис.1).
При каком расположении этих точек прямые AA
, BB
и CC
пересекутся в одной точке?
Ответ на этот вопрос нашел в 1678 году итальянский инженер-гидравлик Джованни Чева (1698г.-1734г.). Чева создал учение о секущих, положившее начало новой синтетической геометрии. Известна его работа «О взаимном расположении пересекающихся прямых» (1678г.) и теорема Чевы о соотношениях отрезков в треугольнике.
(Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противолежащих сторонах, называют чевианами - понятно, почему).
Сформулируем теорему Чевы.
Теорема.Пусть в
ABC на сторонах BC,AC и AB или их продолжениях взяты соответственно точки A
,B
и C
, не совпадающие с вершинами треугольника. Прямые AA
, CC
и BB
пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда выполняется равенство
.
.
=1 (
)
Доказательство. Следует заметить, что формулировка теоремы Чевы содержит два взаимно обратных утверждения.
Необходимость. Пусть AA
, BB
, CC
пересекаются в точке O. Докажем справедливость равенства (
) .
1) Рассмотрим сначала случай внутренней точки O (рис.1а), при котором точки A
,B
,C
лежат на отрезках BC,AC и AB соответственно.
Проведем через вершину B прямую a ll AC (рис.2). Пусть AA
∩a =M,
CC
∩ a=N.
Замечаем, что
AA
C~
MA
B по I признаку (
AA
C=
MA
B как вертикальные,
CAA
=
BMA
как накрест лежащие при параллельных прямых а, АС и секущей АМ).
Тогда
=
(1) .
Аналогично
из подобия
AC
C и
BC
N по I признаку имеем
=
(2);AOB
~
MOB
=
(3)
B
OC~
BON
=
(4)
Из (3) и (4) получаем
=
или
=
(5)
Перемножив соответственно левые и правые части равенств (1), (2) и (5), получим равенство(
):
.
.
=
.
.
=1. Необходимость доказана.
Примечание 1: равенство (
) можно получить, заменив отношения отрезков в его левой части на отношение площадей. Считаю целесообразным привести другое
доказательство.
Итак, вернемся к (рис.1а), заметим, что
AOB и
COB
рис.3 имеют общую сторону BO.
Их высоты AL и CK соответственно (рис.3).
AB
L~
CB
K,
=
.
Тогда
�� EMBED Equation.3 =
=
=
.
Аналогично,
AOC и
COB имеют общую сторону OC .
=
. Наконец,
=
.
Перемножая эти три равенства, получаем 1=
.
.
=
.
.
,что соответствует (
) [19,с.87].
2) Рассуждая аналогично для случая внешней точки O (рис1б), замечаем, что теорема Чевы остается справедливой для точек A
,B
,C
, одна из которых принадлежит стороне треугольника, а две другие – продолжениям сторон. Действительно, пусть AL -высота в
AOB ,проведенная из вершины A, CK- высота в
COB, проведенная из вершины C, OB – их общая сторона (рис.4).
=
. Из подобия
AB
L и
СB
K по I признаку имеем
=
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 =
. Аналогично,
=
,
=
. Перемножая, получаем нужное равенство. Следует только помнить, что при составлении отношений, выходя из вершины треугольника, мы сначала идем в точку деления(A
,B
или C
соответственно) - она может быть расположена вне стороны треугольника - а потом к очередной вершине; заканчивать необходимо в той же вершине, с которой начали.
Примечание 2: можно сообщить теорему Чевы учащимся уже в 8 классе (общеобразовательный класс, факультатив, кружок) после изучения темы «Площадь треугольника». Тогда доказательство можно провести следующим образом.
Так как
ABB
и
B
BC (рис.1а) имеют равные высоты, то их площади относятся как основания, то есть
=
�� EMBED Equation.3 S
=
.S
Аналогично,
=
S
=
.S
Тогда
=
=
=
(1)
=
(высоты равны)
S
=
.S
C другой стороны,
=
�� EMBED Equation.3 S
=
.S
�� EMBED Equation.3 =
=
(2) И, наконец,
=
=
, откуда выражаем S
и S
=
=
(3) . Перемножим (1), (2), (3), получим равенство (
).
3) Докажем равенство (
) для случая, когда прямые AA
,BB
,CC
параллельны
(рис.5)
а)
CAA
~
CB
B по I признаку,
=
=
(1)
б)
BB
A~
C
CA по I признаку,
=
=
(2)
в)
С
BC~
ABA
по I признаку,
=
=
(3)
Перемножая равенства
=
,
=
и
=
,
рис.5 получаем 1=
�� EMBED Equation.3 BC=
(4)
Перемножая равенства
=
,
=
и
=
, получаем
1=
BC=
(5). Из (4) и (5)
=
, поделим его на
правую часть, получим (
).
Достаточность.
Пусть для точек A
,B
,C
выполнено равенство (
).Покажем, что прямые
AA
,BB
и CC
проходят через одну точку. Пусть AA
�� EMBED Equation.3 BB
=O, CO
AB=C
.Тогда для точек A
,B
,C
по теореме Чевы (необходимость) выполняется условие
.
.
=1.
Сравнивая это равенство со (
), получаем, что
=
. Это означает, что точки C
и C
делят отрезок AB (в случае внутренней точки O) в одном и том же отношении, а значит, точка C
совпадает с точкой C
. В случае внешней точки O рассуждение аналогично. Если же (
) выполняется и при этом AA
ll CC
, то через вершину B проведем прямую b ll AA
, найдем точку B
ее пересечения с прямой AC (рис. 6).
Так как для случая трёх параллельных прямых теорема Чевы (прямое утверждение) была доказана, то для прямых AA
,b,CC
выполняется
.
.
=1.
Сравнивая его со (
), получаем
=
. Если точки B
и B
принадлежат отрезку AC, то они делят его в одном и том же отношении, а значит, совпадают. Если B
и B
не принадлежат отрезку AC, то они лежат по одну сторону от точек A или C в зависимости от того, лежит ли A
на отрезке AC или C
на отрезке AB , и из равенства отношений следует совпадение точек B
и B
,а значит, BB
ll AA
ll СС
. Теорема доказана.
Примечание 3: процедура составления(
) не зависит от выбора «отправной» вершины и направления обхода, так как всегда будет получаться произведение, равное 1. Действительно, если
.
.
=m=1, то
=
=1 (и т.д.).
1.2.Теорема Чевы в форме синусов.
В каждом из рассмотренных случаев – и в случае внутренней точки O и в случае внешней точки O- условие (
) Чевы можно записать также в виде
.
.
=1(
�� EMBED Equation.3 )
Доказательство: можно воспользоваться равенствами
=
=
=
.
(1)
=
=
=
(2)
=
=
=
(3)
Перемножая (1), (2), (3), получаем (
�� EMBED Equation.3 ).[10, с.8].
1.3.Теорема Менелая.
Пусть на сторонах AB,BC и на продолжении стороны AC (либо на продолжениях сторон AB,BC и AC)
ABC взяты соответственно точки C
,A
и B
, не совпадающие с вершинами
ABC. Точки A
,B
,C
лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство
.
.
=1 (
)
Доказательство:
1.Необходимость. а) Пусть A
,B
,C
лежат на одной прямой, причем A
- на стороне BC, C
-на стороне AB, B
- на продолжении стороны AC за точку C.Докажем справедливость (
). Проведем СК ll AB (рис.8).
KCB
~
C
AB
по I признаку,
=
KC=
(1)
BC
A
~
CKA
по I признаку,
=
KC=
(2)
Из (1) и (2) имеем
=
. Разделив обе части этого равенства на
, получим (
).
Примечание 4: необходимость может быть доказана и другим способом; приведем и его, чтобы показать еще одну возможность получить подобные треугольники.
Для этого проведем перпендикуляры AM, BN, CK на
прямую C
B
( рис.9).
AMC
~
BNC
по I признаку,
=
;
рис.9
A
BN~
A
CK по I признаку,
=
;
CKB
~
AMB
по I признаку,
=
.
Перемножая эти три равенства, получим
.
.
=
.
.
=1.
б) Рассмотрим случай, если все три точки A
,B
,C
взяты на продолжениях сторон
ABC,причем лежат на одной прямой. Как и в случае а), проведем CK ll AB(рис.10).
CKB
~
AC
B
по I признаку,
=
CK =
;
CKA
~
BC
A
по I признаку,
=
CK=
, тогда
=
=1, то есть равенство (
)
верно.
2.Достаточность. Пусть B
взята на продолжении AC, точка C
лежит на стороне AB, точка A
- на стороне BC, причем для них выполняется
.
.
=1(
).
Докажем, что A
,B
,C
лежат на одной прямой. Заметим сначала, что
.
1, так как тогда из (
) имеем, что
=1, что неверно (рис.8).Отсюда следует, что
,то есть прямые A
C
и AC не параллельны. Проведем через точки C
и A
прямую. Она пересечет прямую AC в некоторой точке B
. Для точек A
, C
и B
верна теорема Менелая, так что
.
.
=1. Сравнивая это равенство со (
), получаем
=
; это показывает, что обе точки B
и B
лежат на продолжении отрезка AC за одну и ту же точку, ибо правее C данное отношение меньше 1, а левее A оно строго больше 1. Пусть CB
= x , CB
=y, AC=b. Тогда, учитывая, что B
A=x+b, B
A=y+b, перепишем полученное равенство в виде
, откуда xy+xb=xy+yb, то есть x=y Из равенства CB
= CB
следует, что B
совпадает с B
, то есть A
,B
,C
лежат на одной прямой [19, с.86]. Аналогично доказывается достаточность для случая, когда все три точки лежат на продолжениях соответствующих сторон.
Теорема доказана.
Эта теорема входит в золотой фонд древнегреческой математики. Она дошла до нас в арабском переводе книги « Сферика» Менелая Александрийского (I век н.э.). Равенство Менелая аналогично условию Чевы, и его можно записывать, начиная с любой вершины треугольника в любом направлении ( по часовой стрелке, против часовой стрелки).Легко заметить, что при составлении равенства надо переходить от вершины к вершине через точку пересечения секущей линии с этой стороной или ее продолжением; заканчивать необходимо в той же вершине, с которой начали.
Обозначим R=
.
.
.Замечаем, что утверждение R=1 имеет место и в теореме Чевы, и в теореме Менелая. Поэтому справедливо следующее утверждение:
Пусть в треугольнике ABC на прямых AB,BC и AC взяты точки C
,A
,B
, причем k из них лежат на сторонах треугольника и 3-k - на продолжениях сторон. Тогда
а) точки A
,B
,C
лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда R=1 и k четно (теорема Менелая);
б) прямые AA
, BB
и СС
пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда R=1 и k нечетно (теорема Чевы) [14, с.113].
Примечание 5: можно вместо отношения
и других рассматривать отношения направленных отрезков, которые будем обозначать
и определять следующим образом: │
│=
,
положительно, если векторы
и
одинаково направлены, и отрицательно, если они противоположно направлены (
имеет смысл только для точек, расположенных на одной прямой). Легко видеть, что отношение
положительно, если точка C
лежит на отрезке AB, и отрицательно, если C
- вне AB.
Соответственно, вместо R будем рассматривать произведение отношений направленных отрезков, которое обозначим
. Тогда
Теорема Чевы: Для того чтобы прямые AA
,BB
,CC
пересекались в одной точке (или были параллельны), необходимо и достаточно, чтобы
=1 [23, с.40].
Действительно, если все три точки лежат на сторонах
ABC (k=3), то все три отношения в произведении
будут положительными, а это значит, что
=1. Если одна из точек лежит на стороне, а две другие - на продолжениях сторон треугольника, то два отношения направленных отрезков будут с минусом, и произведение снова будет равно 1.
Теорема Менелая: Для того чтобы точки A
,B
,C
лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы
=-1 [23,с.41].
Действительно, если две точки лежат на сторонах треугольника, а третья - на продолжении, то одно отношение направленных отрезков отрицательно, а два – положительны; значит, произведение
=-1.
Если все три точки лежат на продолжениях сторон, то все три отношения направленных отрезков будут отрицательными, следовательно, снова
=-1.
Примечание 6: поскольку у школьников могут возникнуть трудности в понимании формулировки теорем, целесообразно, в зависимости от уровня учащихся, теоремы переформулировать: разделить на две – прямую и обратную.
Глава 2. Методические рекомендации к изучению темы в
школьном курсе геометрии.
Обучение решению геометрических задач с применением теорем Менелая и Чевы проводим в 3 этапа:
1 этап – в период предпрофильной подготовки, в 8-9 классах, знакомим учащихся с теоремами и формируем умения решать ключевые задачи темы;
2 этап – рассматриваем соответствующие вопросы в школьном курсе геометрии 10 класса профильного уровня;
3 этап – после изучения основ стереометрии показываем, как «работают» теоремы в решении стереометрических задач, включая конкурсные задачи вступительных экзаменов в вузы.
2.1 Методика обучения решению задач с применением теорем Менелая и Чевы в период предпрофильной подготовки.
К моменту изучения темы учащиеся должны знать теорему Фалеса, формулу вычисления площади треугольника и свойства площадей треугольников, свойство биссектрисы треугольника, признаки подобия треугольников, теоремы о пересечении биссектрис, медиан, серединных перпендикуляров, высот в треугольнике. Этот материал изучается в 8 классе. Поэтому в 9 классе в рамках факультатива «За страницами учебника» отводим 10 часов на тему «Некоторые замечательные теоремы планиметрии», в которой рассматриваем следующие вопросы:
1. Теорема Менелая и пропорциональные отрезки в треугольнике (2 часа).
2. Теорема Чевы и ее следствия. Применение теорем Чевы и Менелая к задачам на доказательство(2 часа).
3. Решение задач на пропорциональное деление отрезков в треугольнике.(2 часа).
4. Решение задач, связанных с нахождением площадей (2 часа).
5. Комбинированные задачи (2 часа).
Каждое занятие, а также все они в целом направлены на то, чтобы развить интерес учащихся к предмету, познакомить с новыми идеями и методами, расширить представления об изучаемом в основном курсе материале, а главное, порешать интересные геометрические задачи алгебраическим способом.
Занятия 1-2. Тема: Теорема Менелая и пропорциональные отрезки в треугольнике.
В результате изучения материала этих занятий учащиеся должны:
знать формулировки теоремы Менелая и теоремы, обратной теореме Менелая;
уметь воспроизводить доказательство теоремы Менелая и применять ее при решении простейших задач.
В начале занятия 1 необходимо повторить основные теоретические сведения, связанные с треугольником, известные учащимся с 7-8 классов. Затем предложить решить задачу 1:
В треугольнике ABC точка D делит сторону BC в отношении BD:DC= 1: 3, а точка O делит AD в отношении AO:OD=5:2. В каком отношении прямая BO делит отрезок AC?
Дано:
ABC, D
BC, BD: DC= 1:3
O
AD, AO: OD= 5:2
BO
AC= E
Найти AE: EC
Решение:
Проведем DM ll BE (рис. 11). По теореме Фалеса
. Тогда AE= 5k , EM= 2k, где k- коэффициент пропорциональности. Аналогично
, откуда MC= 3EM=6k; EC= 2k+6k= 8k;
.
Ответ: AE: EC= 5:8
Для решения этой задачи пришлось выполнить дополнительное построение. Вряд ли учащиеся смогут догадаться, какое именно дополнительное построение требуется для решения этой или похожей задачи, поэтому она может оказаться сложной для них.
Можно сообщить ученикам, что эту задачу можно решить без дополнительного построения, причем достаточно просто и быстро. Но для этого нам понадобится следующее утверждение - и далее идет знакомство с теоремой Менелая, но ее формулировка (с.9) разбивается на 2 независимых утверждения - прямую и обратную теоремы.
Теорема (Менелая).Пусть на сторонах AB,BC и на продолжении стороны AC
ABC взяты соответственно точки C
,A
и B
, не совпадающие с вершинами треугольника. Если точки A
,B
,C
лежат на одной прямой, то выполняется равенство
.
.
=1 (
)
Доказательство теоремы проводится одним из способов, рассмотренных в главе 1 на с.10-11.
Необходимость рассмотрения случая, когда точки A
,B
,C
лежат на продолжениях сторон треугольника, определяет учитель. Нужно сообщить учащимся, что при составлении равенства (
) надо переходить от вершины к вершине через точку пересечения секущей линии с этой стороной или ее продолжением; заканчивать необходимо в той же вершине, с которой начали; равенство Менелая можно записывать, начиная с любой вершины треугольника в любом направлении (по часовой стрелке, против часовой стрелки). После рассмотрения теоремы Менелая возвращаемся к решению задачи 1.
Рассмотрим
ADC; B
DC,O
AD, E
AC; O,B,E лежат на одной прямой; по
теореме Менелая
.
.
=1. Так как BD: DC= 1:3, то CB: BD=4:1,
подставляем, получаем .
.
=1,
=
.
Таким образом, сопоставление разных способов решения может оказаться весьма полезным, становится очевидным преимущество второго способа.
Рассмотрим задачу 2.
В
ABC на стороне AC взята точка M, а на стороне BC – точка K так, что AM: MC= 2:3, BK: KC= 4:3. В каком отношении AK делит отрезок BM?
Решение:
I способ. Через точку B проведем прямую a ll AC (рис.12); AK
a=P;
BKP ~
CKA
BP=
AC.
BOP~
MOA
~
=
Ответ:
=
.
В этом случае нужно увидеть подобные треугольники, для чего использовать дополнительное построение.
II способ. Рассмотрим
MBC; прямую AK назовем секущей, так как она пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника MBC; A
MC,O
BM, K
BC;
A,O,K лежат на AK ( на одной прямой). По теореме Менелая
,
,
=
.
Замечаем, что теорема Менелая проста для применения, но здесь важно увидеть нужную конфигурацию - треугольник и секущую, причем такие, что два отношения в равенстве Менелая будут известны, тогда можно будет найти третье. В связи с этим полезны упражнения «на узнавание»:
На следующих рисунках указать треугольник, секущую и точки ее пересечения с каждой стороной треугольника или продолжением:
Задача 3. В каком отношении делит сторону BC треугольника ABC прямая, проходящая через точку A и середину медианы, выходящей из B?
Дано:
ABC; AB
= B
C; BO=OB
;
Найти BA
: A
C
Решение:
Рассмотрим
BCB
и секущую AA
; A
B
C, O
BB
, A
�� EMBED Equation.3 BC.
По теореме Менелая
�� EMBED Equation.3 ;
�� EMBED Equation.3 ;
=
Ответ: BA
: A
C=1:2
Задача 4. Дано:
ABC; AA
- биссектриса,
BB
- медиана; AB=2, AC=3;
Найти BO: OB
Решение:
AA
- биссектриса
=
�� EMBED Equation.3 .
Рассмотрим BB
C и секущую AA
; A
B
C, A
�� EMBED Equation.3 BC, O
BB
(рис.17).
По теореме Менелая
;
.
Ответ: BO: OB
=4:3
Задача 5. На сторонах AC и BC
ABC отмечены соответственно точки N и K так, что AN: NC= m : n, AK
BN= Q, BQ: QN= p : q. Найти BK: KC.
Решение:
Рассмотрим BCN и секущую AK; A
NC, Q
BN, K
BC (рис. 18).
По теореме Менелая
�� EMBED Equation.3
Ответ :
Далее ставим вопрос о справедливости обратного утверждения.
Теорема (Менелая, обратная). Пусть дан треугольник ABC. Предположим, что точка C
лежит на стороне AB, точка A
лежит на стороне BC, а точка B
лежит на продолжении стороны AC, причем про эти точки известно, что
.
.
=1 . Тогда эти точки лежат на одной прямой.
Доказательство этого утверждения приводится в главе 1, с.11.
Задачи для самостоятельного решения:
1. В треугольнике ABC на сторонах AB и BC взяты точки K и M , KM
AC= P. Найти CP: AP, если а) AK: KB= 2, BM: MC= 1:3;
б) AK: KB= 3, BM: MC = 4;
в) AK: KB= 2:5, BM: MC = 2.
Ответы: а) 3:2; б) 1:12; в) 5:8.
2. В треугольнике ABC на сторонах AB и BC взяты точки K и M; CK
AM=O. Обозначим AK: KB= k, BM: MC= m, CO: OK= p, AO:OM= l. Пусть из четырех чисел k,m,p и l известны два. Найти два оставшихся числа, если
3. В треугольнике ABC на стороне AC взята точка M такая, что AM=
AC, а на стороне BC – точка K такая, что BK=
BC. В каком отношении отрезок BM делит отрезок AK?
4. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки K и M так, что AK:AB= BM: BC= 1:3. В каком отношении точка пересечения CK и AM делит каждый из этих отрезков?
5. На сторонах AC и BC
расположены соответственно точки N и M так, что AN:NC=k, BM:MC=m, прямые AM и BN пересекаются в точке O. Найти отношения AO:OM, BO:ON.
Занятия 3-4. Тема: Теорема Чевы и ее следствия. Применение теоремы Чевы и теоремы Менелая к задачам на доказательство.
Цели: рассмотреть теорему Чевы, утверждение которой также связано с отрезками в треугольнике, некоторые следствия из нее; показать, как теоремы Чевы и Менелая применяются в задачах на доказательство.
Формулировка теоремы Чевы включает два взаимно обратных утверждения. Их можно рассмотреть как независимые теоремы.
Теорема (Чевы).Пусть точки A
,B
, C
лежат соответственно на сторонах BC,AC и AB треугольника ABC, причем отрезки AA
, BB
,CC
пересекаются в одной точке.
Тогда
.
.
=1
Доказательство теоремы проводится одним из способов, предложенных в главе I на с.6.
Исследование остальных случаев расположения точек - по усмотрению учителя, но в любом случае целесообразно сформулировать теорему Чевы и для случая внешней точки пересечения AA
, BB
,CC
и для случая параллельных прямых, а также рассмотреть обратное утверждение.
Теорема (Чевы, обратная).Пусть точки A
,B
, C
лежат соответственно на сторонах BC,AC и AB треугольника ABC, причем
.
.
=1. Тогда отрезки AA
, BB
,CC
пересекаются в одной точке.(Остальные случаи разъяснить).
Задача.
На сторонах треугольника ABC взяты соответственно точки C
, A
,B
,так, что AC
: С
B= 2:1, BA
:A
C=1:3,
BB
�� EMBED Equation.3 CC
�� EMBED Equation.3 AA
=O. Найти CB
: B
A.
Решение:
Так как отрезки BB
, CC
, AA
пересекаются в одной точке O, то по теореме Чевы
.
.
=1;
=1;
=
Ответ: 3:2
Далее рассматриваются некоторые следствия из теоремы Чевы.
Следствие1.Медианы треугольника пересекаются в одной точке,которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Доказательство. В учебной литературе доказательство этого утверждения проводится на основе подобных треугольников. Мы же проведем его, опираясь на теоремы Чевы и Менелая. Итак, пусть AA
, BB
,CC
- медианы
ABC (рис.20) . Так как AC
=C
B, BA
=A
C, AB
=B
C, то
=1,= 1,
=1. Тогда
.
.
, т.е. для точек A
,B
,C
, лежащих на сторонах треугольника ABC, выполняется условие (
) ; по теореме Чевы AA
, BB
,CC
пересекутся в одной точке O (случай внутренней точки).
Рассмотрим
B
BC , точки A,O,A
лежат на одной прямой, пересекающей стороны BB
,BC и продолжение стороны B
C (в дальнейшем будем называть ее секущей). A
B
C, O
BB
, A
�� EMBED Equation.3 BC.
По теореме Менелая
,
�� EMBED Equation.3 =
.
Применяя теорему Менелая для
A
AC и секущей BB
(B
A
C, O
AA
, B
�� EMBED Equation.3 AC), получим, что
=
; применяя теорему Менелая для
С
BC и секущей AA
, получим, что
. Утверждение доказано.
Следствие 2.Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство. Справедливость этого утверждения можно доказать, используя свойство биссектрисы:
так как AA
- биссектриса, то
=
; так как BB
- биссектриса, то
;
так как СС
- биссектриса, то
. Перемножая соответственно левые и правые части этих равенств, получим
.
.
=
.
.
=1, то есть для точек A
, B
, C
выполняется равенство Чевы, значит, AA
, BB
,CC
пересекаются в одной точке.
Примечание 7: если учащимся известна теорема Чевы в форме синусов, то провести доказательство этого следствия можно следующим образом. Пусть AA
,BB
,CC
- биссектрисы
ABC (рис.21) Так как
, то
= 1; аналогично,
=1;
=1.
Перемножая эти равенства, получим условие (
�� EMBED Equation.3 ) теоремы Чевы в форме синусов. Значит, AA
, BB
,CC
пересекаются в одной точке.
Следствие3. Высоты треугольника (или их продолжения)пересекаются в одной точке (ортоцентре треугольника).
Доказательство: пусть AA
, BB
,CC
- высоты
ABC .
1) Если
ABC остроугольный (рис. 22), то точки A
, B
, C
лежат на его сторонах.
ACC
-прямоугольный, AC
= AC cosA;
BCC
- прямоугольный, BC
= BC cosB;
BA
A – прямоугольный, BA
= AB cosB;
AA
C- прямоугольный, A
C=AC cosC; CB
=CB cosC; AB
= AB cosA.
Тогда
.
.
=
=1. А так как условие (
) выполняется, то AA
, BB
, CC
пересекаются в одной точке.
Примечание 8: следствие 3 можно доказать, исходя из подобия треугольников. Можно предложить учащимся провести доказательство этим способом самостоятельно. (Действительно,
AA
C~
BB
C по I признаку
; аналогично, из подобия
CC
B и
AA
B следует, что
. И, наконец,
BB
A ~
CC
A
. Перемножая эти равенства, получим
. Отсюда по теореме Чевы следует, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.[4, с.96])
2) Пусть
ABC – тупоугольный (рис.23). Это случай внешней точки O. Из
ACC
AC
=ACcosA; из
С
BC C
B=CB cos (180
-
B)= -CB cosB ( угол B тупой) ;
из
A
BA BA
=AB cos(180
-
B)=-AB cosB; аналогично,
AB
=AB cosA; B
C= BC cosC; A
C= AC cosC; CB
=CBcosC.
.
Так как условие Чевы выполняется, то AA
, BB
, CC
пересекаются в одной точке или параллельны (глава1). Но если бы они были параллельны, то и перпендикулярные к ним прямые, то есть стороны треугольника ABC, были бы параллельны друг другу, но это не так. Значит, прямые AA
,BB
,CC
пересекаются в одной точке.
3) Если
ABC прямоугольный,
С=90
(рис.24) , то очевидно, что высоты BC,AC,CC
пересекаются в точке С. Следствие 3 доказано.
Следствие4. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство. Рассмотрим серединный
MNK(вершины-середины сторон
ABC)(рис.25). Тогда NK,NM,MK – средние линии треугольника ABC и по свойству средней линии NK
AC, NM
BC, KM
AB. Поэтому серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ABC содержат высоты
MNK. А в
MNK по следствию 3 высоты пересекаются в одной точке, следовательно, серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке.
Таким образом, теорема Чевы дает возможность весьма просто доказать известные утверждения о четырех замечательных точках треугольника.
Рассмотрим еще одно следствие из теоремы Чевы.
Следствие 5. Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон, пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Жергонна (рис.26).
Доказательство. По свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, имеем AB
=AC
=x, C
B=BA
=y, A
C=B
C=z.
, по теореме Чевы AA
, BB
, CC
пересекаются в одной точке.
Дополнительные задачи:
1. Используя теорему Чевы, доказать, что в произвольном треугольнике прямые, проходящие через вершины и делящие периметр треугольника пополам, пересекаются в одной точке.[4, с.94]
Доказательство: Пусть каждый из отрезков AA
, BB
,CC
делит периметр треугольника ABC пополам (рис.27), то есть AB+BA
=A
C+AC(1), B
C+BC=AB
+AB(2), AC
+ СA=
=C
B+BC (3)
Сложим (1), (2), (3): AB+BA
+B
C+BC+AC
+CA= A
C+AC+ AB
+AB+ C
B+BC; BA
+B
C+AC
=A
C+AB
+C
B. Перенесем слагаемые в левую часть и сгруппируем:
(BA
- AB
) + (B
C - C
B) + (AC
- A
C)=0 (4). Вычитая из (1) равенство (2), получаем :
(AB+BA
)- (AB
+AB) = (A
C+AC)-( B
C+BC) или BA
- AB
= (AC- B
C)-(BC- A
C)=AB
- BA
= -( BA
- AB
), откуда 2(BA
- AB
)= 0, BA
= AB
.
Аналогично доказывается, что CB
= С
B , C
A = A
C.
Тогда
.
.
.
По теореме Чевы AA
, BB
,CC
пересекаются в одной точке.
2. На стороне AC треугольника ABC взяты точки P и E , на стороне BC – точки M и K, причем AP: PE: EC= CK: KM: MB. Отрезки AM и BP пересекаются в точке O, отрезки AK и BE – в точке T. Докажите, что точки O, T и С лежат на одной прямой.[4, с.94]
AB=C
, CO
AB=C
. Докажем, что точки C
и C
совпадают, это и будет означать, что O, T, C лежат на одной прямой.
Так как CT
AB=C
, BE
AK
CC
= T, то по теореме Чевы
;
(1)
Так как CO
AB=C
, AM
BP= O, то СС
BP
AM=O, по теореме Чевы
(2)
Из (1) и (2) следует, что
, то есть точки С
и C
делят отрезок AB в одном и том же отношении, начиная от точки A, а значит, С
и C
совпадают. А это означает, что точки O, T, C лежат на одной прямой.
3. Прямая пересекает стороны AB,BC и продолжение стороны AC треугольника ABC соответственно в точках D,E,F.Доказать, что середины сторон отрезков DC, AE и BF лежат на одной прямой.(Теорема Гаусса.) Указание: воспользоваться теоремой Менелая, в качестве вершин данного треугольника взять середины сторон треугольника ABC, на сторонах и продолжениях которого лежат рассматриваемые точки.
4. Треугольники ABC и A
B
C
с попарно непараллельными сторонами расположены так, что прямые AA
и A
BB
пересекаются в одной точке O. Доказать, что точки M,K,P пересечения прямых AB и A
B
, BC и B
C
, AC и A
C
соответственно лежат на одной прямой. (Теорема Дезарга.) Указание: воспользоваться теоремой Менелая.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Доказать, что середины оснований трапеции, точка пересечения ее диагоналей и точка пересечения продолжений ее боковых сторон лежат на одной прямой. Указание: дважды используя теорему Менелая, доказать, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции и через точку пересечения продолжений боковых сторон, проходит через середины оснований.
2. Доказать, что: а) биссектрисы внешних углов треугольника пересекают продолжения противоположных сторон треугольника в трех точках, расположенных на одной прямой; б) касательные к описанной около треугольника окружности в вершинах треугольника пересекают его противоположные стороны в трех точках, расположенных на одной прямой. Указание: воспользоваться теоремой Менелая.
3. На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты точки C
,A
и B
соответственно. Пусть C
- точка пересечения прямых AB и A
B
, A
- точка пересечения прямых BC и B
C
, B
- точка пересечения прямых AC и A
C
. Доказать, что если прямые AA
, BB
, CC
пересекаются в одной точке, то точки A
, B
, C
лежат на одной прямой. Указание: записав равенство Чевы для точек A
,B
,C
; A
,B
, C
; A
, B
, C
; A
, B
,C
,получить, что для точек A
, B
, C
выполняется равенство Чевы ; далее доказать, что или все три точки A
, B
, C
лежат на продолжениях сторон треугольника( так будет, если A
,B
,C
лежат на сторонах треугольника), или лишь одна находится на продолжении (если на сторонах треугольника одна из точек A
,B
,C
) и воспользоваться теоремой Менелая.
4. Пусть ABCD – четырехугольник, P- точка пересечения BC и AD, Q – точка пересечения AC и BD, R – точка пересечения AB и CD. Доказать, что точки пересечения BC и QR, CA и RP, AB и PQ лежат на одной прямой. Указание: применить теорему Менелая к треугольникам ABD,BDC и DCA.
5. Окружность пересекает сторону AB треугольника ABC в точках C
и C
, сторонуBС – в точках A
и A
, сторону CA- в точках B
и B
. Доказать, что если прямые AA
,BB
и CC
пересекаются в одной точке, то и прямые AA
, BB
и CC
также пересекаются в одной точке. Указание: воспользоваться теоремой Чевы.
Занятия 5-6. Тема: Решение задач на пропорциональное деление отрезков в треугольнике.
Цели: овладение навыком решения задач с использованием теорем Менелая и Чевы; повышение уровня математической культуры учащихся, развитие их познавательных способностей.
Прежде всего надо отметить, что усвоение каждой темы школьного курса математики и развитие учащихся на том или ином уровне обеспечивается определенной системой упражнений и задач. [7,с.203] Выполнение математических упражнений является важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой школьниками усваивается математическая теория, развиваются их творческие способности и самостоятельность мышления.[15,с.3] Умение решать задачи самостоятельно, без посторонней помощи формируется автоматически, непроизвольно лишь у небольшой части учащихся. Для большинства же требуется специальная работа учителя в этом направлении. У школьников необходимо формировать умение решать и стандартные, и нестандартные задачи.
Наработать навыки решения стандартных задач на применение теорем Чевы и Менелая , а также организовать контроль за их выполнением поможет следующая таблица.
Отнош.
№ зад.
а)
б)
в)
г)
д)
е)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
�� EMBED Equation.3
7.
8.
Если три отрезка, соединяющие вершины A,B,C треугольника соответственно с точками A
,B
,C
лежащими на его сторонах, противоположных этим вершинам, пересекаются в точке O, то по любым двум из шести отношений длин отрезков, на которые точки A
,B
,C
делят стороны треугольника, а точка O- отрезки AA
,BB
,CC
, однозначно определяются оставшиеся отношения(с помощью теорем Менелая и Чевы).
Две задачи из таблицы можно разобрать на занятии, остальные дать домой (используя таблицу, можно составить несколько вариантов заданий).
Далее можно организовать работу в группах.
Задача.
В
ABC на сторонах AB, BC,AC взяты точки C
, A
,B
соответственно. Отрезки BB
,AA
, CC
пересекаются в точке O. CB
: B
A=p, CA
: A
B=q.
Найти :
.
Ученики делятся на 4 группы по количеству отношений, которые необходимо найти.
После того как задача окажется решена каждой группой, идет выступление представителей.
Решение: 1) Рассмотрим
; O
AA
, B
A
C, B
AC, O,B,B
лежат на одной прямой (рис.29).
По теореме Менелая
�� EMBED Equation.3 ;
�� EMBED Equation.3 .
2) Рассмотрим
; O
BB
, A
BC, A
CB
;O, A
,A лежат на одной прямой.
По теореме Менелая
;
.
3) Рассмотрим
, по теореме Чевы
;
;
.
По теореме Менелая для
СС
A и секущей BB
;
;
.
4) Рассмотрим
, по теореме Чевы
;
;
.
Чтобы включить знания учащихся в систему, важно среди задач по теме иметь комплексные задачи, то есть задачи, при решении которых используются знания, полученные при изучении не только данной, но и предыдущих тем, а также при изучении других разделов математики. Поэтому полезными окажутся задачи 1-5.
Задача 1. .В треугольнике ABC, описанном около окружности, AB = 8, BC = 5, AC = 4. Точки A
,В
и C
- точки касания, принадлежащие соответственно сторонам BC,AC и BA. Точка P - точка пересечения отрезков AA
и CC
.
Найдите AP: PA
.
Решение: так как отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке, то P
BB
. Пусть C
B=x, тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения ( рис. 30)
8 - x + 5 - x = 4, x =
. Значит,C
B = BA=
; A
C = 5 –
=
, AC = 8 –
=
.
В треугольнике ABA
прямая C
C пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 ,
,
=
.
Ответ: 70: 9.
Задача 2. Стороны треугольника 5, 6 и 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.
Решение: пусть в треугольнике ABC AB = 5, BC = 7, AC = 6. Угол BAC лежит против большей стороны в треугольнике ABC, значит, угол BAC – больший угол треугольника. Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис. Пусть O -точка пересечения биссектрис. Необходимо найти AO:OD. Так как AD – биссектриса треугольника ABC, то
=
, то есть BD = 5k, DC = 6k. Так как BF – биссектриса треугольника ABC, то
=
, то есть AF = 5m, FC = 7m.
Прямая BF пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника ADC.
По теореме Менелая
.
.
= 1,
=
=
=
Ответ: 11:7.
Задача 3. В треугольнике ABC, описанном около окружности, AB =13, BC = 12, AC = 9, A
и C
- точки касания, лежащие соответственно на сторонах BC и AB. Q –точка пересеченияотрезков AA
и BH,где BH- высота. Найдите отношение BQ:QH.
Решение:
треугольник ABC – разносторонний, значит, точка H не совпадает с точкой касания. Обозначим точку касания, лежащую на стороне AC, буквой B
.
1. Пусть C
B = x, тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения (рис.32):
BA
=x, A
C=B
C=12-x, AC
=AB
=13-x. Тогда (13 – x) + (12 – x) = 9, x=8. Значит, C
B =BA
= 8, AC
=AB
= 5, CA
=CB
=4.
2. По формуле Герона
S
=
�� EMBED Equation.3 = 4
,
S
=
�� EMBED Equation.3 , BH=
, BH =
.
3. Из треугольника ABH (прямоугольного) по теореме Пифагора
AH =
=
.
4. В треугольнике CBH прямая AA
пересекает две его стороны и продолжение третьей. По теореме Менелая
.
.
=1,
�� EMBED Equation.3 .
.
=1,
.
.
=1,
=
.
Ответ: 162:53.
Задача 4. В треугольнике ABC, площадь которого равна 6, на стороне AB взята точка K, делящая эту сторону в отношении AK:BK = 2:3, а на стороне AC – точка L, делящая AC в отношении AL: LC = 5:3. Точка Q пересечения прямых CK и BL удалена от прямой AB на расстояние
. Найдите длину стороны AB.
Решение:
1. Треугольники ABL и ABC имеют одинаковую высоту, проведенную из вершины B.
=
=
=
, тогда S
=
6 =
.
2. Прямая KC пересекает в треугольнике ABL две стороны и продолжение третьей. По теореме Менелая
.
.
= 1,
.
.
= 1,
=
, то есть BQ = 4p, QL = p.
3. Треугольники KBQ и ABL имеют общий угол, значит,
=
=
=
, тогда S
=
.
=
.
4. S
=
�� EMBED Equation.3 KB =
=
, 3m =
, тогда m =
, AB=5m = 4.
Итак, AB = 4.
Ответ: 4.
Задача 5. На стороне AC в треугольнике ABC взята точка K. AK = 1, KC = 3. На стороне AB взята точка L. AL:LB=2:3. Q – точка пересечения прямых BK и CL. S
= 1. Найдите длину высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B.
Решение: прямая BK пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника ALC (рис.34) . По теореме Менелая
,
, то есть LQ = 1p, QC = 5p.
1) треугольники ALC и AQC имеют общий угол, значит,
, S
=
.
2) Треугольники ABC и ALC имеют общую высоту, проведенную из вершины C, значит,
, S
=
.
3) S
=
, BH =
.
Ответ:1,5.
Для самостоятельного решения можно взять задачи 3-8 из таблицы.
Занятия 7-8. Тема: Решение задач, связанных с нахождением площадей.
Многие планиметрические задачи заканчиваются словами «найти площадь…». Примерно половина из них может быть решена посредством нахождения отрезков и углов, необходимых для вычисления площади данной фигуры; часто в таких задачах бывает удобным и метод поиска площадей фигур путем сравнения с известными площадями.
Рассмотрим ряд таких задач и возможность использования в них известных нам теорем.
Задача 1. На сторонах AC и BC треугольника ABC отмечены точки N и K так, что AN:NC=m:n, AK
BN=Q, BQ:QN=p:q. Найти отношение площадей треугольников AKC и ABK.
Решение:
AKC и
ABK имеют одинаковую высоту,
проведенную из вершины A, поэтому
(рис.18).
По теореме Менелая для
BCN и секущей AK имеем
;
. Отсюда
. Ответ:
Задача 2. Через вершину B
проведена прямая, параллельная биссектрисе
С и пересекающая продолжение стороны АС в точке D. Пусть Е – середина отрезка ВD. Определить, в каком отношении прямая АЕ делит площадь
, если известно, что АС=5, ВС=10.
Решение: 1) СК – биссектриса
.
2)
~
по двум углам ,
.
Рассмотрим
и секущую АЕ; A
CD, F
BC, E
BD, A,F,E
AE.
По теореме Менелая
,
,
.
Ответ: 1:3.
Задача 3. Медиана BD и биссектриса AE треугольника ABC пересекаются в точке F. Найти площадь треугольника ABC , если AF=3FE, BD=4, AE=6.
Решение: пусть FE=k, тогда AF=3k. AE=AF+FE= 3k+k=4k, 4k=6, k=
. AF=
FE=
.
Рассмотрим
и секущую BD; B
EC, F
AE, D
AC. По теореме Менелая
.
Рассмотрим
�� EMBED Equation.3 и секущую АЕ; А
DC, F
BD, E
BC, A,F,E
AE.
По теореме Менелая
.
В
AF – биссектриса и медиана
- равнобедренный и
;
;
.
Ответ: 18
Задача 4. В равнобедренном треугольнике
ABC (AС=BC) проведены медиана BN и высота АМ, которые пересекаются в точке D. AD=5, DM=2. Найти
.
Решение: AN=NC, AM=5+2=7. Рассмотрим
AMC и секущую NB (рис. 37)
N
AC, B
CM, D
AM. По теореме Менелая
;
;
.
Пусть коэффициент пропорциональности равен k, тогда СМ=3k, BM=2k.
Из
ACM - прямоугольного:
,
;
;
,
,
Тогда
,
Ответ:
.
Задача 5. В
ABC на сторонах AB и BC взяты точки K и L так, что
и
,
,
. Найти
.
Решение: пусть
.
1)
AOK и
AOC имеют равные высоты,
;
2)
CAK и
CBK имеют равные высоты,
;
3)
; 4)
;
5) Рассмотрим
KBC и секущую AL; A
KB, O
KC, L
BC.
По теореме Менелая
.
,
,
x=6 :
- верно.
, D<0 – других действительных корней нет.
. Ответ: 21.
Задача 6.На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки M и N соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке L. Площади треугольников AML , CNL и ALC равны соответственно 15, 48 и 40. Найти площадь треугольника ABC.
Решение:
ALC и
LCN , а также
AML и
ALC имеют общие высоты, опущенные соответственно на стороны AN и MC. Отсюда следует, что площади этих треугольников относятся как соответствующие основания.
Рассмотрим
BMC и секущую AN.
По теореме Менелая
(1)
Рассмотрим
ABN и секущую MC.
По теореме Менелая
(2)
Вычитая из (2) соотношение (1) , получим
Так как
то
откуда 3AM=MB, а значит, AM=
MB=
Отсюда следует, что S
составляет
часть площади треугольника ABC (они имеют общую высоту, проведенную из вершины С).
Тогда
S
= 4
S
=(15+40)
.
Ответ: 220
Задача 7 . На стороне AB треугольника ABC взята точка E, а на стороне BC- точка D так, что DC=1, AE=2. Прямые AD и CE пересекаются в точке O. Найти площадь четырехугольника BDOE, если AB=BC=8, AC=6.
Решение: Площадь треугольника ABC найдем по формуле Герона:
p = (8+8+6):2=11, S=
=
Треугольники BAD и DAC имеют общую высоту, поэтому их площади относятся как длины оснований, то есть
, так как S=S
+S
.
Аналогично,
.
Рассмотрим треугольник BEC и секущую AD. По теореме Менелая
,
, S
=
S
=S
Ответ:
Дополнительные задачи.
1. Отрезок АВ делится точкой D отношении 3:2, а отрезок ВС – точкой Е в отношении 1:3. Отрезки АЕ и CD пересекаются в точке F. Чему равно отношение площадей треугольников ADF и CFE?
2. Площадь треугольника АВС равна 28, точка D лежит на стороне АВ втрое ближе к А, чем к В, а точка Е на стороне ВС втрое ближе к С, чем к В. Прямые CD и АЕ пересекаются в точке F. Чему равны площади треугольника ADF и четырехугольника DBEF?
3. На стороне АВ треугольника АВС взята точка D, а на стороне АС – точка Е так, что АЕ=BD=2. Прямые CD и BE пересекаются в точке О. Найти площадь треугольника ВОС, если АВ=ВС=5, АС=6.
4.На сторонеВС треугольника АВС взята точка D, а на стороне АС – точка Е так, что BD=2, а АЕ=3. Прямые AD и ВЕ пересекаются в точке О. Найти площадь четырехугольника CDOE, если АС=ВС=9, АВ=8.
5.На стороне АС треугольника АВС взята точка D, а на стороне ВС – точка F так, что AD=3, a BF=1. Прямые BD и AF пересекаются в точке О. Найти площадь треугольника АОВ, если АВ=АС=5, ВС=6.
6.На сторонах KL и LM треугольника KLM взяты точки А и В соответственно. Отрезки АМ и ВK пересекаются в точке С. Площади треугольников АСK, BCM и CKM равны соответственно 2, 12 и 8. Найти площадь треугольника LAC.
7.На сторонах FG и GH треугольника FGH взяты точки K и L соответственно. Отрезки KH и FL пересекаются в точке М. Площади треугольников KMF, HML и FMH равны соответственно 2, 4 и 4. Найти площадь треугольника GKL.
8. На сторонахRT и TS треугольника RTS взяты точки А и В соответственно. Отрезки AS и BR пересекаются в точке С. Площади треугольников ACR, BCS и RCS равны соответственно 5, 8 и 10. Найти площадь четырехугольника TACB.
Занятия 9-10. Тема: Комбинированные задачи.
Эти занятия посвящены более сложным задачам, которые встречаются на олимпиадах разных уровней. Так как большая часть олимпиадных задач затрагивает небольшое число разделов математики, то школьникам, стремящимся к успеху, полезно знать темы этих разделов и видеть, что многие новые задачи часто не более чем малоузнаваемые вариации прежних.
Задача 1. На стороне NP квадрата MNPQ взята точка A, а на стороне PQ – точка B так, что NA:AP = PB:BQ = 2:3. Точка L является точкой пересечения отрезков MA и NB. В каком отношении точка L делит отрезок MA?
Решение: проведем прямую AB, пусть она пересекает прямую MQ в точке F и пусть прямая NB пересекает прямую MQ в точке D (рис.41).
APB ~
FQB, тогда
, откуда QF=
.
NPB ~
DQB, тогда
, откуда QD =
.
FD = QD – QF=
.
Из треугольника APB (прямоугольного) по теореме Пифагора AB =
k.
Из треугольника QBF (прямоугольного) по теореме Пифагора BF =
�� EMBED Equation.3 . Из треугольника AFM по теореме Менелая
,
,
,
.
Ответ: 25: 4.
Задача 2. Дан параллелограмм ABCD. Точка M делит отрезок AD в отношении p , а точка N делит отрезок DC в отношении q. Прямые BM и AN пересекаются в точке S. Вычислите отношение AS:SN.
Решение:
�� EMBED Equation.3 если MD=b, то AM=pb;
если NC = a, то DN = aq.
Пусть B
- точка пересечения прямых BM и CD.
MB
D ~
BB
C, тогда
�� EMBED Equation.3 ;
;
1+p =
; x =
.
Прямая BB
пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника AND. По теореме Менелая
,
, откуда
.
Ответ:
.
Задача 3. На сторонах AС и BC
взяты точки М и L так, что AM:MC=4:1, CL:LB=3:1. Отрезки AL и BM пересекаются в точке Q.
.
1) Найти
; 2) На АВ взяли точку N так, что CN – медиана ;
,
. Найти
.
Решение:
1) а) Рассмотрим
, BM – секущая (рис.43),
по теореме Менелая
,
б)
и
имеют равные высоты
. Так как
,
в)
и
имеют равные высоты
�� EMBED Equation.DSMT4
2) CN-медиана
AN=NB. Найдем
(рис. 44).
а)
,
;
б)
( имеют равные высоты),
;
.
в) Рассмотрим
ABM и секущую NC.
По теореме Менелая
,
,
,
,
.
Ответ: 11
кв.ед.
Задача 4. На стороне AB
ABC взята точка D, а на стороне AC – точка Е так, что длина AE=BD=2. Прямые
. Найти
, если AB=BC=5, AC=6.
Решение: 1)
,
,
2) Рассмотрим
ABE, DC – секущая; D
AB, O
BE, C
AE(рис.45).
По теореме Менелая
,
;
.
Значит, CO – медиана
BCE,
.
Из
ABC по теореме косинусов
,
;
.
Ответ: 4.
Примечание 9: если на момент решения задачи теорема косинусов учащимся еще не известна, задачу 4 следует отложить до изучения теоремы.
Задача 5. На сторонахАВ, ВС и САтреугольника АВС отмечены точки
и
соответственно так, что отрезки
и
пересекаются в одной точке Q, расположенной внутри треугольника АВС. Пусть Р – точка пересечения отрезков
и
. Доказать, что
.
Доказательство. Эта задача может быть решена многими способами, мы разберем решение, использующее теоремы Менелая и Чевы, чрезвычайно полезные для решения задач такого типа.
Если
, то утверждение задачи может быть доказано достаточно легко. Рассмотрим случай, когда прямые
и
пересекаются в точке
М ( рис.46). По теореме Менелая для треугольников
и
имеем:
,
, откуда
,
.
Складывая эти равенства, получаем
(1)
По теореме Менелая для треугольников
и
имеем:
,
Учитывая, что
,
, и складывая уравнения, получаем:
. Из теоремы Чевы для треугольника АВС следует, что
.
Поэтому
(2)
Сравнивая (1) и (2) , получаем требуемое.
Задача 6. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC через точку A проведена прямая, которая пересекает диагональ BD в точке E и боковую сторону CD в точке K, причем BE:ED=1:2, CK:KD=1:4. Найдите отношение длин оснований трапеции.
Решение. Пусть BC=a, AD=b. Необходимо найти
. Пусть BC
AK=Q (рис.47).
1) По теореме Менелая для
BCD и секущей AQ имеем
CQ=a , BC=CQ=a.
2)
CKQ ~
DKA по двум углам, тогда
Так как а = BC, b=AD, то
Ответ:
Дополнительные задачи.
1. Высота трапеции ABCD равна 7, а длины оснований AD и BC равны соответственно 8 и 6. Через точку E, лежащую на стороне CD, проведена прямая BE, которая делит диагональ AC в точке O в отношении AO:OC=3:2. Найдите площадь треугольника OEC.
2. Через середину M стороны BC параллелограмма ABCD, площадь которого 1, и вершину A проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке Q. Найдите площадь четырехугольника QMCD.
3. В треугольнике ABC точки K и L принадлежат соответственно сторонам AB и BC. AK:BK=1:2, CL:BL=2:1. Q- точка пересечения отрезков AL и CK. S
=1.
Найдите площадь треугольника ABC.
2.2. Изучение темы «Теорема Менелая и теорема Чевы» в курсе геометрии 10 класса.
Профилирование старшей школы предусматривает два курса математики - базовый и профильный. Как уже отмечалось выше, тема « Теорема Менелая и теорема Чевы» изучается лишь в классах физико-математического и естественнонаучного профиля. Причем данный материал «подлежит изучению, но не включается в Требования к уровню подготовки выпускников»[16, с.12], то есть элементы содержания являются обязательными для обучения, однако даются в ознакомительном порядке и не выносятся на итоговый контроль. На изучение темы отводится 2 часа. Распределить материал можно таким образом:
Урок 1.Теорема Менелая и теорема Чевы.
Урок 2. Применение теорем Менелая и Чевы в решении ключевых задач.
Урок 1 по изучению теорем Менелая и Чевы проводится в форме лекции. Основными целями такого урока являются ознакомление учащихся с теоремами и их некоторыми приложениями, повышение познавательного интереса учащихся, выработка у них потребности обобщения изучаемых фактов.
Оборудование: 1. Листы с задачами по теме.
2.Проекционный экран компьютера и слайды, заготовленные на
дискете и проецируемые на экран во время урока.
Ход урока.
Организационный момент - проверить готовность учащихся к уроку.
На проекционном экране (слайд 1) высвечена тема : «Теорема Менелая и теорема Чевы» и эпиграф: «Умение решать задачи - такое же практическое искусство, как умение плавать или бегать. Ему можно научиться только путем подражания или упражнения». (Д.Пойа)
I.Мотивационно - ориентировочная часть.
1. Актуализация знаний.
-В курсе геометрии мы рассматривали важные свойства геометрических фигур на плоскости, в том числе треугольников. Но не все удивительные факты и соотношения вошли в основной курс. А они значительно облегчают решение многих задач. Сегодня мы рассмотрим две теоремы, связанные с отношениями отрезков в треугольнике, и их применение. Но для этого нам потребуются следующие знания:
определение подобных треугольников; признаки подобия; свойства подобных треугольников и их площадей.
Далее идет повторение материала и устная работа со слайдами.
Слайд 2:
;
1) Найти
2) S
=2; S
-?
Решение. 1) Так как
,
и
имеют одну высоту, проведенную из вершины В, то
=
=3;
2)
.
Слайд 3:
Найти
Решение:
общий
2.Мотивация. Постановка учебной задачи.
Ученикам в качестве домашней работы предлагалось решить задачу:
В треугольнике ABC на стороне AC взята точка N так, что AN:NC=m:n, на стороне BC- точка K . BN пересекает AK в точке Q, BQ : QN= p:q. Найти отношение площадей треугольников AKC и ABK.
Идет обсуждение решения задачи. На экране появляется слайд 4.
1) AN:NC=m:n, BQ:QN= p:q,
( т.к. высоты равны)
2) Дополнительное построение: ND||BC.
3)
~
по двум углам
;
4)
MQN~
KQB по двум углам
;
,
Ответ:
�� EMBED Equation.DSMT4
- Эту же задачу можно решить и без дополнительного построения. Быстрый ответ можно получить с помощью теоремы Менелая.
II. Содержательная часть.
Далее идет объяснение нового материала под запись учащихся (см. главу 1). После рассмотрения теоремы возвращаемся к домашней задаче ( слайд 4).
Рассмотрим
BCN и секущую AK, K
Тогда по теореме Менелая
;
;
Ученикам разъясняется, как правильно выбрать треугольник, как делать его «обход».
Рассматривается еще одна задача.
Слайд 6.
AM=
;
В каком отношении отрезок BM делит отрезок AK?
Решение: пусть
. Рассмотрим
AKC и секущую BM.
По теореме Менелая
Ответ: 2.
Рассмотрим еще одну теорему, связанную с пропорциональными отрезками в треугольнике – теорему Чевы.
Далее дается формулировка и доказательство теоремы для случая внутренней точки (см. главу 1) . Решается задача со слайда 7.
Найти
.
Решение: по теореме Чевы для
ABC имеем
Ответ:
=3:2.
III. Рефлексивно – оценочная часть.
Подводятся итоги урока, повторяются утверждения теорем, в листе с задачами по теме отмечаются задачи для домашней работы.
1. В треугольнике ABC на сторонах AB и BC взяты точки K и M; CK
AM=O. Обозначим AK: KB= k, BM: MC= m, CO: OK= p, AO:OM= l. Пусть из четырех чисел k,m,p и l известны два. Найти два оставшихся числа, если
-осуществлять поиск решения комплексных задач синтетическим методом;
-использовать теоремы в задачах на доказательство;
-развивать самостоятельность.
Ход урока.
I. Мотивационно – ориентировочная часть.
1. Актуализация знаний.
В начале урока повторяются формулировки изученных теорем. В качестве устного упражнения можно предложить выполнить следующее задание:
На следующих рисунках указать треугольник, секущую и точки ее пересечения с каждой стороной треугольника или продолжением:
Далее класс делится на 4 группы, решается задача 1.
В
ABC на сторонах AB, BC,AC взяты точки C
, A
,B
соответственно. Отрезки BB
,AA
, CC
пересекаются в точке O. CB
: B
A=p, CA
: A
B=q.
Найти :
.
Каждая группа находит одно из указанных отношений, далее идет проверка результатов.
Учитель выборочно оценивает работы учеников.
2. Мотивация. Постановка учебной задачи.
Мы рассмотрели задачи на прямое применение теорем Менелая и Чевы.
На этом уроке мы научимся применять эти утверждения к задачам, в которых первоначально не указано отношение отрезков и рассмотрим утверждения, обратные теоремам Менелая и Чевы.
II. Содержательная часть.
Рассмотрим следующие задачи.
Задача2.В каком отношении делитсторону BC треугольника ABC прямая, проходящая через точку A и середину медианы, выходящей из B?
Задача 3.
Дано:
ABC; AE - биссектриса,
BD - медиана ; AB=2, AC=3;
Найти BF: FD
Ввиду того, что задачи эти были решены выше, здесь их решение опускаем.
Далее ставится вопрос о справедливости обратных утверждений. Записываются формулировки теорем, обратных теоремам Менелая и Чевы. Используя их, предложить доказать известное утверждение: Медианы треугольника пересекаются в одной точке,которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
III. Рефлексивно – оценочная часть.
1. Подведение итогов.
Итогом может служить небольшая проверочная работа, организовать которую поможет таблица (с.24). Два отношения в каждой задаче учитель задает учащимся, остальные они находят самостоятельно.
2. Домашнее задание.
1) Используя теоремы Чевы и Менелая, доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
2) Доказать, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.
3)Стороны треугольника 5, 6 и 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.
Примечание : в зависимости от уровня подготовленности класса и при наличии времени учитель может провести урок-практикум решения задач, включив комбинированные задачи (см.п.2.1), которые будут также полезны учащимся, так как они способствуют обобщению методов, приемов решения задач темы.
Также в 10 классе при изучении темы «Задачи на построение сечений» в параграфе «Тетраэдр и параллелепипед» можно использовать задачи типа
В тетраэдре ABCD на ребрах AB, BD, DC взяты точки K,M,P соответственно так, что
Через точки K,M и P проходит плоскость, пересекающая прямые AD,BC и CA в точках E,F и G. Найти
Какие из точек E, F и G расположены на ребрах тетраэдра?
2.3 Применение теорем Менелая и Чевы в решении стереометрических задач.
Стереометрия – это геометрия в пространстве. В основном задачи по стереометрии сводятся к геометрическим задачам на плоскости, поскольку обычно требуемые элементы можно найти, сведя исходную задачу к нескольким планиметрическим.
Задачи эти довольно-таки трудны, здесь главное опыт. А знание теоремы Менелая – это просто находка для решения стереометрических задач.
Она может оказаться очень полезной при изучении темы «Объемы тел» в курсе геометрии 11 класса.
Ниже приведем несколько задач, предлагавшихся на вступительных экзаменах в вузы.
Владение методами их решения дает большое преимущество перед школьниками, которые не умеют решать такого рода задачи.
Задача 1. На продолжении ребра АС правильной треугольной пирамиды ABCD с вершиной D взята точка K так, что КА:КС=3:4, а на ребре DC взята точка L так, что DL:LC=2:1. В каком отношении делит объем пирамиды плоскость, проходящая через точки B, L и К?
Дано:DABC – правильная пирамида,
,
,
,
, BLK –
плоскость,
- объем верхней части пирамиды,
- объем нижней части пирамиды.
Пусть BH – высота пирамиды DABC, проведеннаяиз вершины В, но она – высота и BMDL.
; V=
, V
=
;
;
,
- ?
3) Из
ADC:
,
,
,
.
По теореме Менелая
,
.
,
,
.
(или: во всем объеме пирамиды 33 части, в верхней – 16, значит, 33-16=17 – частей
составляет
. Тогда
) Ответ:
.
Задача 2. Дана правильная четырехугольная пирамида
с вершиной
. На продолжении ребра
взята точка
так, что
. Через точки М, В и середину ребра
проведена плоскость. В каком отношении она делит объем пирамиды?
Решение:
1) Построим сечение плоскостью
.
(по условию).
а)
, соединяем
BL;
б)
, соединяем
LM;
в)
, соединяем
BM ,
;
, соединяем
г) четырехугольник BLEK – искомое сечение.
2) Обозначим объемы нижней части пирамиды, верхней части и всей пирамиды
,
и
соответственно, сторону основания –
.
(
MBC - прямоугольный)
;
MKD~
MBC по двум углам
;
3)
�� EMBED Equation.3 ~
�� EMBED Equation.3 по двум углам
.
4) Рассмотрим
MLC и секущую
.
.
По теореме Менелая
;
Значит
;
.
5)
.
6)
SCH~
по двум углам
.
Пусть
, тогда
,
.
.
7)
, т.е. V содержит 60 частей,
на
приходится 31 часть.
Ответ: 29:31
Задача 3.Дана правильная треугольная призма с боковыми ребрами
,
и
. Причем на продолжении ребра
взята точка
так, что
. Через точки
,
и середину ребра
проведена плоскость. В каком отношении она делит объем призмы?
Решение:
1) Построение сечения:
а)
, соединяем
MB
,
.
б)
, соединяем
,
.
в)
, соединяем
.
г) четырехугольник
- искомое сечение.
2) Пусть
,
,
- объемы нижней части, верхней части и всей призмы,
- высота призмы,
- сторона основания.
;
MLA~
;
Рассмотрим
ABC,
- секущая,
.
По теореме Менелая
.
,
,
;
,
,
,
.
,
- части приходится на
.
.
Ответ: 13:23
Задачи для самостоятельного решения:
1. Дана правильная четырехугольная пирамида
с вершиной
. На продолжении ребра
взята точка
так, что
. Через точку
и середины ребер
и
проведена плоскость. В каком отношении она делит объем пирамиды?
2. Высота правильной призмы
равна стороне ее основания. Точки
и
- середины ребер
и
соответственно. Найти площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки
,
и
, если сторона основания равна
.
3. В тетраэдре ZABC проведено сечение плоскостью. Точки M,N,P,Q принадлежат плоскости и ребрам ZA,AB,BC,CZ соответственно, причем ZM=
MA, AN=
NB, BP=
PC, CQ=
QZ. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?
4. Объем тетраэдра ZABC равен 7. Через середины ребер ZA и CB проведена плоскость, пересекающая ребро ZC в точке Q, а ребро AB – в точке L. При этом
ZQ:QC=2:5, AL:LB=2:5. Найдите площадь сечения тетраэдра указанной плоскостью, если расстояние до нее от вершины A равно 1.
Использовать приведенные задачи можно и на уроках заключительного повторения в 11 классе, причем здесь необходима целенаправленная работа по систематизации и углублению знаний учащихся. В работе можно использовать задания, приведенные в п.2.1, в приложении 2. Особое внимание нужно уделить планиметрическим задачам, так как они составляют основную массу задач вступительных экзаменов в вузы. Наличие заданий различной трудности позволит вести дифференцированную работу с учащимися.
Заключение
Крылатую фразу Козьмы Пруткова «Никто не обнимет необъятного» в полной мере можно отнести и к геометрии треугольника. В самом деле, треугольник, как кладезь прекрасных и поразительных геометрических конструкций, поистине неисчерпаем. Их пестрота и изобилие, с трудом поддающиеся какой – либо систематизации, не могут не восхищать[10, с.3].
Многие удивительные соотношения и изящные геометрические факты вошли
в основной курс планиметрии, некоторые замечательные теоремы включены в программу профильных классов.
Данная работа посвящена двум таким теоремам – теореме Менелая и теореме Чевы, которые позволяют решать многие, казалось бы, сложные математические задачи просто, красиво и понятно. Кроме того, здесь поднимается огромный пласт основных фактов и понятий школьного курса планиметрии: подобие треугольников; свойства и признаки параллельных прямых; метрические соотношения в треугольнике; окружность, описанная около треугольника и вписанная в него. Предложенный материал дает учащимся возможность познакомиться с интересными, нестандартными вопросами геометрии, с еще одним методом решения геометрических задач.
Рассматриваемые в работе вопросы выходят за рамки обязательного содержания. Вместе с тем, они тесно примыкают к основному курсу. Поэтому их изучение способствует совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, предусмотренных школьной программой, помогает оценить свои возможности по математике и более осознанно выбрать профиль дальнейшего обучения (9 класс), подготовиться к вступительным экзаменам (11 класс).
Предлагаемые в работе задачи интересны и часто не просты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию школьников. Эти задачи рассчитаны в первую очередь на учащихся, интересующихся математикой, желающих иметь хорошие навыки в решении геометрических задач. Вместе с тем, их содержание позволяет ученику любого уровня активно включиться в учебно - познавательный процесс и максимально проявить себя: занятия могут проводиться на высоком уровне сложности, но включать вопросы, доступные и интересные всем учащимся.
Думается, что представленный в работе материал будет полезен коллегам и может стать основой соответствующего теме элективного курса по выбору в системе предпрофильной подготовки по математике.
Общеизвестно, что геометрическая линия является одной из центральных линий курса математики. Она предполагает систематическое изучение свойств геометрических фигур на плоскости, формирование пространственных представлений, развитие логического мышления и подготовку аппарата, необходимого для изучения смежных дисциплин и курса стереометрии.
В геометрических задачах, в отличие от задач алгебраических, далеко не всегда удается указать рецепт решения, алгоритм, приводящий к успеху. Здесь, помимо формального знания многочисленных соотношений между элементами геометрических фигур, необходимо иметь интуицию и опыт[21,с.222]. Важно уметь смотреть и видеть, замечать различные особенности фигур, делать выводы из замеченных особенностей, предвидеть возможные дополнительные построения, облегчающие анализ задачи. «Умение решать задачи - такое же практическое искусство, как умение плавать или бегать. Ему можно научиться только путем подражания или упражнения»,- писал Д. Пойа.
Одним из интереснейших разделов элементарной геометрии справедливо считается геометрия треугольника. Треугольники изучаются на протяжении всего курса планиметрии. Их изучение начинается с признаков равенства треугольников, центральное место курса занимают метрические соотношения в треугольниках, рассматривается серия теорем о «замечательных точках» в треугольниках, изучаются подобные треугольники.
Это не случайно. Несмотря на то, что треугольник едва ли не простейшая после отрезка фигура, он имеет много важных и интереснейших свойств, к которым сводятся свойства других, более сложных фигур. Среди теорем о треугольниках есть такие, изучение которых позволяет существенно расширить круг геометрических задач, решаемых школьниками. Значение их состоит прежде всего в том, что из них или с их помощью можно вывести большинство теорем геометрии, они служат основой многих дальнейших выводов. Таковыми являются теорема Пифагора, теорема синусов, теорема косинусов и т.д. С понятием треугольника связаны имена многих выдающихся ученых: теорема Пифагора, формула Герона, прямая Эйлера, теорема Карно и многие другие.
Но в геометрии треугольника много и таких теорем, авторы которых остались в истории науки только «благодаря треугольникам». Речь идет о двух таких теоремах – теореме Чевы и теореме Менелая. Они не входят в школьный курс математики основной школы, включены в программу профильного курса изучения геометрии в 10 классе. При этом обе они имеют интересные и многочисленные приложения, позволяют легко и изящно решать целый класс задач.
С темой «Теорема Менелая и теорема Чевы» учащиеся впервые встречаются в курсе геометрии 10 класса профильного уровня, причем из 17 часов, отведенных на изучение главы «Геометрия на плоскости», ей уделяется всего 2 часа. Понятно, что за такое время можно лишь ознакомиться с теоремами и рассмотреть их применение к простейшим задачам. Для формирования умений различать этот тип задач, решать их нужно время и соответствующая система упражнений. Не удивительно, что учащиеся быстро забывают факты, связанные с этими утверждениями.
Все это наводит на мысль о том, что полезно начинать знакомить учащихся с подобными теоремами и задачами намного раньше - еще в период предпрофильной подготовки, в 8-9 классах - параллельно с соответствующими разделами школьной программы по математике. Очевидно, в рамках уроков это сделать не удастся из-за той же нехватки времени. Здесь смогут помочь элективные курсы, факультативные занятия, математические кружки.
Данная работа написана на основе практических занятий с учащимися выпускных классов: в девятых классах (2004-2006 г.г.) - в рамках факультатива с учениками, проявляющими повышенный интерес к предмету; в 11 классе (2001-2005 г.г.) – в ходе довузовской подготовки, а также в 10 классе (2006 г.) - в соответствии с программой класса естественнонаучного профиля.
Многие из разобранных задач предлагались на подготовительных курсах, вступительных экзаменах в МГУ, МФТИ, ННГУ. Часть задач взята из сборников, указанных в списке литературы. Представленный в работе материал начал изучаться в 2000 году; после выступления на районном семинаре учителей- математиков в 2003 году разработками начали пользоваться и коллеги.
Основные цели работы:
- анализ учебной и методической литературы по изучаемой теме;
- изучение опыта учителей, работающих в этом направлении;
- анализ и обобщение личного опыта, выдача практических рекомендаций, которые могут быть использованы учителями при решении данной проблемы.
В главе I «Теоретические основы темы «Теорема Менелая и теорема Чевы»» рассматриваются теоретические вопросы, причем более углубленно, чем предусмотрено «Программой для классов с углубленным изучением математики». Это позволяет варьировать, дозировать изучение материала в зависимости от степени подготовленности класса.
В главе II «Методические рекомендации к изучению темы «Теоремы Менелая и Чевы» в школьном курсе математики» предложена модель обучения решению задач на пропорциональное деление отрезков. Известно, что их можно решать разными способами: методом подобия, методом площадей, с помощью геометрии масс или векторным методом. В работе же представлен еще один, довольно простой метод решения - с использованием теорем Менелая и Чевы.
Обучение решению геометрических задач с применением теорем Менелая и Чевы предлагается провести в 3 этапа:
1 этап – в период предпрофильной подготовки, в 8-9 классах, познакомить учащихся с теоремами и сформировать умения решать ключевые задачи темы;
2 этап – рассмотреть соответствующие вопросы в школьном курсе геометрии 10 класса профильного уровня;
3 этап – после изучения основ стереометрии показать, как «работают» теоремы в решении стереометрических задач.
Предложенная система упражнений удовлетворяет следующим требованиям:
1) задачи разделены по видам: а) по характеру требования- задачи на доказательство, на вычисление или нахождение; б) по отношению к способу решения - стандартные и нестандартные;
2) среди упражнений достаточное число дидактических, то есть одно-, двухшаговых заданий для реализации этапа осознания, осмысления изучаемого материала, направленных на формирование умений;
3) включены комплексные задачи, то есть задачи, при решении которых используются знания, полученные при изучении не только данной, но и предыдущих тем, а также при изучении других разделов математики;
4) в систему задач входят и задачи, специально направленные на формирование положительных качественных характеристик ума: задачи с нестандартной постановкой вопроса, задачи, допускающие несколько способов решения;
5) задачи рассчитаны на учащихся с различными уровнями подготовленности, что обеспечивает соблюдение принципа посильных трудностей.[7, с.203-204]
Глава 1. Теоретические основы темы «Теорема Менелая и теорема Чевы ».
«Все незначительное нужно,
чтобы значительному быть…»
И. Северянин.
1.1. Теорема Чевы.
Мы знаем, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Поставим теперь общий вопрос. Рассмотрим
ABC и отметим на его сторонах BC, AC и AB (или их продолжениях) соответственно точки A
,B
и C
( рис.1).
При каком расположении этих точек прямые AA
, BB
и CC
пересекутся в одной точке?
Ответ на этот вопрос нашел в 1678 году итальянский инженер-гидравлик Джованни Чева (1698г.-1734г.). Чева создал учение о секущих, положившее начало новой синтетической геометрии. Известна его работа «О взаимном расположении пересекающихся прямых» (1678г.) и теорема Чевы о соотношениях отрезков в треугольнике.
(Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противолежащих сторонах, называют чевианами - понятно, почему).
Сформулируем теорему Чевы.
Теорема.Пусть в
ABC на сторонах BC,AC и AB или их продолжениях взяты соответственно точки A
,B
и C
, не совпадающие с вершинами треугольника. Прямые AA
, CC
и BB
пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда выполняется равенство
.
.
=1 (
)
Доказательство. Следует заметить, что формулировка теоремы Чевы содержит два взаимно обратных утверждения.
Необходимость. Пусть AA
, BB
, CC
пересекаются в точке O. Докажем справедливость равенства (
) .
1) Рассмотрим сначала случай внутренней точки O (рис.1а), при котором точки A
,B
,C
лежат на отрезках BC,AC и AB соответственно.
Проведем через вершину B прямую a ll AC (рис.2). Пусть AA
∩a =M,
CC
∩ a=N.
Замечаем, что
AA
C~
MA
B по I признаку (
AA
C=
MA
B как вертикальные,
CAA
=
BMA
как накрест лежащие при параллельных прямых а, АС и секущей АМ).
Тогда
=
(1) .
Аналогично
из подобия
AC
C и
BC
N по I признаку имеем
=
(2);AOB
~
MOB
=
(3)
B
OC~
BON
=
(4)
Из (3) и (4) получаем
=
или
=
(5)
Перемножив соответственно левые и правые части равенств (1), (2) и (5), получим равенство(
):
.
.
=
.
.
=1. Необходимость доказана.
Примечание 1: равенство (
) можно получить, заменив отношения отрезков в его левой части на отношение площадей. Считаю целесообразным привести другое
доказательство.
Итак, вернемся к (рис.1а), заметим, что
AOB и
COB
рис.3 имеют общую сторону BO.
Их высоты AL и CK соответственно (рис.3).
AB
L~
CB
K,
=
.
Тогда
�� EMBED Equation.3 =
=
=
.
Аналогично,
AOC и
COB имеют общую сторону OC .
=
. Наконец,
=
.
Перемножая эти три равенства, получаем 1=
.
.
=
.
.
,что соответствует (
) [19,с.87].
2) Рассуждая аналогично для случая внешней точки O (рис1б), замечаем, что теорема Чевы остается справедливой для точек A
,B
,C
, одна из которых принадлежит стороне треугольника, а две другие – продолжениям сторон. Действительно, пусть AL -высота в
AOB ,проведенная из вершины A, CK- высота в
COB, проведенная из вершины C, OB – их общая сторона (рис.4).
=
. Из подобия
AB
L и
СB
K по I признаку имеем
=
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 =
. Аналогично,
=
,
=
. Перемножая, получаем нужное равенство. Следует только помнить, что при составлении отношений, выходя из вершины треугольника, мы сначала идем в точку деления(A
,B
или C
соответственно) - она может быть расположена вне стороны треугольника - а потом к очередной вершине; заканчивать необходимо в той же вершине, с которой начали.
Примечание 2: можно сообщить теорему Чевы учащимся уже в 8 классе (общеобразовательный класс, факультатив, кружок) после изучения темы «Площадь треугольника». Тогда доказательство можно провести следующим образом.
Так как
ABB
и
B
BC (рис.1а) имеют равные высоты, то их площади относятся как основания, то есть
=
�� EMBED Equation.3 S
=
.S
Аналогично,
=
S
=
.S
Тогда
=
=
=
(1)
=
(высоты равны)
S
=
.S
C другой стороны,
=
�� EMBED Equation.3 S
=
.S
�� EMBED Equation.3 =
=
(2) И, наконец,
=
=
, откуда выражаем S
и S
=
=
(3) . Перемножим (1), (2), (3), получим равенство (
).
3) Докажем равенство (
) для случая, когда прямые AA
,BB
,CC
параллельны
(рис.5)
а)
CAA
~
CB
B по I признаку,
=
=
(1)
б)
BB
A~
C
CA по I признаку,
=
=
(2)
в)
С
BC~
ABA
по I признаку,
=
=
(3)
Перемножая равенства
=
,
=
и
=
,
рис.5 получаем 1=
�� EMBED Equation.3 BC=
(4)
Перемножая равенства
=
,
=
и
=
, получаем
1=
BC=
(5). Из (4) и (5)
=
, поделим его на
правую часть, получим (
).
Достаточность.
Пусть для точек A
,B
,C
выполнено равенство (
).Покажем, что прямые
AA
,BB
и CC
проходят через одну точку. Пусть AA
�� EMBED Equation.3 BB
=O, CO
AB=C
.Тогда для точек A
,B
,C
по теореме Чевы (необходимость) выполняется условие
.
.
=1.
Сравнивая это равенство со (
), получаем, что
=
. Это означает, что точки C
и C
делят отрезок AB (в случае внутренней точки O) в одном и том же отношении, а значит, точка C
совпадает с точкой C
. В случае внешней точки O рассуждение аналогично. Если же (
) выполняется и при этом AA
ll CC
, то через вершину B проведем прямую b ll AA
, найдем точку B
ее пересечения с прямой AC (рис. 6).
Так как для случая трёх параллельных прямых теорема Чевы (прямое утверждение) была доказана, то для прямых AA
,b,CC
выполняется
.
.
=1.
Сравнивая его со (
), получаем
=
. Если точки B
и B
принадлежат отрезку AC, то они делят его в одном и том же отношении, а значит, совпадают. Если B
и B
не принадлежат отрезку AC, то они лежат по одну сторону от точек A или C в зависимости от того, лежит ли A
на отрезке AC или C
на отрезке AB , и из равенства отношений следует совпадение точек B
и B
,а значит, BB
ll AA
ll СС
. Теорема доказана.
Примечание 3: процедура составления(
) не зависит от выбора «отправной» вершины и направления обхода, так как всегда будет получаться произведение, равное 1. Действительно, если
.
.
=m=1, то
=
=1 (и т.д.).
1.2.Теорема Чевы в форме синусов.
В каждом из рассмотренных случаев – и в случае внутренней точки O и в случае внешней точки O- условие (
) Чевы можно записать также в виде
.
.
=1(
�� EMBED Equation.3 )
Доказательство: можно воспользоваться равенствами
=
=
=
.
(1)
=
=
=
(2)
=
=
=
(3)
Перемножая (1), (2), (3), получаем (
�� EMBED Equation.3 ).[10, с.8].
1.3.Теорема Менелая.
Пусть на сторонах AB,BC и на продолжении стороны AC (либо на продолжениях сторон AB,BC и AC)
ABC взяты соответственно точки C
,A
и B
, не совпадающие с вершинами
ABC. Точки A
,B
,C
лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство
.
.
=1 (
)
Доказательство:
1.Необходимость. а) Пусть A
,B
,C
лежат на одной прямой, причем A
- на стороне BC, C
-на стороне AB, B
- на продолжении стороны AC за точку C.Докажем справедливость (
). Проведем СК ll AB (рис.8).
KCB
~
C
AB
по I признаку,
=
KC=
(1)
BC
A
~
CKA
по I признаку,
=
KC=
(2)
Из (1) и (2) имеем
=
. Разделив обе части этого равенства на
, получим (
).
Примечание 4: необходимость может быть доказана и другим способом; приведем и его, чтобы показать еще одну возможность получить подобные треугольники.
Для этого проведем перпендикуляры AM, BN, CK на
прямую C
B
( рис.9).
AMC
~
BNC
по I признаку,
=
;
рис.9
A
BN~
A
CK по I признаку,
=
;
CKB
~
AMB
по I признаку,
=
.
Перемножая эти три равенства, получим
.
.
=
.
.
=1.
б) Рассмотрим случай, если все три точки A
,B
,C
взяты на продолжениях сторон
ABC,причем лежат на одной прямой. Как и в случае а), проведем CK ll AB(рис.10).
CKB
~
AC
B
по I признаку,
=
CK =
;
CKA
~
BC
A
по I признаку,
=
CK=
, тогда
=
=1, то есть равенство (
)
верно.
2.Достаточность. Пусть B
взята на продолжении AC, точка C
лежит на стороне AB, точка A
- на стороне BC, причем для них выполняется
.
.
=1(
).
Докажем, что A
,B
,C
лежат на одной прямой. Заметим сначала, что
.
1, так как тогда из (
) имеем, что
=1, что неверно (рис.8).Отсюда следует, что
,то есть прямые A
C
и AC не параллельны. Проведем через точки C
и A
прямую. Она пересечет прямую AC в некоторой точке B
. Для точек A
, C
и B
верна теорема Менелая, так что
.
.
=1. Сравнивая это равенство со (
), получаем
=
; это показывает, что обе точки B
и B
лежат на продолжении отрезка AC за одну и ту же точку, ибо правее C данное отношение меньше 1, а левее A оно строго больше 1. Пусть CB
= x , CB
=y, AC=b. Тогда, учитывая, что B
A=x+b, B
A=y+b, перепишем полученное равенство в виде
, откуда xy+xb=xy+yb, то есть x=y Из равенства CB
= CB
следует, что B
совпадает с B
, то есть A
,B
,C
лежат на одной прямой [19, с.86]. Аналогично доказывается достаточность для случая, когда все три точки лежат на продолжениях соответствующих сторон.
Теорема доказана.
Эта теорема входит в золотой фонд древнегреческой математики. Она дошла до нас в арабском переводе книги « Сферика» Менелая Александрийского (I век н.э.). Равенство Менелая аналогично условию Чевы, и его можно записывать, начиная с любой вершины треугольника в любом направлении ( по часовой стрелке, против часовой стрелки).Легко заметить, что при составлении равенства надо переходить от вершины к вершине через точку пересечения секущей линии с этой стороной или ее продолжением; заканчивать необходимо в той же вершине, с которой начали.
Обозначим R=
.
.
.Замечаем, что утверждение R=1 имеет место и в теореме Чевы, и в теореме Менелая. Поэтому справедливо следующее утверждение:
Пусть в треугольнике ABC на прямых AB,BC и AC взяты точки C
,A
,B
, причем k из них лежат на сторонах треугольника и 3-k - на продолжениях сторон. Тогда
а) точки A
,B
,C
лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда R=1 и k четно (теорема Менелая);
б) прямые AA
, BB
и СС
пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда R=1 и k нечетно (теорема Чевы) [14, с.113].
Примечание 5: можно вместо отношения
и других рассматривать отношения направленных отрезков, которые будем обозначать
и определять следующим образом: │
│=
,
положительно, если векторы
и
одинаково направлены, и отрицательно, если они противоположно направлены (
имеет смысл только для точек, расположенных на одной прямой). Легко видеть, что отношение
положительно, если точка C
лежит на отрезке AB, и отрицательно, если C
- вне AB.
Соответственно, вместо R будем рассматривать произведение отношений направленных отрезков, которое обозначим
. Тогда
Теорема Чевы: Для того чтобы прямые AA
,BB
,CC
пересекались в одной точке (или были параллельны), необходимо и достаточно, чтобы
=1 [23, с.40].
Действительно, если все три точки лежат на сторонах
ABC (k=3), то все три отношения в произведении
будут положительными, а это значит, что
=1. Если одна из точек лежит на стороне, а две другие - на продолжениях сторон треугольника, то два отношения направленных отрезков будут с минусом, и произведение снова будет равно 1.
Теорема Менелая: Для того чтобы точки A
,B
,C
лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы
=-1 [23,с.41].
Действительно, если две точки лежат на сторонах треугольника, а третья - на продолжении, то одно отношение направленных отрезков отрицательно, а два – положительны; значит, произведение
=-1.
Если все три точки лежат на продолжениях сторон, то все три отношения направленных отрезков будут отрицательными, следовательно, снова
=-1.
Примечание 6: поскольку у школьников могут возникнуть трудности в понимании формулировки теорем, целесообразно, в зависимости от уровня учащихся, теоремы переформулировать: разделить на две – прямую и обратную.
Глава 2. Методические рекомендации к изучению темы в
школьном курсе геометрии.
Обучение решению геометрических задач с применением теорем Менелая и Чевы проводим в 3 этапа:
1 этап – в период предпрофильной подготовки, в 8-9 классах, знакомим учащихся с теоремами и формируем умения решать ключевые задачи темы;
2 этап – рассматриваем соответствующие вопросы в школьном курсе геометрии 10 класса профильного уровня;
3 этап – после изучения основ стереометрии показываем, как «работают» теоремы в решении стереометрических задач, включая конкурсные задачи вступительных экзаменов в вузы.
2.1 Методика обучения решению задач с применением теорем Менелая и Чевы в период предпрофильной подготовки.
К моменту изучения темы учащиеся должны знать теорему Фалеса, формулу вычисления площади треугольника и свойства площадей треугольников, свойство биссектрисы треугольника, признаки подобия треугольников, теоремы о пересечении биссектрис, медиан, серединных перпендикуляров, высот в треугольнике. Этот материал изучается в 8 классе. Поэтому в 9 классе в рамках факультатива «За страницами учебника» отводим 10 часов на тему «Некоторые замечательные теоремы планиметрии», в которой рассматриваем следующие вопросы:
1. Теорема Менелая и пропорциональные отрезки в треугольнике (2 часа).
2. Теорема Чевы и ее следствия. Применение теорем Чевы и Менелая к задачам на доказательство(2 часа).
3. Решение задач на пропорциональное деление отрезков в треугольнике.(2 часа).
4. Решение задач, связанных с нахождением площадей (2 часа).
5. Комбинированные задачи (2 часа).
Каждое занятие, а также все они в целом направлены на то, чтобы развить интерес учащихся к предмету, познакомить с новыми идеями и методами, расширить представления об изучаемом в основном курсе материале, а главное, порешать интересные геометрические задачи алгебраическим способом.
Занятия 1-2. Тема: Теорема Менелая и пропорциональные отрезки в треугольнике.
В результате изучения материала этих занятий учащиеся должны:
знать формулировки теоремы Менелая и теоремы, обратной теореме Менелая;
уметь воспроизводить доказательство теоремы Менелая и применять ее при решении простейших задач.
В начале занятия 1 необходимо повторить основные теоретические сведения, связанные с треугольником, известные учащимся с 7-8 классов. Затем предложить решить задачу 1:
В треугольнике ABC точка D делит сторону BC в отношении BD:DC= 1: 3, а точка O делит AD в отношении AO:OD=5:2. В каком отношении прямая BO делит отрезок AC?
Дано:
ABC, D
BC, BD: DC= 1:3
O
AD, AO: OD= 5:2
BO
AC= E
Найти AE: EC
Решение:
Проведем DM ll BE (рис. 11). По теореме Фалеса
. Тогда AE= 5k , EM= 2k, где k- коэффициент пропорциональности. Аналогично
, откуда MC= 3EM=6k; EC= 2k+6k= 8k;
.
Ответ: AE: EC= 5:8
Для решения этой задачи пришлось выполнить дополнительное построение. Вряд ли учащиеся смогут догадаться, какое именно дополнительное построение требуется для решения этой или похожей задачи, поэтому она может оказаться сложной для них.
Можно сообщить ученикам, что эту задачу можно решить без дополнительного построения, причем достаточно просто и быстро. Но для этого нам понадобится следующее утверждение - и далее идет знакомство с теоремой Менелая, но ее формулировка (с.9) разбивается на 2 независимых утверждения - прямую и обратную теоремы.
Теорема (Менелая).Пусть на сторонах AB,BC и на продолжении стороны AC
ABC взяты соответственно точки C
,A
и B
, не совпадающие с вершинами треугольника. Если точки A
,B
,C
лежат на одной прямой, то выполняется равенство
.
.
=1 (
)
Доказательство теоремы проводится одним из способов, рассмотренных в главе 1 на с.10-11.
Необходимость рассмотрения случая, когда точки A
,B
,C
лежат на продолжениях сторон треугольника, определяет учитель. Нужно сообщить учащимся, что при составлении равенства (
) надо переходить от вершины к вершине через точку пересечения секущей линии с этой стороной или ее продолжением; заканчивать необходимо в той же вершине, с которой начали; равенство Менелая можно записывать, начиная с любой вершины треугольника в любом направлении (по часовой стрелке, против часовой стрелки). После рассмотрения теоремы Менелая возвращаемся к решению задачи 1.
Рассмотрим
ADC; B
DC,O
AD, E
AC; O,B,E лежат на одной прямой; по
теореме Менелая
.
.
=1. Так как BD: DC= 1:3, то CB: BD=4:1,
подставляем, получаем .
.
=1,
=
.
Таким образом, сопоставление разных способов решения может оказаться весьма полезным, становится очевидным преимущество второго способа.
Рассмотрим задачу 2.
В
ABC на стороне AC взята точка M, а на стороне BC – точка K так, что AM: MC= 2:3, BK: KC= 4:3. В каком отношении AK делит отрезок BM?
Решение:
I способ. Через точку B проведем прямую a ll AC (рис.12); AK
a=P;
BKP ~
CKA
BP=
AC.
BOP~
MOA
~
=
Ответ:
=
.
В этом случае нужно увидеть подобные треугольники, для чего использовать дополнительное построение.
II способ. Рассмотрим
MBC; прямую AK назовем секущей, так как она пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника MBC; A
MC,O
BM, K
BC;
A,O,K лежат на AK ( на одной прямой). По теореме Менелая
,
,
=
.
Замечаем, что теорема Менелая проста для применения, но здесь важно увидеть нужную конфигурацию - треугольник и секущую, причем такие, что два отношения в равенстве Менелая будут известны, тогда можно будет найти третье. В связи с этим полезны упражнения «на узнавание»:
На следующих рисунках указать треугольник, секущую и точки ее пересечения с каждой стороной треугольника или продолжением:
Задача 3. В каком отношении делит сторону BC треугольника ABC прямая, проходящая через точку A и середину медианы, выходящей из B?
Дано:
ABC; AB
= B
C; BO=OB
;
Найти BA
: A
C
Решение:
Рассмотрим
BCB
и секущую AA
; A
B
C, O
BB
, A
�� EMBED Equation.3 BC.
По теореме Менелая
�� EMBED Equation.3 ;
�� EMBED Equation.3 ;
=
Ответ: BA
: A
C=1:2
Задача 4. Дано:
ABC; AA
- биссектриса,
BB
- медиана; AB=2, AC=3;
Найти BO: OB
Решение:
AA
- биссектриса
=
�� EMBED Equation.3 .
Рассмотрим BB
C и секущую AA
; A
B
C, A
�� EMBED Equation.3 BC, O
BB
(рис.17).
По теореме Менелая
;
.
Ответ: BO: OB
=4:3
Задача 5. На сторонах AC и BC
ABC отмечены соответственно точки N и K так, что AN: NC= m : n, AK
BN= Q, BQ: QN= p : q. Найти BK: KC.
Решение:
Рассмотрим BCN и секущую AK; A
NC, Q
BN, K
BC (рис. 18).
По теореме Менелая
�� EMBED Equation.3
Ответ :
Далее ставим вопрос о справедливости обратного утверждения.
Теорема (Менелая, обратная). Пусть дан треугольник ABC. Предположим, что точка C
лежит на стороне AB, точка A
лежит на стороне BC, а точка B
лежит на продолжении стороны AC, причем про эти точки известно, что
.
.
=1 . Тогда эти точки лежат на одной прямой.
Доказательство этого утверждения приводится в главе 1, с.11.
Задачи для самостоятельного решения:
1. В треугольнике ABC на сторонах AB и BC взяты точки K и M , KM
AC= P. Найти CP: AP, если а) AK: KB= 2, BM: MC= 1:3;
б) AK: KB= 3, BM: MC = 4;
в) AK: KB= 2:5, BM: MC = 2.
Ответы: а) 3:2; б) 1:12; в) 5:8.
2. В треугольнике ABC на сторонах AB и BC взяты точки K и M; CK
AM=O. Обозначим AK: KB= k, BM: MC= m, CO: OK= p, AO:OM= l. Пусть из четырех чисел k,m,p и l известны два. Найти два оставшихся числа, если
3. В треугольнике ABC на стороне AC взята точка M такая, что AM=
AC, а на стороне BC – точка K такая, что BK=
BC. В каком отношении отрезок BM делит отрезок AK?
4. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки K и M так, что AK:AB= BM: BC= 1:3. В каком отношении точка пересечения CK и AM делит каждый из этих отрезков?
5. На сторонах AC и BC
расположены соответственно точки N и M так, что AN:NC=k, BM:MC=m, прямые AM и BN пересекаются в точке O. Найти отношения AO:OM, BO:ON.
Занятия 3-4. Тема: Теорема Чевы и ее следствия. Применение теоремы Чевы и теоремы Менелая к задачам на доказательство.
Цели: рассмотреть теорему Чевы, утверждение которой также связано с отрезками в треугольнике, некоторые следствия из нее; показать, как теоремы Чевы и Менелая применяются в задачах на доказательство.
Формулировка теоремы Чевы включает два взаимно обратных утверждения. Их можно рассмотреть как независимые теоремы.
Теорема (Чевы).Пусть точки A
,B
, C
лежат соответственно на сторонах BC,AC и AB треугольника ABC, причем отрезки AA
, BB
,CC
пересекаются в одной точке.
Тогда
.
.
=1
Доказательство теоремы проводится одним из способов, предложенных в главе I на с.6.
Исследование остальных случаев расположения точек - по усмотрению учителя, но в любом случае целесообразно сформулировать теорему Чевы и для случая внешней точки пересечения AA
, BB
,CC
и для случая параллельных прямых, а также рассмотреть обратное утверждение.
Теорема (Чевы, обратная).Пусть точки A
,B
, C
лежат соответственно на сторонах BC,AC и AB треугольника ABC, причем
.
.
=1. Тогда отрезки AA
, BB
,CC
пересекаются в одной точке.(Остальные случаи разъяснить).
Задача.
На сторонах треугольника ABC взяты соответственно точки C
, A
,B
,так, что AC
: С
B= 2:1, BA
:A
C=1:3,
BB
�� EMBED Equation.3 CC
�� EMBED Equation.3 AA
=O. Найти CB
: B
A.
Решение:
Так как отрезки BB
, CC
, AA
пересекаются в одной точке O, то по теореме Чевы
.
.
=1;
=1;
=
Ответ: 3:2
Далее рассматриваются некоторые следствия из теоремы Чевы.
Следствие1.Медианы треугольника пересекаются в одной точке,которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Доказательство. В учебной литературе доказательство этого утверждения проводится на основе подобных треугольников. Мы же проведем его, опираясь на теоремы Чевы и Менелая. Итак, пусть AA
, BB
,CC
- медианы
ABC (рис.20) . Так как AC
=C
B, BA
=A
C, AB
=B
C, то
=1,= 1,
=1. Тогда
.
.
, т.е. для точек A
,B
,C
, лежащих на сторонах треугольника ABC, выполняется условие (
) ; по теореме Чевы AA
, BB
,CC
пересекутся в одной точке O (случай внутренней точки).
Рассмотрим
B
BC , точки A,O,A
лежат на одной прямой, пересекающей стороны BB
,BC и продолжение стороны B
C (в дальнейшем будем называть ее секущей). A
B
C, O
BB
, A
�� EMBED Equation.3 BC.
По теореме Менелая
,
�� EMBED Equation.3 =
.
Применяя теорему Менелая для
A
AC и секущей BB
(B
A
C, O
AA
, B
�� EMBED Equation.3 AC), получим, что
=
; применяя теорему Менелая для
С
BC и секущей AA
, получим, что
. Утверждение доказано.
Следствие 2.Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство. Справедливость этого утверждения можно доказать, используя свойство биссектрисы:
так как AA
- биссектриса, то
=
; так как BB
- биссектриса, то
;
так как СС
- биссектриса, то
. Перемножая соответственно левые и правые части этих равенств, получим
.
.
=
.
.
=1, то есть для точек A
, B
, C
выполняется равенство Чевы, значит, AA
, BB
,CC
пересекаются в одной точке.
Примечание 7: если учащимся известна теорема Чевы в форме синусов, то провести доказательство этого следствия можно следующим образом. Пусть AA
,BB
,CC
- биссектрисы
ABC (рис.21) Так как
, то
= 1; аналогично,
=1;
=1.
Перемножая эти равенства, получим условие (
�� EMBED Equation.3 ) теоремы Чевы в форме синусов. Значит, AA
, BB
,CC
пересекаются в одной точке.
Следствие3. Высоты треугольника (или их продолжения)пересекаются в одной точке (ортоцентре треугольника).
Доказательство: пусть AA
, BB
,CC
- высоты
ABC .
1) Если
ABC остроугольный (рис. 22), то точки A
, B
, C
лежат на его сторонах.
ACC
-прямоугольный, AC
= AC cosA;
BCC
- прямоугольный, BC
= BC cosB;
BA
A – прямоугольный, BA
= AB cosB;
AA
C- прямоугольный, A
C=AC cosC; CB
=CB cosC; AB
= AB cosA.
Тогда
.
.
=
=1. А так как условие (
) выполняется, то AA
, BB
, CC
пересекаются в одной точке.
Примечание 8: следствие 3 можно доказать, исходя из подобия треугольников. Можно предложить учащимся провести доказательство этим способом самостоятельно. (Действительно,
AA
C~
BB
C по I признаку
; аналогично, из подобия
CC
B и
AA
B следует, что
. И, наконец,
BB
A ~
CC
A
. Перемножая эти равенства, получим
. Отсюда по теореме Чевы следует, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.[4, с.96])
2) Пусть
ABC – тупоугольный (рис.23). Это случай внешней точки O. Из
ACC
AC
=ACcosA; из
С
BC C
B=CB cos (180
-
B)= -CB cosB ( угол B тупой) ;
из
A
BA BA
=AB cos(180
-
B)=-AB cosB; аналогично,
AB
=AB cosA; B
C= BC cosC; A
C= AC cosC; CB
=CBcosC.
.
Так как условие Чевы выполняется, то AA
, BB
, CC
пересекаются в одной точке или параллельны (глава1). Но если бы они были параллельны, то и перпендикулярные к ним прямые, то есть стороны треугольника ABC, были бы параллельны друг другу, но это не так. Значит, прямые AA
,BB
,CC
пересекаются в одной точке.
3) Если
ABC прямоугольный,
С=90
(рис.24) , то очевидно, что высоты BC,AC,CC
пересекаются в точке С. Следствие 3 доказано.
Следствие4. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство. Рассмотрим серединный
MNK(вершины-середины сторон
ABC)(рис.25). Тогда NK,NM,MK – средние линии треугольника ABC и по свойству средней линии NK
AC, NM
BC, KM
AB. Поэтому серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ABC содержат высоты
MNK. А в
MNK по следствию 3 высоты пересекаются в одной точке, следовательно, серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке.
Таким образом, теорема Чевы дает возможность весьма просто доказать известные утверждения о четырех замечательных точках треугольника.
Рассмотрим еще одно следствие из теоремы Чевы.
Следствие 5. Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон, пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Жергонна (рис.26).
Доказательство. По свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, имеем AB
=AC
=x, C
B=BA
=y, A
C=B
C=z.
, по теореме Чевы AA
, BB
, CC
пересекаются в одной точке.
Дополнительные задачи:
1. Используя теорему Чевы, доказать, что в произвольном треугольнике прямые, проходящие через вершины и делящие периметр треугольника пополам, пересекаются в одной точке.[4, с.94]
Доказательство: Пусть каждый из отрезков AA
, BB
,CC
делит периметр треугольника ABC пополам (рис.27), то есть AB+BA
=A
C+AC(1), B
C+BC=AB
+AB(2), AC
+ СA=
=C
B+BC (3)
Сложим (1), (2), (3): AB+BA
+B
C+BC+AC
+CA= A
C+AC+ AB
+AB+ C
B+BC; BA
+B
C+AC
=A
C+AB
+C
B. Перенесем слагаемые в левую часть и сгруппируем:
(BA
- AB
) + (B
C - C
B) + (AC
- A
C)=0 (4). Вычитая из (1) равенство (2), получаем :
(AB+BA
)- (AB
+AB) = (A
C+AC)-( B
C+BC) или BA
- AB
= (AC- B
C)-(BC- A
C)=AB
- BA
= -( BA
- AB
), откуда 2(BA
- AB
)= 0, BA
= AB
.
Аналогично доказывается, что CB
= С
B , C
A = A
C.
Тогда
.
.
.
По теореме Чевы AA
, BB
,CC
пересекаются в одной точке.
2. На стороне AC треугольника ABC взяты точки P и E , на стороне BC – точки M и K, причем AP: PE: EC= CK: KM: MB. Отрезки AM и BP пересекаются в точке O, отрезки AK и BE – в точке T. Докажите, что точки O, T и С лежат на одной прямой.[4, с.94]
AB=C
, CO
AB=C
. Докажем, что точки C
и C
совпадают, это и будет означать, что O, T, C лежат на одной прямой.
Так как CT
AB=C
, BE
AK
CC
= T, то по теореме Чевы
;
(1)
Так как CO
AB=C
, AM
BP= O, то СС
BP
AM=O, по теореме Чевы
(2)
Из (1) и (2) следует, что
, то есть точки С
и C
делят отрезок AB в одном и том же отношении, начиная от точки A, а значит, С
и C
совпадают. А это означает, что точки O, T, C лежат на одной прямой.
3. Прямая пересекает стороны AB,BC и продолжение стороны AC треугольника ABC соответственно в точках D,E,F.Доказать, что середины сторон отрезков DC, AE и BF лежат на одной прямой.(Теорема Гаусса.) Указание: воспользоваться теоремой Менелая, в качестве вершин данного треугольника взять середины сторон треугольника ABC, на сторонах и продолжениях которого лежат рассматриваемые точки.
4. Треугольники ABC и A
B
C
с попарно непараллельными сторонами расположены так, что прямые AA
и A
BB
пересекаются в одной точке O. Доказать, что точки M,K,P пересечения прямых AB и A
B
, BC и B
C
, AC и A
C
соответственно лежат на одной прямой. (Теорема Дезарга.) Указание: воспользоваться теоремой Менелая.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Доказать, что середины оснований трапеции, точка пересечения ее диагоналей и точка пересечения продолжений ее боковых сторон лежат на одной прямой. Указание: дважды используя теорему Менелая, доказать, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции и через точку пересечения продолжений боковых сторон, проходит через середины оснований.
2. Доказать, что: а) биссектрисы внешних углов треугольника пересекают продолжения противоположных сторон треугольника в трех точках, расположенных на одной прямой; б) касательные к описанной около треугольника окружности в вершинах треугольника пересекают его противоположные стороны в трех точках, расположенных на одной прямой. Указание: воспользоваться теоремой Менелая.
3. На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты точки C
,A
и B
соответственно. Пусть C
- точка пересечения прямых AB и A
B
, A
- точка пересечения прямых BC и B
C
, B
- точка пересечения прямых AC и A
C
. Доказать, что если прямые AA
, BB
, CC
пересекаются в одной точке, то точки A
, B
, C
лежат на одной прямой. Указание: записав равенство Чевы для точек A
,B
,C
; A
,B
, C
; A
, B
, C
; A
, B
,C
,получить, что для точек A
, B
, C
выполняется равенство Чевы ; далее доказать, что или все три точки A
, B
, C
лежат на продолжениях сторон треугольника( так будет, если A
,B
,C
лежат на сторонах треугольника), или лишь одна находится на продолжении (если на сторонах треугольника одна из точек A
,B
,C
) и воспользоваться теоремой Менелая.
4. Пусть ABCD – четырехугольник, P- точка пересечения BC и AD, Q – точка пересечения AC и BD, R – точка пересечения AB и CD. Доказать, что точки пересечения BC и QR, CA и RP, AB и PQ лежат на одной прямой. Указание: применить теорему Менелая к треугольникам ABD,BDC и DCA.
5. Окружность пересекает сторону AB треугольника ABC в точках C
и C
, сторонуBС – в точках A
и A
, сторону CA- в точках B
и B
. Доказать, что если прямые AA
,BB
и CC
пересекаются в одной точке, то и прямые AA
, BB
и CC
также пересекаются в одной точке. Указание: воспользоваться теоремой Чевы.
Занятия 5-6. Тема: Решение задач на пропорциональное деление отрезков в треугольнике.
Цели: овладение навыком решения задач с использованием теорем Менелая и Чевы; повышение уровня математической культуры учащихся, развитие их познавательных способностей.
Прежде всего надо отметить, что усвоение каждой темы школьного курса математики и развитие учащихся на том или ином уровне обеспечивается определенной системой упражнений и задач. [7,с.203] Выполнение математических упражнений является важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой школьниками усваивается математическая теория, развиваются их творческие способности и самостоятельность мышления.[15,с.3] Умение решать задачи самостоятельно, без посторонней помощи формируется автоматически, непроизвольно лишь у небольшой части учащихся. Для большинства же требуется специальная работа учителя в этом направлении. У школьников необходимо формировать умение решать и стандартные, и нестандартные задачи.
Наработать навыки решения стандартных задач на применение теорем Чевы и Менелая , а также организовать контроль за их выполнением поможет следующая таблица.
Отнош.
№ зад.
а)
б)
в)
г)
д)
е)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
�� EMBED Equation.3
7.
8.
Если три отрезка, соединяющие вершины A,B,C треугольника соответственно с точками A
,B
,C
лежащими на его сторонах, противоположных этим вершинам, пересекаются в точке O, то по любым двум из шести отношений длин отрезков, на которые точки A
,B
,C
делят стороны треугольника, а точка O- отрезки AA
,BB
,CC
, однозначно определяются оставшиеся отношения(с помощью теорем Менелая и Чевы).
Две задачи из таблицы можно разобрать на занятии, остальные дать домой (используя таблицу, можно составить несколько вариантов заданий).
Далее можно организовать работу в группах.
Задача.
В
ABC на сторонах AB, BC,AC взяты точки C
, A
,B
соответственно. Отрезки BB
,AA
, CC
пересекаются в точке O. CB
: B
A=p, CA
: A
B=q.
Найти :
.
Ученики делятся на 4 группы по количеству отношений, которые необходимо найти.
После того как задача окажется решена каждой группой, идет выступление представителей.
Решение: 1) Рассмотрим
; O
AA
, B
A
C, B
AC, O,B,B
лежат на одной прямой (рис.29).
По теореме Менелая
�� EMBED Equation.3 ;
�� EMBED Equation.3 .
2) Рассмотрим
; O
BB
, A
BC, A
CB
;O, A
,A лежат на одной прямой.
По теореме Менелая
;
.
3) Рассмотрим
, по теореме Чевы
;
;
.
По теореме Менелая для
СС
A и секущей BB
;
;
.
4) Рассмотрим
, по теореме Чевы
;
;
.
Чтобы включить знания учащихся в систему, важно среди задач по теме иметь комплексные задачи, то есть задачи, при решении которых используются знания, полученные при изучении не только данной, но и предыдущих тем, а также при изучении других разделов математики. Поэтому полезными окажутся задачи 1-5.
Задача 1. .В треугольнике ABC, описанном около окружности, AB = 8, BC = 5, AC = 4. Точки A
,В
и C
- точки касания, принадлежащие соответственно сторонам BC,AC и BA. Точка P - точка пересечения отрезков AA
и CC
.
Найдите AP: PA
.
Решение: так как отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке, то P
BB
. Пусть C
B=x, тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения ( рис. 30)
8 - x + 5 - x = 4, x =
. Значит,C
B = BA=
; A
C = 5 –
=
, AC = 8 –
=
.
В треугольнике ABA
прямая C
C пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 ,
,
=
.
Ответ: 70: 9.
Задача 2. Стороны треугольника 5, 6 и 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.
Решение: пусть в треугольнике ABC AB = 5, BC = 7, AC = 6. Угол BAC лежит против большей стороны в треугольнике ABC, значит, угол BAC – больший угол треугольника. Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис. Пусть O -точка пересечения биссектрис. Необходимо найти AO:OD. Так как AD – биссектриса треугольника ABC, то
=
, то есть BD = 5k, DC = 6k. Так как BF – биссектриса треугольника ABC, то
=
, то есть AF = 5m, FC = 7m.
Прямая BF пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника ADC.
По теореме Менелая
.
.
= 1,
=
=
=
Ответ: 11:7.
Задача 3. В треугольнике ABC, описанном около окружности, AB =13, BC = 12, AC = 9, A
и C
- точки касания, лежащие соответственно на сторонах BC и AB. Q –точка пересеченияотрезков AA
и BH,где BH- высота. Найдите отношение BQ:QH.
Решение:
треугольник ABC – разносторонний, значит, точка H не совпадает с точкой касания. Обозначим точку касания, лежащую на стороне AC, буквой B
.
1. Пусть C
B = x, тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения (рис.32):
BA
=x, A
C=B
C=12-x, AC
=AB
=13-x. Тогда (13 – x) + (12 – x) = 9, x=8. Значит, C
B =BA
= 8, AC
=AB
= 5, CA
=CB
=4.
2. По формуле Герона
S
=
�� EMBED Equation.3 = 4
,
S
=
�� EMBED Equation.3 , BH=
, BH =
.
3. Из треугольника ABH (прямоугольного) по теореме Пифагора
AH =
=
.
4. В треугольнике CBH прямая AA
пересекает две его стороны и продолжение третьей. По теореме Менелая
.
.
=1,
�� EMBED Equation.3 .
.
=1,
.
.
=1,
=
.
Ответ: 162:53.
Задача 4. В треугольнике ABC, площадь которого равна 6, на стороне AB взята точка K, делящая эту сторону в отношении AK:BK = 2:3, а на стороне AC – точка L, делящая AC в отношении AL: LC = 5:3. Точка Q пересечения прямых CK и BL удалена от прямой AB на расстояние
. Найдите длину стороны AB.
Решение:
1. Треугольники ABL и ABC имеют одинаковую высоту, проведенную из вершины B.
=
=
=
, тогда S
=
6 =
.
2. Прямая KC пересекает в треугольнике ABL две стороны и продолжение третьей. По теореме Менелая
.
.
= 1,
.
.
= 1,
=
, то есть BQ = 4p, QL = p.
3. Треугольники KBQ и ABL имеют общий угол, значит,
=
=
=
, тогда S
=
.
=
.
4. S
=
�� EMBED Equation.3 KB =
=
, 3m =
, тогда m =
, AB=5m = 4.
Итак, AB = 4.
Ответ: 4.
Задача 5. На стороне AC в треугольнике ABC взята точка K. AK = 1, KC = 3. На стороне AB взята точка L. AL:LB=2:3. Q – точка пересечения прямых BK и CL. S
= 1. Найдите длину высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B.
Решение: прямая BK пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника ALC (рис.34) . По теореме Менелая
,
, то есть LQ = 1p, QC = 5p.
1) треугольники ALC и AQC имеют общий угол, значит,
, S
=
.
2) Треугольники ABC и ALC имеют общую высоту, проведенную из вершины C, значит,
, S
=
.
3) S
=
, BH =
.
Ответ:1,5.
Для самостоятельного решения можно взять задачи 3-8 из таблицы.
Занятия 7-8. Тема: Решение задач, связанных с нахождением площадей.
Многие планиметрические задачи заканчиваются словами «найти площадь…». Примерно половина из них может быть решена посредством нахождения отрезков и углов, необходимых для вычисления площади данной фигуры; часто в таких задачах бывает удобным и метод поиска площадей фигур путем сравнения с известными площадями.
Рассмотрим ряд таких задач и возможность использования в них известных нам теорем.
Задача 1. На сторонах AC и BC треугольника ABC отмечены точки N и K так, что AN:NC=m:n, AK
BN=Q, BQ:QN=p:q. Найти отношение площадей треугольников AKC и ABK.
Решение:
AKC и
ABK имеют одинаковую высоту,
проведенную из вершины A, поэтому
(рис.18).
По теореме Менелая для
BCN и секущей AK имеем
;
. Отсюда
. Ответ:
Задача 2. Через вершину B
проведена прямая, параллельная биссектрисе
С и пересекающая продолжение стороны АС в точке D. Пусть Е – середина отрезка ВD. Определить, в каком отношении прямая АЕ делит площадь
, если известно, что АС=5, ВС=10.
Решение: 1) СК – биссектриса
.
2)
~
по двум углам ,
.
Рассмотрим
и секущую АЕ; A
CD, F
BC, E
BD, A,F,E
AE.
По теореме Менелая
,
,
.
Ответ: 1:3.
Задача 3. Медиана BD и биссектриса AE треугольника ABC пересекаются в точке F. Найти площадь треугольника ABC , если AF=3FE, BD=4, AE=6.
Решение: пусть FE=k, тогда AF=3k. AE=AF+FE= 3k+k=4k, 4k=6, k=
. AF=
FE=
.
Рассмотрим
и секущую BD; B
EC, F
AE, D
AC. По теореме Менелая
.
Рассмотрим
�� EMBED Equation.3 и секущую АЕ; А
DC, F
BD, E
BC, A,F,E
AE.
По теореме Менелая
.
В
AF – биссектриса и медиана
- равнобедренный и
;
;
.
Ответ: 18
Задача 4. В равнобедренном треугольнике
ABC (AС=BC) проведены медиана BN и высота АМ, которые пересекаются в точке D. AD=5, DM=2. Найти
.
Решение: AN=NC, AM=5+2=7. Рассмотрим
AMC и секущую NB (рис. 37)
N
AC, B
CM, D
AM. По теореме Менелая
;
;
.
Пусть коэффициент пропорциональности равен k, тогда СМ=3k, BM=2k.
Из
ACM - прямоугольного:
,
;
;
,
,
Тогда
,
Ответ:
.
Задача 5. В
ABC на сторонах AB и BC взяты точки K и L так, что
и
,
,
. Найти
.
Решение: пусть
.
1)
AOK и
AOC имеют равные высоты,
;
2)
CAK и
CBK имеют равные высоты,
;
3)
; 4)
;
5) Рассмотрим
KBC и секущую AL; A
KB, O
KC, L
BC.
По теореме Менелая
.
,
,
x=6 :
- верно.
, D<0 – других действительных корней нет.
. Ответ: 21.
Задача 6.На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки M и N соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке L. Площади треугольников AML , CNL и ALC равны соответственно 15, 48 и 40. Найти площадь треугольника ABC.
Решение:
ALC и
LCN , а также
AML и
ALC имеют общие высоты, опущенные соответственно на стороны AN и MC. Отсюда следует, что площади этих треугольников относятся как соответствующие основания.
Рассмотрим
BMC и секущую AN.
По теореме Менелая
(1)
Рассмотрим
ABN и секущую MC.
По теореме Менелая
(2)
Вычитая из (2) соотношение (1) , получим
Так как
то
откуда 3AM=MB, а значит, AM=
MB=
Отсюда следует, что S
составляет
часть площади треугольника ABC (они имеют общую высоту, проведенную из вершины С).
Тогда
S
= 4
S
=(15+40)
.
Ответ: 220
Задача 7 . На стороне AB треугольника ABC взята точка E, а на стороне BC- точка D так, что DC=1, AE=2. Прямые AD и CE пересекаются в точке O. Найти площадь четырехугольника BDOE, если AB=BC=8, AC=6.
Решение: Площадь треугольника ABC найдем по формуле Герона:
p = (8+8+6):2=11, S=
=
Треугольники BAD и DAC имеют общую высоту, поэтому их площади относятся как длины оснований, то есть
, так как S=S
+S
.
Аналогично,
.
Рассмотрим треугольник BEC и секущую AD. По теореме Менелая
,
, S
=
S
=S
Ответ:
Дополнительные задачи.
1. Отрезок АВ делится точкой D отношении 3:2, а отрезок ВС – точкой Е в отношении 1:3. Отрезки АЕ и CD пересекаются в точке F. Чему равно отношение площадей треугольников ADF и CFE?
2. Площадь треугольника АВС равна 28, точка D лежит на стороне АВ втрое ближе к А, чем к В, а точка Е на стороне ВС втрое ближе к С, чем к В. Прямые CD и АЕ пересекаются в точке F. Чему равны площади треугольника ADF и четырехугольника DBEF?
3. На стороне АВ треугольника АВС взята точка D, а на стороне АС – точка Е так, что АЕ=BD=2. Прямые CD и BE пересекаются в точке О. Найти площадь треугольника ВОС, если АВ=ВС=5, АС=6.
4.На сторонеВС треугольника АВС взята точка D, а на стороне АС – точка Е так, что BD=2, а АЕ=3. Прямые AD и ВЕ пересекаются в точке О. Найти площадь четырехугольника CDOE, если АС=ВС=9, АВ=8.
5.На стороне АС треугольника АВС взята точка D, а на стороне ВС – точка F так, что AD=3, a BF=1. Прямые BD и AF пересекаются в точке О. Найти площадь треугольника АОВ, если АВ=АС=5, ВС=6.
6.На сторонах KL и LM треугольника KLM взяты точки А и В соответственно. Отрезки АМ и ВK пересекаются в точке С. Площади треугольников АСK, BCM и CKM равны соответственно 2, 12 и 8. Найти площадь треугольника LAC.
7.На сторонах FG и GH треугольника FGH взяты точки K и L соответственно. Отрезки KH и FL пересекаются в точке М. Площади треугольников KMF, HML и FMH равны соответственно 2, 4 и 4. Найти площадь треугольника GKL.
8. На сторонахRT и TS треугольника RTS взяты точки А и В соответственно. Отрезки AS и BR пересекаются в точке С. Площади треугольников ACR, BCS и RCS равны соответственно 5, 8 и 10. Найти площадь четырехугольника TACB.
Занятия 9-10. Тема: Комбинированные задачи.
Эти занятия посвящены более сложным задачам, которые встречаются на олимпиадах разных уровней. Так как большая часть олимпиадных задач затрагивает небольшое число разделов математики, то школьникам, стремящимся к успеху, полезно знать темы этих разделов и видеть, что многие новые задачи часто не более чем малоузнаваемые вариации прежних.
Задача 1. На стороне NP квадрата MNPQ взята точка A, а на стороне PQ – точка B так, что NA:AP = PB:BQ = 2:3. Точка L является точкой пересечения отрезков MA и NB. В каком отношении точка L делит отрезок MA?
Решение: проведем прямую AB, пусть она пересекает прямую MQ в точке F и пусть прямая NB пересекает прямую MQ в точке D (рис.41).
APB ~
FQB, тогда
, откуда QF=
.
NPB ~
DQB, тогда
, откуда QD =
.
FD = QD – QF=
.
Из треугольника APB (прямоугольного) по теореме Пифагора AB =
k.
Из треугольника QBF (прямоугольного) по теореме Пифагора BF =
�� EMBED Equation.3 . Из треугольника AFM по теореме Менелая
,
,
,
.
Ответ: 25: 4.
Задача 2. Дан параллелограмм ABCD. Точка M делит отрезок AD в отношении p , а точка N делит отрезок DC в отношении q. Прямые BM и AN пересекаются в точке S. Вычислите отношение AS:SN.
Решение:
�� EMBED Equation.3 если MD=b, то AM=pb;
если NC = a, то DN = aq.
Пусть B
- точка пересечения прямых BM и CD.
MB
D ~
BB
C, тогда
�� EMBED Equation.3 ;
;
1+p =
; x =
.
Прямая BB
пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника AND. По теореме Менелая
,
, откуда
.
Ответ:
.
Задача 3. На сторонах AС и BC
взяты точки М и L так, что AM:MC=4:1, CL:LB=3:1. Отрезки AL и BM пересекаются в точке Q.
.
1) Найти
; 2) На АВ взяли точку N так, что CN – медиана ;
,
. Найти
.
Решение:
1) а) Рассмотрим
, BM – секущая (рис.43),
по теореме Менелая
,
б)
и
имеют равные высоты
. Так как
,
в)
и
имеют равные высоты
�� EMBED Equation.DSMT4
2) CN-медиана
AN=NB. Найдем
(рис. 44).
а)
,
;
б)
( имеют равные высоты),
;
.
в) Рассмотрим
ABM и секущую NC.
По теореме Менелая
,
,
,
,
.
Ответ: 11
кв.ед.
Задача 4. На стороне AB
ABC взята точка D, а на стороне AC – точка Е так, что длина AE=BD=2. Прямые
. Найти
, если AB=BC=5, AC=6.
Решение: 1)
,
,
2) Рассмотрим
ABE, DC – секущая; D
AB, O
BE, C
AE(рис.45).
По теореме Менелая
,
;
.
Значит, CO – медиана
BCE,
.
Из
ABC по теореме косинусов
,
;
.
Ответ: 4.
Примечание 9: если на момент решения задачи теорема косинусов учащимся еще не известна, задачу 4 следует отложить до изучения теоремы.
Задача 5. На сторонахАВ, ВС и САтреугольника АВС отмечены точки
и
соответственно так, что отрезки
и
пересекаются в одной точке Q, расположенной внутри треугольника АВС. Пусть Р – точка пересечения отрезков
и
. Доказать, что
.
Доказательство. Эта задача может быть решена многими способами, мы разберем решение, использующее теоремы Менелая и Чевы, чрезвычайно полезные для решения задач такого типа.
Если
, то утверждение задачи может быть доказано достаточно легко. Рассмотрим случай, когда прямые
и
пересекаются в точке
М ( рис.46). По теореме Менелая для треугольников
и
имеем:
,
, откуда
,
.
Складывая эти равенства, получаем
(1)
По теореме Менелая для треугольников
и
имеем:
,
Учитывая, что
,
, и складывая уравнения, получаем:
. Из теоремы Чевы для треугольника АВС следует, что
.
Поэтому
(2)
Сравнивая (1) и (2) , получаем требуемое.
Задача 6. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC через точку A проведена прямая, которая пересекает диагональ BD в точке E и боковую сторону CD в точке K, причем BE:ED=1:2, CK:KD=1:4. Найдите отношение длин оснований трапеции.
Решение. Пусть BC=a, AD=b. Необходимо найти
. Пусть BC
AK=Q (рис.47).
1) По теореме Менелая для
BCD и секущей AQ имеем
CQ=a , BC=CQ=a.
2)
CKQ ~
DKA по двум углам, тогда
Так как а = BC, b=AD, то
Ответ:
Дополнительные задачи.
1. Высота трапеции ABCD равна 7, а длины оснований AD и BC равны соответственно 8 и 6. Через точку E, лежащую на стороне CD, проведена прямая BE, которая делит диагональ AC в точке O в отношении AO:OC=3:2. Найдите площадь треугольника OEC.
2. Через середину M стороны BC параллелограмма ABCD, площадь которого 1, и вершину A проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке Q. Найдите площадь четырехугольника QMCD.
3. В треугольнике ABC точки K и L принадлежат соответственно сторонам AB и BC. AK:BK=1:2, CL:BL=2:1. Q- точка пересечения отрезков AL и CK. S
=1.
Найдите площадь треугольника ABC.
2.2. Изучение темы «Теорема Менелая и теорема Чевы» в курсе геометрии 10 класса.
Профилирование старшей школы предусматривает два курса математики - базовый и профильный. Как уже отмечалось выше, тема « Теорема Менелая и теорема Чевы» изучается лишь в классах физико-математического и естественнонаучного профиля. Причем данный материал «подлежит изучению, но не включается в Требования к уровню подготовки выпускников»[16, с.12], то есть элементы содержания являются обязательными для обучения, однако даются в ознакомительном порядке и не выносятся на итоговый контроль. На изучение темы отводится 2 часа. Распределить материал можно таким образом:
Урок 1.Теорема Менелая и теорема Чевы.
Урок 2. Применение теорем Менелая и Чевы в решении ключевых задач.
Урок 1 по изучению теорем Менелая и Чевы проводится в форме лекции. Основными целями такого урока являются ознакомление учащихся с теоремами и их некоторыми приложениями, повышение познавательного интереса учащихся, выработка у них потребности обобщения изучаемых фактов.
Оборудование: 1. Листы с задачами по теме.
2.Проекционный экран компьютера и слайды, заготовленные на
дискете и проецируемые на экран во время урока.
Ход урока.
Организационный момент - проверить готовность учащихся к уроку.
На проекционном экране (слайд 1) высвечена тема : «Теорема Менелая и теорема Чевы» и эпиграф: «Умение решать задачи - такое же практическое искусство, как умение плавать или бегать. Ему можно научиться только путем подражания или упражнения». (Д.Пойа)
I.Мотивационно - ориентировочная часть.
1. Актуализация знаний.
-В курсе геометрии мы рассматривали важные свойства геометрических фигур на плоскости, в том числе треугольников. Но не все удивительные факты и соотношения вошли в основной курс. А они значительно облегчают решение многих задач. Сегодня мы рассмотрим две теоремы, связанные с отношениями отрезков в треугольнике, и их применение. Но для этого нам потребуются следующие знания:
определение подобных треугольников; признаки подобия; свойства подобных треугольников и их площадей.
Далее идет повторение материала и устная работа со слайдами.
Слайд 2:
;
1) Найти
2) S
=2; S
-?
Решение. 1) Так как
,
и
имеют одну высоту, проведенную из вершины В, то
=
=3;
2)
.
Слайд 3:
Найти
Решение:
общий
2.Мотивация. Постановка учебной задачи.
Ученикам в качестве домашней работы предлагалось решить задачу:
В треугольнике ABC на стороне AC взята точка N так, что AN:NC=m:n, на стороне BC- точка K . BN пересекает AK в точке Q, BQ : QN= p:q. Найти отношение площадей треугольников AKC и ABK.
Идет обсуждение решения задачи. На экране появляется слайд 4.
1) AN:NC=m:n, BQ:QN= p:q,
( т.к. высоты равны)
2) Дополнительное построение: ND||BC.
3)
~
по двум углам
;
4)
MQN~
KQB по двум углам
;
,
Ответ:
�� EMBED Equation.DSMT4
- Эту же задачу можно решить и без дополнительного построения. Быстрый ответ можно получить с помощью теоремы Менелая.
II. Содержательная часть.
Далее идет объяснение нового материала под запись учащихся (см. главу 1). После рассмотрения теоремы возвращаемся к домашней задаче ( слайд 4).
Рассмотрим
BCN и секущую AK, K
Тогда по теореме Менелая
;
;
Ученикам разъясняется, как правильно выбрать треугольник, как делать его «обход».
Рассматривается еще одна задача.
Слайд 6.
AM=
;
В каком отношении отрезок BM делит отрезок AK?
Решение: пусть
. Рассмотрим
AKC и секущую BM.
По теореме Менелая
Ответ: 2.
Рассмотрим еще одну теорему, связанную с пропорциональными отрезками в треугольнике – теорему Чевы.
Далее дается формулировка и доказательство теоремы для случая внутренней точки (см. главу 1) . Решается задача со слайда 7.
Найти
.
Решение: по теореме Чевы для
ABC имеем
Ответ:
=3:2.
III. Рефлексивно – оценочная часть.
Подводятся итоги урока, повторяются утверждения теорем, в листе с задачами по теме отмечаются задачи для домашней работы.
1. В треугольнике ABC на сторонах AB и BC взяты точки K и M; CK
AM=O. Обозначим AK: KB= k, BM: MC= m, CO: OK= p, AO:OM= l. Пусть из четырех чисел k,m,p и l известны два. Найти два оставшихся числа, если
-осуществлять поиск решения комплексных задач синтетическим методом;
-использовать теоремы в задачах на доказательство;
-развивать самостоятельность.
Ход урока.
I. Мотивационно – ориентировочная часть.
1. Актуализация знаний.
В начале урока повторяются формулировки изученных теорем. В качестве устного упражнения можно предложить выполнить следующее задание:
На следующих рисунках указать треугольник, секущую и точки ее пересечения с каждой стороной треугольника или продолжением:
Далее класс делится на 4 группы, решается задача 1.
В
ABC на сторонах AB, BC,AC взяты точки C
, A
,B
соответственно. Отрезки BB
,AA
, CC
пересекаются в точке O. CB
: B
A=p, CA
: A
B=q.
Найти :
.
Каждая группа находит одно из указанных отношений, далее идет проверка результатов.
Учитель выборочно оценивает работы учеников.
2. Мотивация. Постановка учебной задачи.
Мы рассмотрели задачи на прямое применение теорем Менелая и Чевы.
На этом уроке мы научимся применять эти утверждения к задачам, в которых первоначально не указано отношение отрезков и рассмотрим утверждения, обратные теоремам Менелая и Чевы.
II. Содержательная часть.
Рассмотрим следующие задачи.
Задача2.В каком отношении делитсторону BC треугольника ABC прямая, проходящая через точку A и середину медианы, выходящей из B?
Задача 3.
Дано:
ABC; AE - биссектриса,
BD - медиана ; AB=2, AC=3;
Найти BF: FD
Ввиду того, что задачи эти были решены выше, здесь их решение опускаем.
Далее ставится вопрос о справедливости обратных утверждений. Записываются формулировки теорем, обратных теоремам Менелая и Чевы. Используя их, предложить доказать известное утверждение: Медианы треугольника пересекаются в одной точке,которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
III. Рефлексивно – оценочная часть.
1. Подведение итогов.
Итогом может служить небольшая проверочная работа, организовать которую поможет таблица (с.24). Два отношения в каждой задаче учитель задает учащимся, остальные они находят самостоятельно.
2. Домашнее задание.
1) Используя теоремы Чевы и Менелая, доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
2) Доказать, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.
3)Стороны треугольника 5, 6 и 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.
Примечание : в зависимости от уровня подготовленности класса и при наличии времени учитель может провести урок-практикум решения задач, включив комбинированные задачи (см.п.2.1), которые будут также полезны учащимся, так как они способствуют обобщению методов, приемов решения задач темы.
Также в 10 классе при изучении темы «Задачи на построение сечений» в параграфе «Тетраэдр и параллелепипед» можно использовать задачи типа
В тетраэдре ABCD на ребрах AB, BD, DC взяты точки K,M,P соответственно так, что
Через точки K,M и P проходит плоскость, пересекающая прямые AD,BC и CA в точках E,F и G. Найти
Какие из точек E, F и G расположены на ребрах тетраэдра?
2.3 Применение теорем Менелая и Чевы в решении стереометрических задач.
Стереометрия – это геометрия в пространстве. В основном задачи по стереометрии сводятся к геометрическим задачам на плоскости, поскольку обычно требуемые элементы можно найти, сведя исходную задачу к нескольким планиметрическим.
Задачи эти довольно-таки трудны, здесь главное опыт. А знание теоремы Менелая – это просто находка для решения стереометрических задач.
Она может оказаться очень полезной при изучении темы «Объемы тел» в курсе геометрии 11 класса.
Ниже приведем несколько задач, предлагавшихся на вступительных экзаменах в вузы.
Владение методами их решения дает большое преимущество перед школьниками, которые не умеют решать такого рода задачи.
Задача 1. На продолжении ребра АС правильной треугольной пирамиды ABCD с вершиной D взята точка K так, что КА:КС=3:4, а на ребре DC взята точка L так, что DL:LC=2:1. В каком отношении делит объем пирамиды плоскость, проходящая через точки B, L и К?
Дано:DABC – правильная пирамида,
,
,
,
, BLK –
плоскость,
- объем верхней части пирамиды,
- объем нижней части пирамиды.
Пусть BH – высота пирамиды DABC, проведеннаяиз вершины В, но она – высота и BMDL.
; V=
, V
=
;
;
,
- ?
3) Из
ADC:
,
,
,
.
По теореме Менелая
,
.
,
,
.
(или: во всем объеме пирамиды 33 части, в верхней – 16, значит, 33-16=17 – частей
составляет
. Тогда
) Ответ:
.
Задача 2. Дана правильная четырехугольная пирамида
с вершиной
. На продолжении ребра
взята точка
так, что
. Через точки М, В и середину ребра
проведена плоскость. В каком отношении она делит объем пирамиды?
Решение:
1) Построим сечение плоскостью
.
(по условию).
а)
, соединяем
BL;
б)
, соединяем
LM;
в)
, соединяем
BM ,
;
, соединяем
г) четырехугольник BLEK – искомое сечение.
2) Обозначим объемы нижней части пирамиды, верхней части и всей пирамиды
,
и
соответственно, сторону основания –
.
(
MBC - прямоугольный)
;
MKD~
MBC по двум углам
;
3)
�� EMBED Equation.3 ~
�� EMBED Equation.3 по двум углам
.
4) Рассмотрим
MLC и секущую
.
.
По теореме Менелая
;
Значит
;
.
5)
.
6)
SCH~
по двум углам
.
Пусть
, тогда
,
.
.
7)
, т.е. V содержит 60 частей,
на
приходится 31 часть.
Ответ: 29:31
Задача 3.Дана правильная треугольная призма с боковыми ребрами
,
и
. Причем на продолжении ребра
взята точка
так, что
. Через точки
,
и середину ребра
проведена плоскость. В каком отношении она делит объем призмы?
Решение:
1) Построение сечения:
а)
, соединяем
MB
,
.
б)
, соединяем
,
.
в)
, соединяем
.
г) четырехугольник
- искомое сечение.
2) Пусть
,
,
- объемы нижней части, верхней части и всей призмы,
- высота призмы,
- сторона основания.
;
MLA~
;
Рассмотрим
ABC,
- секущая,
.
По теореме Менелая
.
,
,
;
,
,
,
.
,
- части приходится на
.
.
Ответ: 13:23
Задачи для самостоятельного решения:
1. Дана правильная четырехугольная пирамида
с вершиной
. На продолжении ребра
взята точка
так, что
. Через точку
и середины ребер
и
проведена плоскость. В каком отношении она делит объем пирамиды?
2. Высота правильной призмы
равна стороне ее основания. Точки
и
- середины ребер
и
соответственно. Найти площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки
,
и
, если сторона основания равна
.
3. В тетраэдре ZABC проведено сечение плоскостью. Точки M,N,P,Q принадлежат плоскости и ребрам ZA,AB,BC,CZ соответственно, причем ZM=
MA, AN=
NB, BP=
PC, CQ=
QZ. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?
4. Объем тетраэдра ZABC равен 7. Через середины ребер ZA и CB проведена плоскость, пересекающая ребро ZC в точке Q, а ребро AB – в точке L. При этом
ZQ:QC=2:5, AL:LB=2:5. Найдите площадь сечения тетраэдра указанной плоскостью, если расстояние до нее от вершины A равно 1.
Использовать приведенные задачи можно и на уроках заключительного повторения в 11 классе, причем здесь необходима целенаправленная работа по систематизации и углублению знаний учащихся. В работе можно использовать задания, приведенные в п.2.1, в приложении 2. Особое внимание нужно уделить планиметрическим задачам, так как они составляют основную массу задач вступительных экзаменов в вузы. Наличие заданий различной трудности позволит вести дифференцированную работу с учащимися.
Заключение
Крылатую фразу Козьмы Пруткова «Никто не обнимет необъятного» в полной мере можно отнести и к геометрии треугольника. В самом деле, треугольник, как кладезь прекрасных и поразительных геометрических конструкций, поистине неисчерпаем. Их пестрота и изобилие, с трудом поддающиеся какой – либо систематизации, не могут не восхищать[10, с.3].
Многие удивительные соотношения и изящные геометрические факты вошли
в основной курс планиметрии, некоторые замечательные теоремы включены в программу профильных классов.
Данная работа посвящена двум таким теоремам – теореме Менелая и теореме Чевы, которые позволяют решать многие, казалось бы, сложные математические задачи просто, красиво и понятно. Кроме того, здесь поднимается огромный пласт основных фактов и понятий школьного курса планиметрии: подобие треугольников; свойства и признаки параллельных прямых; метрические соотношения в треугольнике; окружность, описанная около треугольника и вписанная в него. Предложенный материал дает учащимся возможность познакомиться с интересными, нестандартными вопросами геометрии, с еще одним методом решения геометрических задач.
Рассматриваемые в работе вопросы выходят за рамки обязательного содержания. Вместе с тем, они тесно примыкают к основному курсу. Поэтому их изучение способствует совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, предусмотренных школьной программой, помогает оценить свои возможности по математике и более осознанно выбрать профиль дальнейшего обучения (9 класс), подготовиться к вступительным экзаменам (11 класс).
Предлагаемые в работе задачи интересны и часто не просты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию школьников. Эти задачи рассчитаны в первую очередь на учащихся, интересующихся математикой, желающих иметь хорошие навыки в решении геометрических задач. Вместе с тем, их содержание позволяет ученику любого уровня активно включиться в учебно - познавательный процесс и максимально проявить себя: занятия могут проводиться на высоком уровне сложности, но включать вопросы, доступные и интересные всем учащимся.
Думается, что представленный в работе материал будет полезен коллегам и может стать основой соответствующего теме элективного курса по выбору в системе предпрофильной подготовки по математике.
ABC и отметим на его сторонах BC, AC и AB (или их продолжениях) соответственно точки A
Тогда 
3) Докажем равенство (
AA
Пусть на сторонах AB,BC и на продолжении стороны AC (либо на продолжениях сторон AB,BC и AC)
Примечание 4: необходимость может быть доказана и другим способом; приведем и его, чтобы показать еще одну возможность получить подобные треугольники. 
Перемножая эти три равенства, получим 
В треугольнике ABC точка D делит сторону BC в отношении BD:DC= 1: 3, а точка O делит AD в отношении AO:OD=5:2. В каком отношении прямая BO делит отрезок AC?
Решение:
Задача 3. В каком отношении делит сторону BC треугольника ABC прямая, проходящая через точку A и середину медианы, выходящей из B?
По теореме Менелая
На сторонах треугольника ABC взяты соответственно точки C
Следствие1.Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. 
Доказательство. Справедливость этого утверждения можно доказать, используя свойство биссектрисы:
Перемножая эти равенства, получим условие (
Так как условие Чевы выполняется, то AA
3) Если 
Следствие 5. Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон, пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Жергонна (рис.26). 
1. Используя теорему Чевы, доказать, что в произвольном треугольнике прямые, проходящие через вершины и делящие периметр треугольника пополам, пересекаются в одной точке.[4, с.94]
2. На стороне AC треугольника ABC взяты точки P и E , на стороне BC – точки M и K, причем AP: PE: EC= CK: KM: MB. Отрезки AM и BP пересекаются в точке O, отрезки AK и BE – в точке T. Докажите, что точки O, T и С лежат на одной прямой.[4, с.94]
Отнош.
Две задачи из таблицы можно разобрать на занятии, остальные дать домой (используя таблицу, можно составить несколько вариантов заданий). 
Задача 1. .В треугольнике ABC, описанном около окружности, AB = 8, BC = 5, AC = 4. Точки A
Решение: пусть в треугольнике ABC AB = 5, BC = 7, AC = 6. Угол BAC лежит против большей стороны в треугольнике ABC, значит, угол BAC – больший угол треугольника. Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис. Пусть O -точка пересечения биссектрис. Необходимо найти AO:OD. Так как AD – биссектриса треугольника ABC, то 
Задача 3. В треугольнике ABC, описанном около окружности, AB =13, BC = 12, AC = 9, A
Задача 4. В треугольнике ABC, площадь которого равна 6, на стороне AB взята точка K, делящая эту сторону в отношении AK:BK = 2:3, а на стороне AC – точка L, делящая AC в отношении AL: LC = 5:3. Точка Q пересечения прямых CK и BL удалена от прямой AB на расстояние
Задача 1. На сторонах AC и BC треугольника ABC отмечены точки N и K так, что AN:NC=m:n, AK
Задача 2. Через вершину B
Найти площадь треугольника ABC , если AF=3FE, BD=4, AE=6.
Задача 4. В равнобедренном треугольнике
Задача 5. В
Задача 6. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки M и N соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке L. Площади треугольников AML , CNL и ALC равны соответственно 15, 48 и 40. Найти площадь треугольника ABC.
Решение: Площадь треугольника ABC найдем по формуле Герона:
Эти занятия посвящены более сложным задачам, которые встречаются на олимпиадах разных уровней. Так как большая часть олимпиадных задач затрагивает небольшое число разделов математики, то школьникам, стремящимся к успеху, полезно знать темы этих разделов и видеть, что многие новые задачи часто не более чем малоузнаваемые вариации прежних.
Решение: 
1) Найти
2) CN-медиана
Ответ: 11
Если 
Задача 6. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC через точку A проведена прямая, которая пересекает диагональ BD в точке E и боковую сторону CD в точке K, причем BE:ED=1:2, CK:KD=1:4. Найдите отношение длин оснований трапеции.
В каком отношении отрезок BM делит отрезок AK?
Далее класс делится на 4 группы, решается задача 1.
II. Содержательная часть.
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.