Презентация на тему "Теорема Менелая и теорема Чевы" 11 класс

Презентация: Теорема Менелая и теорема Чевы
Включить эффекты
1 из 20
Ваша оценка презентации
Оцените презентацию по шкале от 1 до 5 баллов
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
4.0
9 оценок

Комментарии

Нет комментариев для данной презентации

Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.


Добавить свой комментарий

Аннотация к презентации

Скачать презентацию (0.3 Мб). Тема: "Теорема Менелая и теорема Чевы". Предмет: математика. 20 слайдов. Для учеников 11 класса. Добавлена в 2016 году. Средняя оценка: 4.0 балла из 5.

Содержание

  • Презентация: Теорема Менелая и теорема Чевы
    Слайд 1

    Теорема Менелая и теорема Чевы в школьном курсе математики

    «Все незначительное нужно, Чтобы значительному быть…» И. Северянин Работа учителя математики Колиной Н.К.,МБОУ сош№17,г.Заволжье Нижегородской области

  • Слайд 2

    Содержание

    Теоретические основы Теорема Чевы Теорема Менелая Методические рекомендации Методика обучения решению задач в период предпрофильной подготовки Изучение темы «Теорема Менелая и теорема Чевы» в курсе геометрии 10 класса Применение теорем Менелая и Чевы в решении стереометрических задач

  • Слайд 3

    Теорема Чевы

    Пусть в ∆ABC на сторонах BC,AC,AB или их продолжениях взяты соответственно точки A1, B1 и C1,не совпадающие с вершинами треугольника. Прямые A A1, BB1и CC1пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда выполняется равенство

  • Слайд 4

    Теорема Менелая

    Пусть на сторонах AB, BC и на продолжении стороны AC (либо на продолжениях сторон AB,BC и AC) ∆ABC взяты соответственно точки C1,A1 и B1, не совпадающие с вершинами ∆ABC . Точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство

  • Слайд 5

    Методика обучения решению задач в период предпрофильной подготовки

    1. Теорема Менелая и пропорциональные отрезки в треугольнике. 2. Теорема Чевы и ее следствия. Применение теорем Чевы и Менелая к задачам на доказательство. 3. Решение задач на пропорциональное деление отрезков в треугольнике. 4. Решение задач, связанных с нахождением площадей. 5. Комбинированные задачи.

  • Слайд 6

    Теорема Менелая и пропорциональные отрезки в треугольнике

    Задача 1.В треугольнике ABC точка D делит сторону BC в отношении BD:DC= 1: 3, а точка O делит AD в отношении AO:OD=5:2. В каком отношении прямая BO делит отрезок AC? Задача 2.В∆ABC на стороне AC взята точка M, а на стороне BC – точка K так, что AM: MC= 2:3, BK: KC= 4:3. В каком отношении AK делит отрезок BM? Задача 3. В ∆ABCAA1 - биссектриса, BB1- медиана; AB=2, AC=3; Найти BO: OB1

  • Слайд 7

    Теорема Чевы и ее следствия.

    Следствие1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Следствие 2.Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Следствие3. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

  • Слайд 8

    Следствие4. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Следствие 5. Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон, пересекаются в одной точке.

  • Слайд 9

    Применение теорем Чевы и Менелая к задачам на доказательство

    Задача 1. Используя теорему Чевы, доказать, что в произвольном треугольнике прямые, проходящие через вершины и делящие периметр треугольника пополам, пересекаются в одной точке. Задача 2. На стороне AC треугольника ABC взяты точки P и E , на стороне BC – точки M и K, причем AP: PE: EC= CK: KM: MB. Отрезки AM и BP пересекаются в точке O, отрезки AK и BE – в точке T. Докажите, что точки O, T и С лежат на одной прямой.

  • Слайд 10

    Задачи на пропорциональное деление отрезков в треугольнике.

    Задача 1. В треугольнике ABC, описанном около окружности, AB = 8, BC = 5, AC = 4. Точки A1,В1 и C1 - точки касания, принадлежащие соответственно сторонам BC,AC и BA. Точка P - точка пересечения отрезков AA1 и CC1. Найдите AP:PA1. Задача 2. Стороны треугольника 5, 6 и 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.

  • Слайд 11

    Задача 3. В треугольнике ABC, площадь которого равна 6, на стороне AB взята точка K, делящая эту сторону в отношении AK:BK = 2:3, а на стороне AC – точка L, делящая AC в отношении AL: LC = 5:3. Точка Q пересечения прямых CK и BL удалена от прямой AB на расстояние 1,5. Найдите длину стороны AB. Задача 4. На стороне AC в треугольнике ABC взята точка K. AK=1, KC = 3. На стороне AB взята точка L. AL:LB=2:3. Q – точка пересечения прямых BK и CL. S = 1. Найдите длину высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B.

  • Слайд 12

    Задачи, связанные с нахождениемплощадей

    Задача 1. Медиана BD и биссектриса AE треугольника ABC пересекаются в точке F. Найти площадь треугольника ABC , если AF=3FE, BD=4, AE=6. Задача 2. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки M и N соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке L. Площади треугольников AML , CNL и ALC равны соответственно 15, 48 и 40. Найти площадь треугольника ABC.

  • Слайд 13

    Комбинированные задачи.

    Задача 1. На стороне NP квадрата MNPQ взята точка A, а на стороне PQ – точка B так, что NA:AP = PB:BQ = 2:3. Точка L является точкой пересечения отрезков MA и NB. В каком отношении точка L делит отрезок MA? Задача 2. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC через точку A проведена прямая, которая пересекает диагональ BD в точке E и боковую сторону CD в точке K, причем BE:ED=1:2, CK:KD=1:4. Найдите отношение длин оснований трапеции.

  • Слайд 14

    Изучение темы «Теорема Менелая и теорема Чевы» в курсе геометрии 10 класса

    Урок 1. Теорема Менелая и теорема Чевы. Задача.В треугольнике ABC на стороне AC взята точка N так, что AN:NC=m:n, на стороне BC- точка K. BN пересекает AK в точке Q, BQ : QN= p:q. Найти отношение площадей треугольников AKC и ABK. ( т.к. высоты равны) I способ.Дополнительное построение: ND // BC.

  • Слайд 15

    II способ.Рассмотрим треугольник BCN и секущую AK. По теореме Менелая

  • Слайд 16

    Урок 2. Применение теорем Менелая и Чевы в решении ключевых задач

    Изучение темы «Теорема Менелая и теорема Чевы» в курсе геометрии 10 класса Цели урока:1)формировать умения: -видеть конфигурации, удовлетворяющие заданным условиям; -решать задачи нестандартными способами; -использовать теоремы в задачах на доказательство; 2) развивать самостоятельность.

  • Слайд 17

    Задача.В равнобедренном треугольнике ABC (AС=BC) проведены медиана BN и высота АМ, которые пересекаются в точке D. AD=5, DM=2. Найти

    Решение: AN=NC, AM=5+2=7. Рассмотрим ∆AMC и секущую NB. По теореме Менелая Пусть коэффициент пропорциональности равен k, тогда СМ=3k, BM=2k. Из ∆ACM- прямоугольного: ; , , Ответ:

  • Слайд 18

    Применение теорем Менелая и Чевы в решении стереометрических задач.

    Задача 1.На продолжении ребра АС правильной треугольной пирамиды ABCD с вершиной D взята точка K так, что КА:КС=3:4, а на ребре DC взята точка L так, что DL:LC=2:1. В каком отношении делит объем пирамиды плоскость, проходящая через точки B, L и К? Задача 2. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с вершиной S. На продолжении ребра CD взята точка M так, что DM=2CD . Через точки М, В и середину ребра SC проведена плоскость. В каком отношении она делит объем пирамиды?

  • Слайд 19

    Задача 3. Дана правильная треугольная призма с боковыми ребрами AA1,BB1 и CC1. Причем на продолжении ребра BA взята точка M так, что MA=AB. Через точки M,B1 и середину ребра AC проведена плоскость. В каком отношении она делит объем призмы?

  • Слайд 20

    «Умение решать задачи- такое же практическое искусство, какумение плавать или бегать. Емуможно научиться только путем подражания или упражнения»Д.Пойа

Посмотреть все слайды

Конспект

Государственное образовательное учреждение дополнительного

профессионального образования

Нижегородский институт развития образования

Кафедра теории и методики обучения математике

Теорема Менелая и теорема Чевы

в школьном курсе математики

Выполнила:

Колина Наталья

Константиновна

МБОУ СОШ №17

г. Заволжья

Городецкого района

Н.Новгород

Содержание

стр

Введение…………………………………………………………………………… 3

Глава 1. Теоретические основы темы «Теорема Менелая и

теорема Чевы»

1.1. Теорема Чевы…………………………………………………………………… 6

1.2. Теорема Чевы в форме синусов……………………………………………......10

1.3. Теорема Менелая……………………………………………………………......10

Глава 2. Методические рекомендации к изучению темы

в школьном курсе математики

2.1. Методика обучения решению задач в период

предпрофильной подготовки…………………………………………………..14

2.2. Изучение темы «Теорема Менелая и теорема Чевы»

в курсе геометрии 10 класса……………………………………………………36

2.3. Применение теорем Менелая и Чевы в решении

стереометрических задач……………………………………………………….41

Заключение …………………………………………………………………………46

Литература………………………………………………………………………......47

Приложение................................................................................................................49

Введение.

Общеизвестно, что геометрическая линия является одной из центральных линий курса математики. Она предполагает систематическое изучение свойств геометрических фигур на плоскости, формирование пространственных представлений, развитие логического мышления и подготовку аппарата, необходимого для изучения смежных дисциплин и курса стереометрии.

В геометрических задачах, в отличие от задач алгебраических, далеко не всегда удается указать рецепт решения, алгоритм, приводящий к успеху. Здесь, помимо формального знания многочисленных соотношений между элементами геометрических фигур, необходимо иметь интуицию и опыт[21,с.222]. Важно уметь смотреть и видеть, замечать различные особенности фигур, делать выводы из замеченных особенностей, предвидеть возможные дополнительные построения, облегчающие анализ задачи. «Умение решать задачи - такое же практическое искусство, как умение плавать или бегать. Ему можно научиться только путем подражания или упражнения»,- писал Д. Пойа.

Одним из интереснейших разделов элементарной геометрии справедливо считается геометрия треугольника. Треугольники изучаются на протяжении всего курса планиметрии. Их изучение начинается с признаков равенства треугольников, центральное место курса занимают метрические соотношения в треугольниках, рассматривается серия теорем о «замечательных точках» в треугольниках, изучаются подобные треугольники.

Это не случайно. Несмотря на то, что треугольник едва ли не простейшая после отрезка фигура, он имеет много важных и интереснейших свойств, к которым сводятся свойства других, более сложных фигур. Среди теорем о треугольниках есть такие, изучение которых позволяет существенно расширить круг геометрических задач, решаемых школьниками. Значение их состоит прежде всего в том, что из них или с их помощью можно вывести большинство теорем геометрии, они служат основой многих дальнейших выводов. Таковыми являются теорема Пифагора, теорема синусов, теорема косинусов и т.д. С понятием треугольника связаны имена многих выдающихся ученых: теорема Пифагора, формула Герона, прямая Эйлера, теорема Карно и многие другие.

Но в геометрии треугольника много и таких теорем, авторы которых остались в истории науки только «благодаря треугольникам». Речь идет о двух таких теоремах – теореме Чевы и теореме Менелая. Они не входят в школьный курс математики основной школы, включены в программу профильного курса изучения геометрии в 10 классе. При этом обе они имеют интересные и многочисленные приложения, позволяют легко и изящно решать целый класс задач.

С темой «Теорема Менелая и теорема Чевы» учащиеся впервые встречаются в курсе геометрии 10 класса профильного уровня, причем из 17 часов, отведенных на изучение главы «Геометрия на плоскости», ей уделяется всего 2 часа. Понятно, что за такое время можно лишь ознакомиться с теоремами и рассмотреть их применение к простейшим задачам. Для формирования умений различать этот тип задач, решать их нужно время и соответствующая система упражнений. Не удивительно, что учащиеся быстро забывают факты, связанные с этими утверждениями.

Все это наводит на мысль о том, что полезно начинать знакомить учащихся с подобными теоремами и задачами намного раньше - еще в период предпрофильной подготовки, в 8-9 классах - параллельно с соответствующими разделами школьной программы по математике. Очевидно, в рамках уроков это сделать не удастся из-за той же нехватки времени. Здесь смогут помочь элективные курсы, факультативные занятия, математические кружки.

Данная работа написана на основе практических занятий с учащимися выпускных классов: в девятых классах (2004-2006 г.г.) - в рамках факультатива с учениками, проявляющими повышенный интерес к предмету; в 11 классе (2001-2005 г.г.) – в ходе довузовской подготовки, а также в 10 классе (2006 г.) - в соответствии с программой класса естественнонаучного профиля.

Многие из разобранных задач предлагались на подготовительных курсах, вступительных экзаменах в МГУ, МФТИ, ННГУ. Часть задач взята из сборников, указанных в списке литературы. Представленный в работе материал начал изучаться в 2000 году; после выступления на районном семинаре учителей- математиков в 2003 году разработками начали пользоваться и коллеги.

Основные цели работы:

- анализ учебной и методической литературы по изучаемой теме;

- изучение опыта учителей, работающих в этом направлении;

- анализ и обобщение личного опыта, выдача практических рекомендаций, которые могут быть использованы учителями при решении данной проблемы.

В главе I «Теоретические основы темы «Теорема Менелая и теорема Чевы»» рассматриваются теоретические вопросы, причем более углубленно, чем предусмотрено «Программой для классов с углубленным изучением математики». Это позволяет варьировать, дозировать изучение материала в зависимости от степени подготовленности класса.

В главе II «Методические рекомендации к изучению темы «Теоремы Менелая и Чевы» в школьном курсе математики» предложена модель обучения решению задач на пропорциональное деление отрезков. Известно, что их можно решать разными способами: методом подобия, методом площадей, с помощью геометрии масс или векторным методом. В работе же представлен еще один, довольно простой метод решения - с использованием теорем Менелая и Чевы.

Обучение решению геометрических задач с применением теорем Менелая и Чевы предлагается провести в 3 этапа:

1 этап – в период предпрофильной подготовки, в 8-9 классах, познакомить учащихся с теоремами и сформировать умения решать ключевые задачи темы;

2 этап – рассмотреть соответствующие вопросы в школьном курсе геометрии 10 класса профильного уровня;

3 этап – после изучения основ стереометрии показать, как «работают» теоремы в решении стереометрических задач.

Предложенная система упражнений удовлетворяет следующим требованиям:

1) задачи разделены по видам: а) по характеру требования- задачи на доказательство, на вычисление или нахождение; б) по отношению к способу решения - стандартные и нестандартные;

2) среди упражнений достаточное число дидактических, то есть одно-, двухшаговых заданий для реализации этапа осознания, осмысления изучаемого материала, направленных на формирование умений;

3) включены комплексные задачи, то есть задачи, при решении которых используются знания, полученные при изучении не только данной, но и предыдущих тем, а также при изучении других разделов математики;

4) в систему задач входят и задачи, специально направленные на формирование положительных качественных характеристик ума: задачи с нестандартной постановкой вопроса, задачи, допускающие несколько способов решения;

5) задачи рассчитаны на учащихся с различными уровнями подготовленности, что обеспечивает соблюдение принципа посильных трудностей.[7, с.203-204]

Глава 1. Теоретические основы темы «Теорема Менелая и теорема Чевы ».

«Все незначительное нужно,

чтобы значительному быть…»

И. Северянин.

1.1. Теорема Чевы.

Мы знаем, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Поставим теперь общий вопрос. Рассмотрим

image1801.pngABC и отметим на его сторонах BC, AC и AB (или их продолжениях) соответственно точки A
image2.wmf,B
image3.wmfи C
image4.wmf( рис.1).

При каком расположении этих точек прямые AA

image5.wmf, BB
image6.wmf и CC
image7.wmf пересекутся в одной точке?

Ответ на этот вопрос нашел в 1678 году итальянский инженер-гидравлик Джованни Чева (1698г.-1734г.). Чева создал учение о секущих, положившее начало новой синтетической геометрии. Известна его работа «О взаимном расположении пересекающихся прямых» (1678г.) и теорема Чевы о соотношениях отрезков в треугольнике.

image8.png

(Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противолежащих сторонах, называют чевианами - понятно, почему).

Сформулируем теорему Чевы.

Теорема. Пусть в

image9.wmfABC на сторонах BC,AC и AB или их продолжениях взяты соответственно точки A
image10.wmf,B
image11.wmf и C
image12.wmf, не совпадающие с вершинами треугольника. Прямые AA
image13.wmf, CC
image14.wmf и BB
image15.wmf пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда выполняется равенство

image16.wmf
image17.wmf.
image18.wmf.
image19.wmf=1 (
image20.wmf)

Доказательство. Следует заметить, что формулировка теоремы Чевы содержит два взаимно обратных утверждения.

Необходимость. Пусть AA

image21.wmf, BB
image22.wmf, CC
image23.wmf пересекаются в точке O. Докажем справедливость равенства (
image24.wmf) .

1) Рассмотрим сначала случай внутренней точки O (рис.1а), при котором точки A

image25.wmf,B
image26.wmf,C
image27.wmf лежат на отрезках BC,AC и AB соответственно.

Проведем через вершину B прямую a ll AC (рис.2). Пусть AA

image28.wmfa =M,

image1.wmf CC

image29.wmf a=N.

Замечаем, что

image30.wmfAA
image31.wmfC~
image32.wmfMA
image33.wmfB по I признаку (
image34.wmfAA
image35.wmfC=
image36.wmf MA
image37.wmfB как вертикальные,
image38.wmfCAA
image39.wmf=
image40.wmfBMA
image41.wmf как накрест лежащие при параллельных прямых а, АС и секущей АМ).

image1749.pngТогда

image42.wmf=
image43.wmf (1) .

Аналогично

из подобия

image44.wmfAC
image45.wmfC и
image46.wmfBC
image47.wmfN по I признаку имеем
image48.wmf=
image49.wmf (2);

image50.wmfAOB
image51.wmf~
image52.wmfMOB
image53.wmf
image54.wmf=
image55.wmf (3)

image56.wmfB
image57.wmfOC~
image58.wmfBON
image59.wmf
image60.wmf=
image61.wmf (4)

Из (3) и (4) получаем

image62.wmf=
image63.wmf или
image64.wmf=
image65.wmf (5)

Перемножив соответственно левые и правые части равенств (1), (2) и (5), получим равенство(

image66.wmf):

image1750.png

image67.wmf.
image68.wmf.
image69.wmf=
image70.wmf.
image71.wmf.
image72.wmf=1. Необходимость доказана.

Примечание 1: равенство (

image73.wmf) можно получить, заменив отношения отрезков в его левой части на отношение площадей. Считаю целесообразным привести другое

доказательство.

Итак, вернемся к (рис.1а), заметим, что

image74.wmfAOB и
image75.wmfCOB

рис.3 имеют общую сторону BO.

Их высоты AL и CK соответственно (рис.3).

image76.wmfAB
image77.wmfL~
image78.wmfCB
image79.wmfK,
image80.wmf=
image81.wmf.

Тогда

image82.wmf�� EMBED Equation.3 image83.wmf=
image84.wmf=
image85.wmf=
image86.wmf.

Аналогично,

image87.wmfAOC и
image88.wmfCOB имеют общую сторону OC .

image1751.png

image89.wmf=
image90.wmf. Наконец,
image91.wmf=
image92.wmf.

Перемножая эти три равенства, получаем 1=

image93.wmf.
image94.wmf.
image95.wmf=
image96.wmf.
image97.wmf.
image98.wmf,что соответствует (
image99.wmf) [19,с.87].

2) Рассуждая аналогично для случая внешней точки O (рис1б), замечаем, что теорема Чевы остается справедливой для точек A

image100.wmf,B
image101.wmf,C
image102.wmf, одна из которых принадлежит стороне треугольника, а две другие – продолжениям сторон. Действительно, пусть AL -высота в
image103.wmfAOB ,проведенная из вершины A, CK- высота в
image104.wmfCOB, проведенная из вершины C, OB – их общая сторона (рис.4).

image105.wmf=
image106.wmf. Из подобия
image107.wmfAB
image108.wmfL и
image109.wmfСB
image110.wmfK по I признаку имеем
image111.wmf=
image112.wmf�� EMBED Equation.3 image113.wmf�� EMBED Equation.3 image114.wmf=
image115.wmf. Аналогично,
image116.wmf=
image117.wmf,
image118.wmf=
image119.wmf. Перемножая, получаем нужное равенство. Следует только помнить, что при составлении отношений, выходя из вершины треугольника, мы сначала идем в точку деления(A
image120.wmf,B
image121.wmfили C
image122.wmf соответственно) - она может быть расположена вне стороны треугольника - а потом к очередной вершине; заканчивать необходимо в той же вершине, с которой начали.

Примечание 2: можно сообщить теорему Чевы учащимся уже в 8 классе (общеобразовательный класс, факультатив, кружок) после изучения темы «Площадь треугольника». Тогда доказательство можно провести следующим образом.

Так как

image123.wmfABB
image124.wmf и
image125.wmfB
image126.wmfBC (рис.1а) имеют равные высоты, то их площади относятся как основания, то есть
image127.wmf=
image128.wmf�� EMBED Equation.3 image129.wmfS
image130.wmf=
image131.wmf.S
image132.wmf

Аналогично,

image133.wmf=
image134.wmf
image135.wmf S
image136.wmf=
image137.wmf.S
image138.wmf

Тогда

image139.wmf=
image140.wmf=
image141.wmf=
image142.wmf
image143.wmf (1)
image144.wmf=
image145.wmf (высоты равны)
image146.wmf S
image147.wmf=
image148.wmf.S
image149.wmf

C другой стороны,

image150.wmf=
image151.wmf�� EMBED Equation.3 image152.wmf S
image153.wmf=
image154.wmf.S
image155.wmf�� EMBED Equation.3 image156.wmf

image157.wmf=
image158.wmf
image159.wmf=
image160.wmf (2) И, наконец,
image161.wmf=
image162.wmf=
image163.wmf, откуда выражаем S
image164.wmf и S
image165.wmf

image166.wmf=
image167.wmf=
image168.wmf (3) . Перемножим (1), (2), (3), получим равенство (
image169.wmf).

image1752.png3) Докажем равенство (

image170.wmf) для случая, когда прямые AA
image171.wmf,BB
image172.wmf,CC
image173.wmf параллельны

(рис.5)

а)

image174.wmfCAA
image175.wmf~
image176.wmfCB
image177.wmfB по I признаку,
image178.wmf
image179.wmf=
image180.wmf=
image181.wmf (1)

б)

image182.wmfBB
image183.wmfA~
image184.wmfC
image185.wmfCA по I признаку,
image186.wmf
image187.wmf=
image188.wmf =
image189.wmf(2)

в)

image190.wmfС
image191.wmfBC~
image192.wmfABA
image193.wmf по I признаку,
image194.wmf
image195.wmf=
image196.wmf=
image197.wmf (3)

Перемножая равенства

image198.wmf=
image199.wmf,
image200.wmf=
image201.wmf и
image202.wmf=
image203.wmf,

рис.5 получаем 1=

image204.wmf�� EMBED Equation.3 image205.wmfBC=
image206.wmf (4)

Перемножая равенства

image207.wmf=
image208.wmf,
image209.wmf=
image210.wmfи
image211.wmf=
image212.wmf, получаем

1=

image213.wmf
image214.wmfBC=
image215.wmf (5). Из (4) и (5)
image216.wmf=
image217.wmf, поделим его на

правую часть, получим (

image218.wmf).

Достаточность.

Пусть для точек A

image219.wmf,B
image220.wmf,C
image221.wmf выполнено равенство (
image222.wmf).Покажем, что прямые

image1753.png AA

image223.wmf,BB
image224.wmf и CC
image225.wmf проходят через одну точку. Пусть AA
image226.wmf�� EMBED Equation.3 image227.wmfBB
image228.wmf=O, CO
image229.wmfAB=C
image230.wmf.Тогда для точек A
image231.wmf,B
image232.wmf,C
image233.wmf по теореме Чевы (необходимость) выполняется условие
image234.wmf.
image235.wmf.
image236.wmf=1.

Сравнивая это равенство со (

image237.wmf), получаем, что
image238.wmf=
image239.wmf. Это означает, что точки C
image240.wmf и C
image241.wmfделят отрезок AB (в случае внутренней точки O) в одном и том же отношении, а значит, точка C
image242.wmf совпадает с точкой C
image243.wmf. В случае внешней точки O рассуждение аналогично. Если же (
image244.wmf) выполняется и при этом AA
image245.wmfll CC
image246.wmf, то через вершину B проведем прямую b ll AA
image247.wmf, найдем точку B
image248.wmf ее пересечения с прямой AC (рис. 6).

Так как для случая трёх параллельных прямых теорема Чевы (прямое утверждение) была доказана, то для прямых AA

image249.wmf,b,CC
image250.wmf выполняется
image251.wmf.
image252.wmf.
image253.wmf=1.

Сравнивая его со (

image254.wmf), получаем
image255.wmf=
image256.wmf. Если точки B
image257.wmfи B
image258.wmfпринадлежат отрезку AC, то они делят его в одном и том же отношении, а значит, совпадают. Если B
image259.wmf и B
image260.wmf не принадлежат отрезку AC, то они лежат по одну сторону от точек A или C в зависимости от того, лежит ли A
image261.wmfна отрезке AC или C
image262.wmf на отрезке AB , и из равенства отношений следует совпадение точек B
image263.wmf и B
image264.wmf ,а значит, BB
image265.wmfll AA
image266.wmfll СС
image267.wmf. Теорема доказана.

Примечание 3: процедура составления(

image268.wmf) не зависит от выбора «отправной» вершины и направления обхода, так как всегда будет получаться произведение, равное 1. Действительно, если
image269.wmf.
image270.wmf.
image271.wmf=m=1, то
image272.wmf=
image273.wmf=1 (и т.д.).

1.2.Теорема Чевы в форме синусов.

В каждом из рассмотренных случаев – и в случае внутренней точки O и в случае внешней точки O- условие (

image274.wmf) Чевы можно записать также в виде

image1754.png

image275.wmf.
image276.wmf.
image277.wmf=1(
image278.wmf�� EMBED Equation.3 image279.wmf)

Доказательство: можно воспользоваться равенствами

image280.wmf=
image281.wmf=
image282.wmf=
image283.wmf.
image284.wmf(1)

image285.wmf=
image286.wmf=
image287.wmf=
image288.wmf(2)
image289.wmf

image290.wmf

image291.wmf=
image292.wmf=
image293.wmf=
image294.wmf(3)

Перемножая (1), (2), (3), получаем (

image295.wmf�� EMBED Equation.3 image296.wmf).[10, с.8].

1.3.Теорема Менелая.

image1755.png Пусть на сторонах AB,BC и на продолжении стороны AC (либо на продолжениях сторон AB,BC и AC)

image297.wmfABC взяты соответственно точки C
image298.wmf,A
image299.wmfи B
image300.wmf, не совпадающие с вершинами
image301.wmfABC. Точки A
image302.wmf,B
image303.wmf,C
image304.wmf лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство

image305.wmf.
image306.wmf.
image307.wmf=1 (
image308.wmf)

Доказательство:

1.Необходимость. а) Пусть A

image309.wmf,B
image310.wmf,C
image311.wmf лежат на одной прямой, причем A
image312.wmf - на стороне BC, C
image313.wmf-на стороне AB, B
image314.wmf- на продолжении стороны AC за точку C.Докажем справедливость (
image315.wmf). Проведем СК ll AB (рис.8).

image316.wmfKCB
image317.wmf~
image318.wmfC
image319.wmfAB
image320.wmf по I признаку,
image321.wmf
image322.wmf=
image323.wmf
image324.wmf KC=
image325.wmf(1)

image326.wmfBC
image327.wmfA
image328.wmf~
image329.wmfCKA
image330.wmf по I признаку,
image331.wmf
image332.wmf=
image333.wmf
image334.wmf KC=
image335.wmf (2)

Из (1) и (2) имеем

image336.wmf=
image337.wmf. Разделив обе части этого равенства на

image338.wmf, получим (
image339.wmf).

image1756.pngПримечание 4: необходимость может быть доказана и другим способом; приведем и его, чтобы показать еще одну возможность получить подобные треугольники.

Для этого проведем перпендикуляры AM, BN, CK на

прямую C

image340.wmfB
image341.wmf ( рис.9).

image342.wmfAMC
image343.wmf~
image344.wmfBNC
image345.wmf по I признаку,
image346.wmf
image347.wmf=
image348.wmf ;

рис.9

image349.wmfA
image350.wmfBN~
image351.wmfA
image352.wmfCK по I признаку,
image353.wmf
image354.wmf=
image355.wmf;

image356.wmfCKB
image357.wmf~
image358.wmfAMB
image359.wmf по I признаку,
image360.wmf
image361.wmf=
image362.wmf.

image1757.png Перемножая эти три равенства, получим

image363.wmf.
image364.wmf.
image365.wmf=
image366.wmf.
image367.wmf.
image368.wmf=1.

б) Рассмотрим случай, если все три точки A

image369.wmf,B
image370.wmf,C
image371.wmf взяты на продолжениях сторон
image372.wmfABC,причем лежат на одной прямой. Как и в случае а), проведем CK ll AB(рис.10).

image373.wmfCKB
image374.wmf~
image375.wmfAC
image376.wmfB
image377.wmfпо I признаку,
image378.wmf
image379.wmf=
image380.wmf
image381.wmf CK =
image382.wmf;

image383.wmfCKA
image384.wmf ~
image385.wmfBC
image386.wmfA
image387.wmf по I признаку,
image388.wmf
image389.wmf=
image390.wmf
image391.wmf

CK=

image392.wmf, тогда
image393.wmf=
image394.wmf
image395.wmf
image396.wmf=1, то есть равенство (
image397.wmf)

верно.

2.Достаточность. Пусть B

image398.wmf взята на продолжении AC, точка C
image399.wmf лежит на стороне AB, точка A
image400.wmf- на стороне BC, причем для них выполняется
image401.wmf.
image402.wmf.
image403.wmf=1(
image404.wmf).

Докажем, что A

image405.wmf,B
image406.wmf,C
image407.wmf лежат на одной прямой. Заметим сначала, что
image408.wmf.
image409.wmf
image410.wmf1, так как тогда из (
image411.wmf) имеем, что
image412.wmf=1, что неверно (рис.8).Отсюда следует, что
image413.wmf
image414.wmf
image415.wmf,то есть прямые A
image416.wmfC
image417.wmf и AC не параллельны. Проведем через точки C
image418.wmf и A
image419.wmf прямую. Она пересечет прямую AC в некоторой точке B
image420.wmf. Для точек A
image421.wmf, C
image422.wmf и B
image423.wmf верна теорема Менелая, так что
image424.wmf.
image425.wmf.
image426.wmf=1. Сравнивая это равенство со (
image427.wmf), получаем
image428.wmf=
image429.wmf; это показывает, что обе точки B
image430.wmf и B
image431.wmf лежат на продолжении отрезка AC за одну и ту же точку, ибо правее C данное отношение меньше 1, а левее A оно строго больше 1. Пусть CB
image432.wmf= x , CB
image433.wmf=y, AC=b. Тогда, учитывая, что B
image434.wmfA=x+b, B
image435.wmfA=y+b, перепишем полученное равенство в виде
image436.wmf , откуда xy+xb=xy+yb, то есть x= y Из равенства CB
image437.wmf= CB
image438.wmf следует, что B
image439.wmf совпадает с B
image440.wmf, то есть A
image441.wmf,B
image442.wmf,C
image443.wmf лежат на одной прямой [19, с.86]. Аналогично доказывается достаточность для случая, когда все три точки лежат на продолжениях соответствующих сторон.

Теорема доказана.

Эта теорема входит в золотой фонд древнегреческой математики. Она дошла до нас в арабском переводе книги « Сферика» Менелая Александрийского (I век н.э.). Равенство Менелая аналогично условию Чевы, и его можно записывать, начиная с любой вершины треугольника в любом направлении ( по часовой стрелке, против часовой стрелки).Легко заметить, что при составлении равенства надо переходить от вершины к вершине через точку пересечения секущей линии с этой стороной или ее продолжением; заканчивать необходимо в той же вершине, с которой начали.

Обозначим R=

image444.wmf.
image445.wmf.
image446.wmf.Замечаем, что утверждение R=1 имеет место и в теореме Чевы, и в теореме Менелая. Поэтому справедливо следующее утверждение:

Пусть в треугольнике ABC на прямых AB,BC и AC взяты точки C

image447.wmf,A
image448.wmf,B
image449.wmf, причем k из них лежат на сторонах треугольника и 3-k - на продолжениях сторон. Тогда

а) точки A

image450.wmf,B
image451.wmf,C
image452.wmf лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда R=1 и k четно (теорема Менелая);

б) прямые AA

image453.wmf, BB
image454.wmf и СС
image455.wmf пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда R=1 и k нечетно (теорема Чевы) [14, с.113].

Примечание 5: можно вместо отношения

image456.wmf и других рассматривать отношения направленных отрезков, которые будем обозначать
image457.wmf и определять следующим образом: │
image458.wmf│=
image459.wmf,
image460.wmf положительно, если векторы
image461.wmfи
image462.wmf одинаково направлены, и отрицательно, если они противоположно направлены (
image463.wmf имеет смысл только для точек, расположенных на одной прямой). Легко видеть, что отношение
image464.wmfположительно, если точка C
image465.wmf лежит на отрезке AB, и отрицательно, если C
image466.wmf- вне AB.

Соответственно, вместо R будем рассматривать произведение отношений направленных отрезков, которое обозначим

image467.wmf. Тогда

Теорема Чевы: Для того чтобы прямые AA

image468.wmf,BB
image469.wmf,CC
image470.wmf пересекались в одной точке (или были параллельны), необходимо и достаточно, чтобы
image471.wmf=1 [23, с.40].

Действительно, если все три точки лежат на сторонах

image472.wmfABC (k=3), то все три отношения в произведении
image473.wmf будут положительными, а это значит, что
image474.wmf=1. Если одна из точек лежит на стороне, а две другие - на продолжениях сторон треугольника, то два отношения направленных отрезков будут с минусом, и произведение снова будет равно 1.

Теорема Менелая: Для того чтобы точки A

image475.wmf,B
image476.wmf,C
image477.wmf лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы
image478.wmf=-1 [23,с.41].

Действительно, если две точки лежат на сторонах треугольника, а третья - на продолжении, то одно отношение направленных отрезков отрицательно, а два – положительны; значит, произведение

image479.wmf=-1.

Если все три точки лежат на продолжениях сторон, то все три отношения направленных отрезков будут отрицательными, следовательно, снова

image480.wmf=-1.

Примечание 6: поскольку у школьников могут возникнуть трудности в понимании формулировки теорем, целесообразно, в зависимости от уровня учащихся, теоремы переформулировать: разделить на две – прямую и обратную.

Глава 2. Методические рекомендации к изучению темы в

школьном курсе геометрии.

Обучение решению геометрических задач с применением теорем Менелая и Чевы проводим в 3 этапа:

1 этап – в период предпрофильной подготовки, в 8-9 классах, знакомим учащихся с теоремами и формируем умения решать ключевые задачи темы;

2 этап – рассматриваем соответствующие вопросы в школьном курсе геометрии 10 класса профильного уровня;

3 этап – после изучения основ стереометрии показываем, как «работают» теоремы в решении стереометрических задач, включая конкурсные задачи вступительных экзаменов в вузы.

2.1 Методика обучения решению задач с применением теорем Менелая и Чевы в период предпрофильной подготовки.

К моменту изучения темы учащиеся должны знать теорему Фалеса, формулу вычисления площади треугольника и свойства площадей треугольников, свойство биссектрисы треугольника, признаки подобия треугольников, теоремы о пересечении биссектрис, медиан, серединных перпендикуляров, высот в треугольнике. Этот материал изучается в 8 классе. Поэтому в 9 классе в рамках факультатива «За страницами учебника» отводим 10 часов на тему «Некоторые замечательные теоремы планиметрии», в которой рассматриваем следующие вопросы:

1. Теорема Менелая и пропорциональные отрезки в треугольнике (2 часа).

2. Теорема Чевы и ее следствия. Применение теорем Чевы и Менелая к задачам на доказательство(2 часа).

3. Решение задач на пропорциональное деление отрезков в треугольнике.(2 часа).

4. Решение задач, связанных с нахождением площадей (2 часа).

5. Комбинированные задачи (2 часа).

Каждое занятие, а также все они в целом направлены на то, чтобы развить интерес учащихся к предмету, познакомить с новыми идеями и методами, расширить представления об изучаемом в основном курсе материале, а главное, порешать интересные геометрические задачи алгебраическим способом.

Занятия 1-2. Тема: Теорема Менелая и пропорциональные отрезки в треугольнике.

В результате изучения материала этих занятий учащиеся должны:

знать формулировки теоремы Менелая и теоремы, обратной теореме Менелая;

уметь воспроизводить доказательство теоремы Менелая и применять ее при решении простейших задач.

В начале занятия 1 необходимо повторить основные теоретические сведения, связанные с треугольником, известные учащимся с 7-8 классов. Затем предложить решить задачу 1:

image1758.pngВ треугольнике ABC точка D делит сторону BC в отношении BD:DC= 1: 3, а точка O делит AD в отношении AO:OD=5:2. В каком отношении прямая BO делит отрезок AC?

Дано:

image481.wmfABC, D
image482.wmfBC, BD: DC= 1:3

O

image483.wmfAD, AO: OD= 5:2

BO

image484.wmfAC= E

Найти AE: EC

Решение:

Проведем DM ll BE (рис. 11). По теореме Фалеса

image485.wmf. Тогда AE= 5k , EM= 2k, где k- коэффициент пропорциональности. Аналогично
image486.wmf, откуда MC= 3EM=6k; EC= 2k+6k= 8k;
image487.wmf.

Ответ: AE: EC= 5:8

Для решения этой задачи пришлось выполнить дополнительное построение. Вряд ли учащиеся смогут догадаться, какое именно дополнительное построение требуется для решения этой или похожей задачи, поэтому она может оказаться сложной для них.

Можно сообщить ученикам, что эту задачу можно решить без дополнительного построения, причем достаточно просто и быстро. Но для этого нам понадобится следующее утверждение - и далее идет знакомство с теоремой Менелая, но ее формулировка (с.9) разбивается на 2 независимых утверждения - прямую и обратную теоремы.

Теорема (Менелая). Пусть на сторонах AB,BC и на продолжении стороны AC

image488.wmfABC взяты соответственно точки C
image489.wmf,A
image490.wmfи B
image491.wmf, не совпадающие с вершинами треугольника. Если точки A
image492.wmf,B
image493.wmf,C
image494.wmf лежат на одной прямой, то выполняется равенство

image495.wmf.
image496.wmf.
image497.wmf=1 (
image498.wmf)

Доказательство теоремы проводится одним из способов, рассмотренных в главе 1 на с.10-11.

Необходимость рассмотрения случая, когда точки A

image499.wmf,B
image500.wmf,C
image501.wmf лежат на продолжениях сторон треугольника, определяет учитель. Нужно сообщить учащимся, что при составлении равенства (
image502.wmf) надо переходить от вершины к вершине через точку пересечения секущей линии с этой стороной или ее продолжением; заканчивать необходимо в той же вершине, с которой начали; равенство Менелая можно записывать, начиная с любой вершины треугольника в любом направлении (по часовой стрелке, против часовой стрелки). После рассмотрения теоремы Менелая возвращаемся к решению задачи 1.

Рассмотрим

image503.wmfADC; B
image504.wmfDC,O
image505.wmfAD, E
image506.wmfAC; O,B,E лежат на одной прямой; по

теореме Менелая

image507.wmf.
image508.wmf.
image509.wmf=1. Так как BD: DC= 1:3, то CB: BD=4:1,

подставляем, получаем

image510.wmf.
image511.wmf.
image512.wmf=1,
image513.wmf=
image514.wmf.

Таким образом, сопоставление разных способов решения может оказаться весьма полезным, становится очевидным преимущество второго способа.

Рассмотрим задачу 2.

В

image515.wmfABC на стороне AC взята точка M, а на стороне BC – точка K так, что AM: MC= 2:3, BK: KC= 4:3. В каком отношении AK делит отрезок BM?

image1759.png Решение:

I способ. Через точку B проведем прямую a ll AC (рис.12); AK

image516.wmfa=P;

image517.wmfBKP ~
image518.wmfCKA
image519.wmf
image520.wmf
image521.wmf BP=
image522.wmfAC.

image523.wmfBOP~
image524.wmfMOA
image525.wmf ~
image526.wmf=
image527.wmf

Ответ:

image528.wmf=
image529.wmf.

В этом случае нужно увидеть подобные треугольники, для чего использовать дополнительное построение.

II способ. Рассмотрим

image530.wmfMBC; прямую AK назовем секущей, так как она пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника MBC; A
image531.wmfMC,O
image532.wmfBM, K
image533.wmfBC;

A,O,K лежат на AK ( на одной прямой). По теореме Менелая

image534.wmf,
image535.wmf,
image536.wmf=
image537.wmf.

Замечаем, что теорема Менелая проста для применения, но здесь важно увидеть нужную конфигурацию - треугольник и секущую, причем такие, что два отношения в равенстве Менелая будут известны, тогда можно будет найти третье. В связи с этим полезны упражнения «на узнавание»:

На следующих рисунках указать треугольник, секущую и точки ее пересечения с каждой стороной треугольника или продолжением:

image538.png

image1760.pngЗадача 3. В каком отношении делит сторону BC треугольника ABC прямая, проходящая через точку A и середину медианы, выходящей из B?

Дано:

image539.wmfABC; AB
image540.wmf= B
image541.wmfC; BO=OB
image542.wmf;

Найти BA

image543.wmf: A
image544.wmfC

Решение:

Рассмотрим

image545.wmfBCB
image546.wmf и секущую AA
image547.wmf; A
image548.wmfB
image549.wmfC, O
image550.wmfBB
image551.wmf, A
image552.wmf�� EMBED Equation.3 image553.wmfBC.

По теореме Менелая

image554.wmf�� EMBED Equation.3 image555.wmf;
image556.wmf�� EMBED Equation.3 image557.wmf;
image558.wmf=
image559.wmf

Ответ: BA

image560.wmf: A
image561.wmfC=1:2

Задача 4. Дано:

image1761.png

image562.wmfABC; AA
image563.wmf - биссектриса,

BB

image564.wmf- медиана; AB=2, AC=3;

Найти BO: OB

image565.wmf

Решение:

AA

image566.wmf- биссектриса
image567.wmf
image568.wmf=
image569.wmf�� EMBED Equation.3 image570.wmf.

Рассмотрим

image571.wmfBB
image572.wmfC и секущую AA
image573.wmf; A
image574.wmfB
image575.wmfC, A
image576.wmf�� EMBED Equation.3 image577.wmfBC, O
image578.wmfBB
image579.wmf(рис.17).

image1762.png По теореме Менелая

image580.wmf;
image581.wmf.

Ответ: BO: OB

image582.wmf=4:3

Задача 5. На сторонах AC и BC

image583.wmfABC отмечены соответственно точки N и K так, что AN: NC= m : n, AK
image584.wmfBN= Q, BQ: QN= p : q. Найти BK: KC.

Решение:

Рассмотрим

image585.wmfBCN и секущую AK; A
image586.wmfNC, Q
image587.wmfBN, K
image588.wmfBC (рис. 18).

По теореме Менелая

image589.wmf
image590.wmf
image591.wmf
image592.wmf
image593.wmf�� EMBED Equation.3 image594.wmf

Ответ :

image595.wmf

Далее ставим вопрос о справедливости обратного утверждения.

Теорема (Менелая, обратная). Пусть дан треугольник ABC. Предположим, что точка C

image596.wmf лежит на стороне AB, точка A
image597.wmf лежит на стороне BC, а точка B
image598.wmf лежит на продолжении стороны AC, причем про эти точки известно, что
image599.wmf.
image600.wmf.
image601.wmf=1 . Тогда эти точки лежат на одной прямой.

Доказательство этого утверждения приводится в главе 1, с.11.

Задачи для самостоятельного решения:

1. В треугольнике ABC на сторонах AB и BC взяты точки K и M , KM

image602.wmf AC= P. Найти CP: AP, если а) AK: KB= 2, BM: MC= 1:3;

б) AK: KB= 3, BM: MC = 4;

в) AK: KB= 2:5, BM: MC = 2.

Ответы: а) 3:2; б) 1:12; в) 5:8.

2. В треугольнике ABC на сторонах AB и BC взяты точки K и M; CK

image603.wmfAM=O. Обозначим AK: KB= k, BM: MC= m, CO: OK= p, AO:OM= l. Пусть из четырех чисел k,m,p и l известны два. Найти два оставшихся числа, если

а) k=2, m=

image604.wmf; в) k=3, p= 2; д) m=
image605.wmf, l=
image606.wmf;

б) k=

image607.wmf, m=
image608.wmf; г) k=2, l=3; е) p=2, l=1.

Ответы: а) p=

image609.wmf, l=
image610.wmf; б) p=5, l=1; в) m=
image611.wmf, l=5; г) m=
image612.wmf, p=3; д) k=
image613.wmf, p=15; е) k=
image614.wmf, m=2.

3. В треугольнике ABC на стороне AC взята точка M такая, что AM=

image615.wmfAC, а на стороне BC – точка K такая, что BK=
image616.wmfBC. В каком отношении отрезок BM делит отрезок AK?

4. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки K и M так, что AK:AB= BM: BC= 1:3. В каком отношении точка пересечения CK и AM делит каждый из этих отрезков?

5. На сторонах AC и BC

image617.wmf расположены соответственно точки N и M так, что AN:NC=k, BM:MC=m, прямые AM и BN пересекаются в точке O. Найти отношения AO:OM, BO:ON.

Занятия 3-4. Тема: Теорема Чевы и ее следствия. Применение теоремы Чевы и теоремы Менелая к задачам на доказательство.

Цели: рассмотреть теорему Чевы, утверждение которой также связано с отрезками в треугольнике, некоторые следствия из нее; показать, как теоремы Чевы и Менелая применяются в задачах на доказательство.

Формулировка теоремы Чевы включает два взаимно обратных утверждения. Их можно рассмотреть как независимые теоремы.

Теорема (Чевы). Пусть точки A

image618.wmf,B
image619.wmf, C
image620.wmf лежат соответственно на сторонах BC,AC и AB треугольника ABC, причем отрезки AA
image621.wmf, BB
image622.wmf,CC
image623.wmf пересекаются в одной точке.

Тогда

image624.wmf.
image625.wmf.
image626.wmf=1

Доказательство теоремы проводится одним из способов, предложенных в главе I на с.6.

Исследование остальных случаев расположения точек - по усмотрению учителя, но в любом случае целесообразно сформулировать теорему Чевы и для случая внешней точки пересечения AA

image627.wmf, BB
image628.wmf,CC
image629.wmf и для случая параллельных прямых, а также рассмотреть обратное утверждение.

Теорема (Чевы, обратная). Пусть точки A

image630.wmf,B
image631.wmf, C
image632.wmf лежат соответственно на сторонах BC,AC и AB треугольника ABC, причем
image633.wmf.
image634.wmf.
image635.wmf=1. Тогда отрезки AA
image636.wmf, BB
image637.wmf,CC
image638.wmf пересекаются в одной точке.(Остальные случаи разъяснить).

Задача.

image1763.pngНа сторонах треугольника ABC взяты соответственно точки C

image639.wmf, A
image640.wmf,B
image641.wmf,так, что AC
image642.wmf: С
image643.wmfB= 2:1, BA
image644.wmf:A
image645.wmfC=1:3,

BB

image646.wmf�� EMBED Equation.3 image647.wmf CC
image648.wmf�� EMBED Equation.3 image649.wmfAA
image650.wmf=O. Найти CB
image651.wmf : B
image652.wmfA.

Решение:

Так как отрезки BB

image653.wmf, CC
image654.wmf, AA
image655.wmf пересекаются в одной точке O, то по теореме Чевы
image656.wmf.
image657.wmf.
image658.wmf=1;
image659.wmf
image660.wmf=1;
image661.wmf=
image662.wmf

Ответ: 3:2

Далее рассматриваются некоторые следствия из теоремы Чевы.

image1764.pngСледствие1.Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство. В учебной литературе доказательство этого утверждения проводится на основе подобных треугольников. Мы же проведем его, опираясь на теоремы Чевы и Менелая. Итак, пусть AA

image663.wmf, BB
image664.wmf,CC
image665.wmf - медианы
image666.wmfABC (рис.20) . Так как AC
image667.wmf=C
image668.wmfB, BA
image669.wmf=A
image670.wmfC, AB
image671.wmf=B
image672.wmfC, то
image673.wmf=1,
image674.wmf= 1,
image675.wmf=1. Тогда
image676.wmf.
image677.wmf.
image678.wmf, т.е. для точек A
image679.wmf,B
image680.wmf,C
image681.wmf, лежащих на сторонах треугольника ABC, выполняется условие (
image682.wmf) ; по теореме Чевы AA
image683.wmf, BB
image684.wmf,CC
image685.wmf пересекутся в одной точке O (случай внутренней точки).

Рассмотрим

image686.wmfB
image687.wmfBC , точки A,O,A
image688.wmf лежат на одной прямой, пересекающей стороны BB
image689.wmf,BC и продолжение стороны B
image690.wmfC (в дальнейшем будем называть ее секущей). A
image691.wmf B
image692.wmfC, O
image693.wmf BB
image694.wmf, A
image695.wmf�� EMBED Equation.3 image696.wmfBC.

По теореме Менелая

image697.wmf,
image698.wmf�� EMBED Equation.3 image699.wmf
image700.wmf=
image701.wmf.

Применяя теорему Менелая для

image702.wmfA
image703.wmfAC и секущей BB
image704.wmf (B
image705.wmfA
image706.wmfC, O
image707.wmfAA
image708.wmf, B
image709.wmf�� EMBED Equation.3 image710.wmfAC), получим, что
image711.wmf=
image712.wmf; применяя теорему Менелая для
image713.wmfС
image714.wmfBC и секущей AA
image715.wmf, получим, что
image716.wmf
image717.wmf. Утверждение доказано.

Следствие 2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

image1765.png Доказательство. Справедливость этого утверждения можно доказать, используя свойство биссектрисы:

так как AA

image718.wmf - биссектриса, то
image719.wmf=
image720.wmf; так как BB
image721.wmf- биссектриса, то
image722.wmf;

так как СС

image723.wmf - биссектриса, то
image724.wmf. Перемножая соответственно левые и правые части этих равенств, получим
image725.wmf.
image726.wmf.
image727.wmf=
image728.wmf.
image729.wmf.
image730.wmf=1, то есть для точек A
image731.wmf, B
image732.wmf, C
image733.wmf выполняется равенство Чевы, значит, AA
image734.wmf, BB
image735.wmf,CC
image736.wmf пересекаются в одной точке.

Примечание 7: если учащимся известна теорема Чевы в форме синусов, то провести доказательство этого следствия можно следующим образом. Пусть AA

image737.wmf,BB
image738.wmf,CC
image739.wmf - биссектрисы
image740.wmfABC (рис.21) Так как
image741.wmf, то
image742.wmf= 1; аналогично,
image743.wmf=1;
image744.wmf=1.

image1766.pngПеремножая эти равенства, получим условие (

image745.wmf�� EMBED Equation.3 image746.wmf) теоремы Чевы в форме синусов. Значит, AA
image747.wmf, BB
image748.wmf,CC
image749.wmf пересекаются в одной точке.

Следствие3. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке (ортоцентре треугольника).

Доказательство: пусть AA

image750.wmf, BB
image751.wmf,CC
image752.wmf - высоты
image753.wmfABC .

1) Если

image754.wmfABC остроугольный (рис. 22), то точки A
image755.wmf, B
image756.wmf, C
image757.wmf лежат на его сторонах.
image758.wmfACC
image759.wmf -прямоугольный, AC
image760.wmf = AC cosA;

image761.wmfBCC
image762.wmf- прямоугольный, BC
image763.wmf = BC cosB;
image764.wmfBA
image765.wmfA – прямоугольный, BA
image766.wmf= AB cosB;

image767.wmfAA
image768.wmfC- прямоугольный, A
image769.wmfC=AC cosC; CB
image770.wmf=CB cosC; AB
image771.wmf= AB cosA.

Тогда

image772.wmf.
image773.wmf.
image774.wmf=
image775.wmf=1. А так как условие (
image776.wmf) выполняется, то AA
image777.wmf, BB
image778.wmf, CC
image779.wmf пересекаются в одной точке.

Примечание 8: следствие 3 можно доказать, исходя из подобия треугольников. Можно предложить учащимся провести доказательство этим способом самостоятельно. (Действительно,

image780.wmfAA
image781.wmfC~
image782.wmfBB
image783.wmfC по I признаку
image784.wmf
image785.wmf; аналогично, из подобия
image786.wmfCC
image787.wmfB и
image788.wmfAA
image789.wmfB следует, что
image790.wmf. И, наконец,

image791.wmfBB
image792.wmfA ~
image793.wmfCC
image794.wmfA
image795.wmf
image796.wmf. Перемножая эти равенства, получим

image1767.png

image797.wmf
image798.wmf. Отсюда по теореме Чевы следует, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.[4, с.96])

2) Пусть

image799.wmfABC – тупоугольный (рис.23). Это случай внешней точки O. Из
image800.wmfACC
image801.wmf AC
image802.wmf=ACcosA; из
image803.wmfС
image804.wmfBC C
image805.wmfB=CB cos (180
image806.wmf-
image807.wmfB)= -CB cosB ( угол B тупой) ;

из

image808.wmfA
image809.wmfBA BA
image810.wmf=AB cos(180
image811.wmf-
image812.wmfB)=-AB cosB; аналогично,

AB

image813.wmf=AB cosA; B
image814.wmfC= BC cosC; A
image815.wmfC= AC cosC; CB
image816.wmf=CBcosC.

image817.wmf.

image1768.pngТак как условие Чевы выполняется, то AA

image818.wmf, BB
image819.wmf, CC
image820.wmf пересекаются в одной точке или параллельны (глава1). Но если бы они были параллельны, то и перпендикулярные к ним прямые, то есть стороны треугольника ABC, были бы параллельны друг другу, но это не так. Значит, прямые AA
image821.wmf,BB
image822.wmf,CC
image823.wmf пересекаются в одной точке.

image1769.png3) Если

image824.wmfABC прямоугольный,
image825.wmfС=90
image826.wmf(рис.24) , то очевидно, что высоты BC,AC,CC
image827.wmf пересекаются в точке С. Следствие 3 доказано.

Следствие4. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство. Рассмотрим серединный

image828.wmfMNK(вершины-середины сторон
image829.wmfABC)(рис.25). Тогда NK,NM,MK – средние линии треугольника ABC и по свойству средней линии NK
image830.wmfAC, NM
image831.wmfBC, KM
image832.wmfAB. Поэтому серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ABC содержат высоты
image833.wmfMNK. А в
image834.wmfMNK по следствию 3 высоты пересекаются в одной точке, следовательно, серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке.

Таким образом, теорема Чевы дает возможность весьма просто доказать известные утверждения о четырех замечательных точках треугольника.

Рассмотрим еще одно следствие из теоремы Чевы.

image1770.pngСледствие 5. Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон, пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Жергонна (рис.26).

Доказательство. По свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, имеем AB

image835.wmf=AC
image836.wmf=x, C
image837.wmfB=BA
image838.wmf=y, A
image839.wmfC=B
image840.wmfC=z.

image841.wmf, по теореме Чевы AA
image842.wmf, BB
image843.wmf, CC
image844.wmf пересекаются в одной точке.

Дополнительные задачи:

image1771.png1. Используя теорему Чевы, доказать, что в произвольном треугольнике прямые, проходящие через вершины и делящие периметр треугольника пополам, пересекаются в одной точке.[4, с.94]

Доказательство: Пусть каждый из отрезков AA

image845.wmf, BB
image846.wmf,CC
image847.wmf делит периметр треугольника ABC пополам (рис.27), то есть AB+BA
image848.wmf=A
image849.wmfC+AC(1), B
image850.wmfC+BC=AB
image851.wmf+AB(2), AC
image852.wmf+ СA=

=C

image853.wmfB+BC (3)

Сложим (1), (2), (3): AB+BA

image854.wmf+B
image855.wmfC+BC+AC
image856.wmf+CA= A
image857.wmfC+AC+ AB
image858.wmf+AB+ C
image859.wmfB+BC; BA
image860.wmf+B
image861.wmfC+AC
image862.wmf=A
image863.wmfC+AB
image864.wmf+C
image865.wmfB. Перенесем слагаемые в левую часть и сгруппируем:

(BA

image866.wmf - AB
image867.wmf) + (B
image868.wmfC - C
image869.wmfB) + (AC
image870.wmf- A
image871.wmfC)=0 (4). Вычитая из (1) равенство (2), получаем :

(AB+BA

image872.wmf)- (AB
image873.wmf+AB) = (A
image874.wmfC+AC)-( B
image875.wmfC+BC) или BA
image876.wmf- AB
image877.wmf= (AC- B
image878.wmfC)-(BC- A
image879.wmfC)=AB
image880.wmf- BA
image881.wmf= -( BA
image882.wmf- AB
image883.wmf), откуда 2(BA
image884.wmf- AB
image885.wmf)= 0, BA
image886.wmf= AB
image887.wmf.

Аналогично доказывается, что CB

image888.wmf= С
image889.wmfB , C
image890.wmfA = A
image891.wmfC.

Тогда

image892.wmf.
image893.wmf.
image894.wmf.

По теореме Чевы AA

image895.wmf, BB
image896.wmf,CC
image897.wmf пересекаются в одной точке.

image1772.png2. На стороне AC треугольника ABC взяты точки P и E , на стороне BC – точки M и K, причем AP: PE: EC= CK: KM: MB. Отрезки AM и BP пересекаются в точке O, отрезки AK и BE – в точке T. Докажите, что точки O, T и С лежат на одной прямой.[4, с.94]

Дано:

image898.wmf�� EMBED Equation.3 image899.wmfABC; AP: PE: EC= CK: KM: MB=m:n:k

M, K

image900.wmfBC, P, E
image901.wmfAC; AM
image902.wmfBP= O;

AK

image903.wmfBE= T

Доказать: O, T, C

image904.wmf a

Доказательство. Пусть луч CT

image905.wmfAB=C
image906.wmf, CO
image907.wmfAB=C
image908.wmf. Докажем, что точки C
image909.wmf и C
image910.wmf совпадают, это и будет означать, что O, T, C лежат на одной прямой.

Так как CT

image911.wmfAB=C
image912.wmf, BE
image913.wmfAK
image914.wmfCC
image915.wmf= T, то по теореме Чевы
image916.wmf;

image917.wmf (1)

Так как CO

image918.wmfAB=C
image919.wmf, AM
image920.wmfBP= O, то СС
image921.wmf
image922.wmfBP
image923.wmfAM=O, по теореме Чевы
image924.wmf (2)

Из (1) и (2) следует, что

image925.wmf, то есть точки С
image926.wmf и C
image927.wmf делят отрезок AB в одном и том же отношении, начиная от точки A, а значит, С
image928.wmf и C
image929.wmf совпадают. А это означает, что точки O, T, C лежат на одной прямой.

3. Прямая пересекает стороны AB,BC и продолжение стороны AC треугольника ABC соответственно в точках D,E,F.Доказать, что середины сторон отрезков DC, AE и BF лежат на одной прямой.(Теорема Гаусса.) Указание: воспользоваться теоремой Менелая, в качестве вершин данного треугольника взять середины сторон треугольника ABC, на сторонах и продолжениях которого лежат рассматриваемые точки.

4. Треугольники ABC и A

image930.wmfB
image931.wmfC
image932.wmf с попарно непараллельными сторонами расположены так, что прямые AA
image933.wmfи A
image934.wmfBB
image935.wmf пересекаются в одной точке O. Доказать, что точки M,K,P пересечения прямых AB и A
image936.wmfB
image937.wmf, BC и B
image938.wmfC
image939.wmf, AC и A
image940.wmfC
image941.wmf соответственно лежат на одной прямой. (Теорема Дезарга.) Указание: воспользоваться теоремой Менелая.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Доказать, что середины оснований трапеции, точка пересечения ее диагоналей и точка пересечения продолжений ее боковых сторон лежат на одной прямой. Указание: дважды используя теорему Менелая, доказать, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции и через точку пересечения продолжений боковых сторон, проходит через середины оснований.

2. Доказать, что: а) биссектрисы внешних углов треугольника пересекают продолжения противоположных сторон треугольника в трех точках, расположенных на одной прямой; б) касательные к описанной около треугольника окружности в вершинах треугольника пересекают его противоположные стороны в трех точках, расположенных на одной прямой. Указание: воспользоваться теоремой Менелая.

3. На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты точки C

image942.wmf,A
image943.wmf и B
image944.wmf соответственно. Пусть C
image945.wmf- точка пересечения прямых AB и A
image946.wmfB
image947.wmf, A
image948.wmf- точка пересечения прямых BC и B
image949.wmfC
image950.wmf, B
image951.wmf- точка пересечения прямых AC и A
image952.wmfC
image953.wmf. Доказать, что если прямые AA
image954.wmf, BB
image955.wmf, CC
image956.wmf пересекаются в одной точке, то точки A
image957.wmf, B
image958.wmf, C
image959.wmf лежат на одной прямой. Указание: записав равенство Чевы для точек A
image960.wmf,B
image961.wmf,C
image962.wmf; A
image963.wmf,B
image964.wmf, C
image965.wmf; A
image966.wmf, B
image967.wmf, C
image968.wmf; A
image969.wmf, B
image970.wmf,C
image971.wmf,получить, что для точек A
image972.wmf, B
image973.wmf, C
image974.wmf выполняется равенство Чевы ; далее доказать, что или все три точки A
image975.wmf, B
image976.wmf, C
image977.wmf лежат на продолжениях сторон треугольника( так будет, если A
image978.wmf,B
image979.wmf,C
image980.wmfлежат на сторонах треугольника), или лишь одна находится на продолжении (если на сторонах треугольника одна из точек A
image981.wmf,B
image982.wmf,C
image983.wmf) и воспользоваться теоремой Менелая.

4. Пусть ABCD – четырехугольник, P- точка пересечения BC и AD, Q – точка пересечения AC и BD, R – точка пересечения AB и CD. Доказать, что точки пересечения BC и QR, CA и RP, AB и PQ лежат на одной прямой. Указание: применить теорему Менелая к треугольникам ABD,BDC и DCA.

5. Окружность пересекает сторону AB треугольника ABC в точках C

image984.wmf и C
image985.wmf, сторону BС – в точках A
image986.wmfи A
image987.wmf, сторону CA- в точках B
image988.wmf и B
image989.wmf. Доказать, что если прямые AA
image990.wmf,BB
image991.wmf и CC
image992.wmf пересекаются в одной точке, то и прямые AA
image993.wmf, BB
image994.wmfи CC
image995.wmf также пересекаются в одной точке. Указание: воспользоваться теоремой Чевы.

Занятия 5-6. Тема: Решение задач на пропорциональное деление отрезков в треугольнике.

Цели: овладение навыком решения задач с использованием теорем Менелая и Чевы; повышение уровня математической культуры учащихся, развитие их познавательных способностей.

Прежде всего надо отметить, что усвоение каждой темы школьного курса математики и развитие учащихся на том или ином уровне обеспечивается определенной системой упражнений и задач. [7,с.203] Выполнение математических упражнений является важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой школьниками усваивается математическая теория, развиваются их творческие способности и самостоятельность мышления.[15,с.3] Умение решать задачи самостоятельно, без посторонней помощи формируется автоматически, непроизвольно лишь у небольшой части учащихся. Для большинства же требуется специальная работа учителя в этом направлении. У школьников необходимо формировать умение решать и стандартные, и нестандартные задачи.

Наработать навыки решения стандартных задач на применение теорем Чевы и Менелая , а также организовать контроль за их выполнением поможет следующая таблица.

image1773.png Отнош.

№ зад.

а)

image996.wmf

б)

image997.wmf

в)

image998.wmf

г)

image999.wmf

д)

image1000.wmf

е)

image1001.wmf

1.

image1002.wmf

image1003.wmf

image1004.wmf

image1005.wmf

image1006.wmf

image1007.wmf

2.

image1008.wmf

image1009.wmf

image1010.wmf

image1011.wmf

image1012.wmf

image1013.wmf

3.

image1014.wmf

image1015.wmf

image1016.wmf

image1017.wmf

image1018.wmf

image1019.wmf

4.

image1020.wmf

image1021.wmf

image1022.wmf

image1023.wmf

image1024.wmf

image1025.wmf

5.

image1026.wmf

image1027.wmf

image1028.wmf

image1029.wmf

image1030.wmf

image1031.wmf

6.

image1032.wmf

image1033.wmf

image1034.wmf
image1035.wmf

image1036.wmf�� EMBED Equation.3 image1037.wmf

image1038.wmf

image1039.wmf

7.

image1040.wmf

image1041.wmf

image1042.wmf

image1043.wmf

image1044.wmf

image1045.wmf

8.

image1046.wmf

image1047.wmf

image1048.wmf

image1049.wmf

image1050.wmf

image1051.wmf

Если три отрезка, соединяющие вершины A,B,C треугольника соответственно с точками A

image1052.wmf,B
image1053.wmf,C
image1054.wmf лежащими на его сторонах, противоположных этим вершинам, пересекаются в точке O, то по любым двум из шести отношений длин отрезков, на которые точки A
image1055.wmf,B
image1056.wmf,C
image1057.wmf делят стороны треугольника, а точка O- отрезки AA
image1058.wmf,BB
image1059.wmf,CC
image1060.wmf, однозначно определяются оставшиеся отношения(с помощью теорем Менелая и Чевы).

image1774.pngДве задачи из таблицы можно разобрать на занятии, остальные дать домой (используя таблицу, можно составить несколько вариантов заданий).

Далее можно организовать работу в группах.

Задача.

В

image1061.wmfABC на сторонах AB, BC,AC взяты точки C
image1062.wmf, A
image1063.wmf,B
image1064.wmf соответственно. Отрезки BB
image1065.wmf,AA
image1066.wmf, CC
image1067.wmf пересекаются в точке O. CB
image1068.wmf: B
image1069.wmfA=p, CA
image1070.wmf: A
image1071.wmfB=q.

Найти :

image1072.wmf.

Ученики делятся на 4 группы по количеству отношений, которые необходимо найти.

После того как задача окажется решена каждой группой, идет выступление представителей.

Решение: 1) Рассмотрим

image1073.wmf; O
image1074.wmfAA
image1075.wmf, B
image1076.wmfA
image1077.wmfC, B
image1078.wmf
image1079.wmfAC, O,B,B
image1080.wmf лежат на одной прямой (рис.29).

По теореме Менелая

image1081.wmf�� EMBED Equation.3 image1082.wmf;
image1083.wmf�� EMBED Equation.3 image1084.wmf
image1085.wmf.

2) Рассмотрим

image1086.wmf; O
image1087.wmfBB
image1088.wmf, A
image1089.wmf
image1090.wmfBC, A
image1091.wmfCB
image1092.wmf; O, A
image1093.wmf,A лежат на одной прямой.

По теореме Менелая

image1094.wmf;
image1095.wmf
image1096.wmf.

3) Рассмотрим

image1097.wmf, по теореме Чевы
image1098.wmf;
image1099.wmf;
image1100.wmf.

image1101.wmf По теореме Менелая для
image1102.wmfСС
image1103.wmfA и секущей BB
image1104.wmf
image1105.wmf;
image1106.wmf
image1107.wmf;
image1108.wmf.

4) Рассмотрим

image1109.wmf, по теореме Чевы
image1110.wmf;
image1111.wmf;
image1112.wmf.

Чтобы включить знания учащихся в систему, важно среди задач по теме иметь комплексные задачи, то есть задачи, при решении которых используются знания, полученные при изучении не только данной, но и предыдущих тем, а также при изучении других разделов математики. Поэтому полезными окажутся задачи 1-5.

image1775.pngЗадача 1. .В треугольнике ABC, описанном около окружности, AB = 8, BC = 5, AC = 4. Точки A

image1113.wmf
image1114.wmf и C
image1115.wmf - точки касания, принадлежащие соответственно сторонам BC,AC и BA. Точка P - точка пересечения отрезков AA
image1116.wmf и CC
image1117.wmf.

Найдите AP: PA

image1118.wmf.

Решение: так как отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке, то P

image1119.wmfBB
image1120.wmf. Пусть C
image1121.wmfB=x, тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения ( рис. 30)

8 - x + 5 - x = 4, x =

image1122.wmf. Значит,C
image1123.wmfB = BA=
image1124.wmf; A
image1125.wmfC = 5 –
image1126.wmf=
image1127.wmf, AC = 8 –
image1128.wmf=
image1129.wmf.

В треугольнике ABA

image1130.wmf прямая C
image1131.wmfC пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая

image1132.wmf�� EMBED Equation.3 image1133.wmf�� EMBED Equation.3 image1134.wmf
image1135.wmf,
image1136.wmf,
image1137.wmf =
image1138.wmf .

Ответ: 70: 9.

Задача 2. Стороны треугольника 5, 6 и 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.

image1776.pngРешение: пусть в треугольнике ABC AB = 5, BC = 7, AC = 6. Угол BAC лежит против большей стороны в треугольнике ABC, значит, угол BAC – больший угол треугольника. Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис. Пусть O -точка пересечения биссектрис. Необходимо найти AO:OD. Так как AD – биссектриса треугольника ABC, то

image1139.wmf =
image1140.wmf, то есть BD = 5k, DC = 6k. Так как BF – биссектриса треугольника ABC, то
image1141.wmf=
image1142.wmf, то есть AF = 5m, FC = 7m.

Прямая BF пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника ADC.

По теореме Менелая

image1143.wmf.
image1144.wmf.
image1145.wmf = 1,
image1146.wmf =
image1147.wmf =
image1148.wmf =
image1149.wmf

Ответ: 11:7.

image1777.png Задача 3. В треугольнике ABC, описанном около окружности, AB =13, BC = 12, AC = 9, A

image1150.wmf и C
image1151.wmf - точки касания, лежащие соответственно на сторонах BC и AB. Q –точка пересечения отрезков AA
image1152.wmfи BH,где BH- высота. Найдите отношение BQ:QH.

Решение:

треугольник ABC – разносторонний, значит, точка H не совпадает с точкой касания. Обозначим точку касания, лежащую на стороне AC, буквой B

image1153.wmf.

1. Пусть C

image1154.wmfB = x, тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения (рис.32):

BA

image1155.wmf=x, A
image1156.wmfC=B
image1157.wmfC=12-x, AC
image1158.wmf=AB
image1159.wmf=13-x. Тогда (13 – x) + (12 – x) = 9, x=8. Значит, C
image1160.wmfB =BA
image1161.wmf= 8, AC
image1162.wmf=AB
image1163.wmf= 5, CA
image1164.wmf=CB
image1165.wmf=4.

2. По формуле Герона

S

image1166.wmf =
image1167.wmf�� EMBED Equation.3 image1168.wmf= 4
image1169.wmf,

S

image1170.wmf=
image1171.wmf�� EMBED Equation.3 image1172.wmf, BH=
image1173.wmf, BH =
image1174.wmf .

3. Из треугольника ABH (прямоугольного) по теореме Пифагора

AH =

image1175.wmf =
image1176.wmf.

4. В треугольнике CBH прямая AA

image1177.wmf пересекает две его стороны и продолжение третьей. По теореме Менелая

image1178.wmf.
image1179.wmf.
image1180.wmf=1,
image1181.wmf�� EMBED Equation.3 image1182.wmf.
image1183.wmf.
image1184.wmf=1,
image1185.wmf.
image1186.wmf.
image1187.wmf=1,
image1188.wmf =
image1189.wmf.

Ответ: 162:53.

image1778.pngЗадача 4. В треугольнике ABC, площадь которого равна 6, на стороне AB взята точка K, делящая эту сторону в отношении AK:BK = 2:3, а на стороне AC – точка L, делящая AC в отношении AL: LC = 5:3. Точка Q пересечения прямых CK и BL удалена от прямой AB на расстояние

image1190.wmf. Найдите длину стороны AB.

Решение:

1. Треугольники ABL и ABC имеют одинаковую высоту, проведенную из вершины B.

image1191.wmf =
image1192.wmf =
image1193.wmf =
image1194.wmf, тогда S
image1195.wmf =
image1196.wmf6 =
image1197.wmf.

2. Прямая KC пересекает в треугольнике ABL две стороны и продолжение третьей. По теореме Менелая

image1198.wmf.
image1199.wmf.
image1200.wmf = 1,
image1201.wmf.
image1202.wmf.
image1203.wmf = 1,
image1204.wmf =
image1205.wmf, то есть BQ = 4p, QL = p.

3. Треугольники KBQ и ABL имеют общий угол, значит,

image1206.wmf =
image1207.wmf =
image1208.wmf =
image1209.wmf, тогда S
image1210.wmf =
image1211.wmf.
image1212.wmf =
image1213.wmf.

4. S

image1214.wmf =
image1215.wmf�� EMBED Equation.3 image1216.wmf
image1217.wmf KB =
image1218.wmf=
image1219.wmf, 3m =
image1220.wmf, тогда m =
image1221.wmf , AB=5m = 4.

Итак, AB = 4.

Ответ: 4.

Задача 5. На стороне AC в треугольнике ABC взята точка K. AK = 1, KC = 3. На стороне AB взята точка L. AL:LB=2:3. Q – точка пересечения прямых BK и CL. S

image1222.wmf = 1. Найдите длину высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B.

image1779.png

Решение: прямая BK пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника ALC (рис.34) . По теореме Менелая

image1223.wmf,
image1224.wmf
image1225.wmf
image1226.wmf , то есть LQ = 1p, QC = 5p.

1) треугольники ALC и AQC имеют общий угол, значит,

image1227.wmf, S
image1228.wmf=
image1229.wmf.

2) Треугольники ABC и ALC имеют общую высоту, проведенную из вершины C, значит,

image1230.wmf, S
image1231.wmf =
image1232.wmf.

3) S

image1233.wmf=
image1234.wmf, BH =
image1235.wmf.

Ответ:1,5.

Для самостоятельного решения можно взять задачи 3-8 из таблицы.

Занятия 7-8. Тема: Решение задач, связанных с нахождением площадей.

Многие планиметрические задачи заканчиваются словами «найти площадь…». Примерно половина из них может быть решена посредством нахождения отрезков и углов, необходимых для вычисления площади данной фигуры; часто в таких задачах бывает удобным и метод поиска площадей фигур путем сравнения с известными площадями.

Рассмотрим ряд таких задач и возможность использования в них известных нам теорем.

image1780.pngЗадача 1. На сторонах AC и BC треугольника ABC отмечены точки N и K так, что AN:NC=m:n, AK

image1236.wmfBN=Q, BQ:QN=p:q. Найти отношение площадей треугольников AKC и ABK.

Решение:

image1237.wmfAKC и
image1238.wmfABK имеют одинаковую высоту,

проведенную из вершины A, поэтому

image1239.wmf (рис.18).

По теореме Менелая для

image1240.wmfBCN и секущей AK имеем
image1241.wmf;
image1242.wmf. Отсюда

image1243.wmf. Ответ:
image1244.wmf

image1781.pngЗадача 2. Через вершину B

image1245.wmf проведена прямая, параллельная биссектрисе
image1246.wmfС и пересекающая продолжение стороны АС в точке D. Пусть Е – середина отрезка ВD. Определить, в каком отношении прямая АЕ делит площадь
image1247.wmf, если известно, что АС=5, ВС=10.

Решение: 1) СК – биссектриса

image1248.wmf
image1249.wmf.

2)

image1250.wmf~
image1251.wmf по двум углам ,
image1252.wmf.

image1253.wmfРассмотрим
image1254.wmf и секущую АЕ; A
image1255.wmfCD, F
image1256.wmfBC, E
image1257.wmfBD, A,F,E
image1258.wmfAE.

По теореме Менелая

image1259.wmf,
image1260.wmf,
image1261.wmf.

Ответ: 1:3.

Задача 3. Медиана BD и биссектриса AE треугольника ABC пересекаются в точке F.image1782.png Найти площадь треугольника ABC , если AF=3FE, BD=4, AE=6.

Решение: пусть FE=k, тогда AF=3k. AE=AF+FE= 3k+k=4k, 4k=6, k=

image1262.wmf. AF=
image1263.wmf FE=
image1264.wmf.

Рассмотрим

image1265.wmf и секущую BD; B
image1266.wmfEC, F
image1267.wmfAE, D
image1268.wmfAC. По теореме Менелая
image1269.wmf.

Рассмотрим

image1270.wmf�� EMBED Equation.3 image1271.wmf и секущую АЕ; А
image1272.wmfDC, F
image1273.wmfBD, E
image1274.wmfBC, A,F,E
image1275.wmfAE.

По теореме Менелая

image1276.wmf.

В

image1277.wmf AF – биссектриса и медиана
image1278.wmf
image1279.wmf - равнобедренный и
image1280.wmf;

image1281.wmf;
image1282.wmf.

Ответ: 18

image1783.pngЗадача 4. В равнобедренном треугольнике

image1283.wmfABC (AС=BC) проведены медиана BN и высота АМ, которые пересекаются в точке D. AD=5, DM=2. Найти
image1284.wmf.

Решение: AN=NC, AM=5+2=7. Рассмотрим

image1285.wmfAMC и секущую NB (рис. 37)

N

image1286.wmfAC, B
image1287.wmfCM, D
image1288.wmfAM. По теореме Менелая
image1289.wmf;
image1290.wmf;
image1291.wmf.

Пусть коэффициент пропорциональности равен k, тогда СМ=3k, BM=2k.

Из

image1292.wmfACM - прямоугольного:
image1293.wmf,

image1294.wmf;

image1295.wmf ;
image1296.wmf,
image1297.wmf,
image1298.wmf

Тогда

image1299.wmf,
image1300.wmf

Ответ:

image1301.wmf.

image1784.pngЗадача 5. В

image1302.wmfABC на сторонах AB и BC взяты точки K и L так, что
image1303.wmf и
image1304.wmf,
image1305.wmf,
image1306.wmf. Найти
image1307.wmf.

Решение: пусть

image1308.wmf.

1)

image1309.wmfAOK и
image1310.wmfAOC имеют равные высоты,
image1311.wmf
image1312.wmf;

2)

image1313.wmfCAK и
image1314.wmfCBK имеют равные высоты,
image1315.wmf;

3)

image1316.wmf; 4)
image1317.wmf;

5) Рассмотрим

image1318.wmfKBC и секущую AL; A
image1319.wmfKB, O
image1320.wmfKC, L
image1321.wmfBC.

По теореме Менелая

image1322.wmf.

image1323.wmf

image1324.wmf,
image1325.wmf,
image1326.wmf

x=6 :

image1327.wmf - верно.

image1328.wmf

image1329.wmf, D<0 – других действительных корней нет.

image1330.wmf. Ответ: 21.

image1785.pngЗадача 6. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки M и N соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке L. Площади треугольников AML , CNL и ALC равны соответственно 15, 48 и 40. Найти площадь треугольника ABC.

Решение:

image1331.wmfALC и
image1332.wmfLCN , а также
image1333.wmfAML и
image1334.wmfALC имеют общие высоты, опущенные соответственно на стороны AN и MC. Отсюда следует, что площади этих треугольников относятся как соответствующие основания.

image1335.wmf

Рассмотрим

image1336.wmfBMC и секущую AN.

По теореме Менелая

image1337.wmf (1)

Рассмотрим

image1338.wmfABN и секущую MC.

По теореме Менелая

image1339.wmf (2)

Вычитая из (2) соотношение (1) , получим

image1340.wmf

Так как

image1341.wmf то
image1342.wmf откуда 3AM=MB, а значит, AM=
image1343.wmf MB=
image1344.wmf Отсюда следует, что S
image1345.wmf составляет
image1346.wmf часть площади треугольника ABC (они имеют общую высоту, проведенную из вершины С).

Тогда

image1347.wmfS
image1348.wmf= 4
image1349.wmfS
image1350.wmf=(15+40)
image1351.wmf.

Ответ: 220

Задача 7 . На стороне AB треугольника ABC взята точка E, а на стороне BC- точка D так, что DC=1, AE=2. Прямые AD и CE пересекаются в точке O. Найти площадь четырехугольника BDOE, если AB=BC=8, AC=6.

image1786.pngРешение: Площадь треугольника ABC найдем по формуле Герона:

p = (8+8+6):2=11, S=

image1352.wmf=
image1353.wmf

Треугольники BAD и DAC имеют общую высоту, поэтому их площади относятся как длины оснований, то есть

image1354.wmf, так как S=S
image1355.wmf+S
image1356.wmf.

Аналогично,

image1357.wmf.

Рассмотрим треугольник BEC и секущую AD. По теореме Менелая

image1358.wmf,

image1359.wmf, S
image1360.wmf=
image1361.wmf

S

image1362.wmf=S
image1363.wmf

Ответ:

image1364.wmf

Дополнительные задачи.

1. Отрезок АВ делится точкой D отношении 3:2, а отрезок ВС – точкой Е в отношении 1:3. Отрезки АЕ и CD пересекаются в точке F. Чему равно отношение площадей треугольников ADF и CFE?

2. Площадь треугольника АВС равна 28, точка D лежит на стороне АВ втрое ближе к А, чем к В, а точка Е на стороне ВС втрое ближе к С, чем к В. Прямые CD и АЕ пересекаются в точке F. Чему равны площади треугольника ADF и четырехугольника DBEF?

3. На стороне АВ треугольника АВС взята точка D, а на стороне АС – точка Е так, что АЕ= BD=2. Прямые CD и BE пересекаются в точке О. Найти площадь треугольника ВОС, если АВ=ВС=5, АС=6.

4. На стороне ВС треугольника АВС взята точка D, а на стороне АС – точка Е так, что BD=2, а АЕ=3. Прямые AD и ВЕ пересекаются в точке О. Найти площадь четырехугольника CDOE, если АС=ВС=9, АВ=8.

5. На стороне АС треугольника АВС взята точка D, а на стороне ВС – точка F так, что AD=3, a BF=1. Прямые BD и AF пересекаются в точке О. Найти площадь треугольника АОВ, если АВ=АС=5, ВС=6.

6. На сторонах KL и LM треугольника KLM взяты точки А и В соответственно. Отрезки АМ и ВK пересекаются в точке С. Площади треугольников АСK, BCM и CKM равны соответственно 2, 12 и 8. Найти площадь треугольника LAC.

7. На сторонах FG и GH треугольника FGH взяты точки K и L соответственно. Отрезки KH и FL пересекаются в точке М. Площади треугольников KMF, HML и FMH равны соответственно 2, 4 и 4. Найти площадь треугольника GKL.

8. На сторонах RT и TS треугольника RTS взяты точки А и В соответственно. Отрезки AS и BR пересекаются в точке С. Площади треугольников ACR, BCS и RCS равны соответственно 5, 8 и 10. Найти площадь четырехугольника TACB.

Занятия 9-10. Тема: Комбинированные задачи.

image1787.pngЭти занятия посвящены более сложным задачам, которые встречаются на олимпиадах разных уровней. Так как большая часть олимпиадных задач затрагивает небольшое число разделов математики, то школьникам, стремящимся к успеху, полезно знать темы этих разделов и видеть, что многие новые задачи часто не более чем малоузнаваемые вариации прежних.

Задача 1. На стороне NP квадрата MNPQ взята точка A, а на стороне PQ – точка B так, что NA:AP = PB:BQ = 2:3. Точка L является точкой пересечения отрезков MA и NB. В каком отношении точка L делит отрезок MA?

Решение: проведем прямую AB, пусть она пересекает прямую MQ в точке F и пусть прямая NB пересекает прямую MQ в точке D (рис.41).

image1365.wmfAPB ~
image1366.wmfFQB, тогда
image1367.wmf , откуда QF=
image1368.wmf.

image1369.wmfNPB ~
image1370.wmfDQB, тогда
image1371.wmf , откуда QD =
image1372.wmf.

FD = QD – QF=

image1373.wmf.

Из треугольника APB (прямоугольного) по теореме Пифагора AB =

image1374.wmfk.

Из треугольника QBF (прямоугольного) по теореме Пифагора BF =

image1375.wmf�� EMBED Equation.3 image1376.wmf. Из треугольника AFM по теореме Менелая

image1377.wmf,
image1378.wmf,
image1379.wmf,
image1380.wmf.

Ответ: 25: 4.

Задача 2. Дан параллелограмм ABCD. Точка M делит отрезок AD в отношении p , а точка N делит отрезок DC в отношении q. Прямые BM и AN пересекаются в точке S. Вычислите отношение AS:SN.

image1788.pngРешение:

image1381.wmf�� EMBED Equation.3 image1382.wmfесли MD=b, то AM=pb;
image1383.wmf
image1384.wmfесли NC = a, то DN = aq.

Пусть B

image1385.wmf - точка пересечения прямых BM и CD.

image1386.wmfMB
image1387.wmfD ~
image1388.wmfBB
image1389.wmfC, тогда
image1390.wmf�� EMBED Equation.3 image1391.wmf;

image1392.wmf;

1+p =

image1393.wmf; x =
image1394.wmf.

Прямая BB

image1395.wmf пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника AND. По теореме Менелая
image1396.wmf

image1397.wmf,
image1398.wmf, откуда
image1399.wmf.

Ответ:

image1400.wmf.

Задача 3. На сторонах AС и BC

image1401.wmf взяты точки М и L так, что AM:MC=4:1, CL:LB=3:1. Отрезки AL и BM пересекаются в точке Q.
image1402.wmf.

image1789.png1) Найти

image1403.wmf; 2) На АВ взяли точку N так, что CN – медиана ;
image1404.wmf,
image1405.wmf. Найти
image1406.wmf.

Решение:

1) а) Рассмотрим

image1407.wmf, BM – секущая (рис.43),

по теореме Менелая

image1408.wmf,
image1409.wmf

б)

image1410.wmfи
image1411.wmf имеют равные высоты
image1412.wmf
image1413.wmf. Так как
image1414.wmf,

image1415.wmf

в)

image1416.wmf и
image1417.wmf имеют равные высоты
image1418.wmf�� EMBED Equation.DSMT4 image1419.wmf

image1790.png2) CN-медиана

image1420.wmfAN=NB. Найдем
image1421.wmf (рис. 44).

а)

image1422.wmf,
image1423.wmf;

б)

image1424.wmf( имеют равные высоты),

image1425.wmf;
image1426.wmf.

в) Рассмотрим

image1427.wmfABM и секущую NC.

По теореме Менелая

image1428.wmf,
image1429.wmf

image1430.wmf,
image1431.wmf,
image1432.wmf

image1433.wmf,
image1434.wmf

image1435.wmf.

image1791.png Ответ: 11

image1436.wmfкв.ед.

Задача 4. На стороне AB

image1437.wmfABC взята точка D, а на стороне AC – точка Е так, что длина AE=BD=2. Прямые
image1438.wmf. Найти
image1439.wmf, если AB=BC=5, AC=6.

Решение: 1)

image1440.wmf,
image1441.wmf,
image1442.wmf

2) Рассмотрим

image1443.wmfABE, DC – секущая; D
image1444.wmfAB, O
image1445.wmfBE, C
image1446.wmfAE(рис.45).

По теореме Менелая

image1447.wmf,
image1448.wmf;
image1449.wmf.

Значит, CO – медиана

image1450.wmfBCE,
image1451.wmf.

Из

image1452.wmfABC по теореме косинусов
image1453.wmf

image1454.wmf,
image1455.wmf

image1456.wmf

image1457.wmf;
image1458.wmf.

Ответ: 4.

Примечание 9: если на момент решения задачи теорема косинусов учащимся еще не известна, задачу 4 следует отложить до изучения теоремы.

Задача 5. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС отмечены точки

image1459.wmf и
image1460.wmf соответственно так, что отрезки
image1461.wmf и
image1462.wmf пересекаются в одной точке Q, расположенной внутри треугольника АВС. Пусть Р – точка пересечения отрезков
image1463.wmf и
image1464.wmf. Доказать, что
image1465.wmf.

Доказательство. Эта задача может быть решена многими способами, мы разберем решение, использующее теоремы Менелая и Чевы, чрезвычайно полезные для решения задач такого типа.

image1792.pngЕсли

image1466.wmf
image1467.wmf, то утверждение задачи может быть доказано достаточно легко. Рассмотрим случай, когда прямые
image1468.wmf и
image1469.wmf пересекаются в точке

М ( рис.46). По теореме Менелая для треугольников

image1470.wmf и
image1471.wmf имеем:

image1472.wmf,
image1473.wmf, откуда
image1474.wmf,

image1475.wmf.

Складывая эти равенства, получаем

image1476.wmf (1)

По теореме Менелая для треугольников

image1477.wmf и
image1478.wmf имеем:

image1479.wmf,
image1480.wmf

Учитывая, что

image1481.wmf,
image1482.wmf, и складывая уравнения, получаем:

image1483.wmf. Из теоремы Чевы для треугольника АВС следует, что
image1484.wmf.

Поэтому

image1485.wmf (2)

Сравнивая (1) и (2) , получаем требуемое.

image1793.pngЗадача 6. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC через точку A проведена прямая, которая пересекает диагональ BD в точке E и боковую сторону CD в точке K, причем BE:ED=1:2, CK:KD=1:4. Найдите отношение длин оснований трапеции.

Решение. Пусть BC=a, AD=b. Необходимо найти

image1486.wmf. Пусть BC
image1487.wmfAK=Q (рис.47).

1) По теореме Менелая для

image1488.wmfBCD и секущей AQ имеем
image1489.wmfCQ=a , BC=CQ=a.

2)

image1490.wmfCKQ ~
image1491.wmfDKA по двум углам, тогда
image1492.wmf Так как а = BC, b=AD, то
image1493.wmf

Ответ:

image1494.wmf

Дополнительные задачи.

1. Высота трапеции ABCD равна 7, а длины оснований AD и BC равны соответственно 8 и 6. Через точку E, лежащую на стороне CD, проведена прямая BE, которая делит диагональ AC в точке O в отношении AO:OC=3:2. Найдите площадь треугольника OEC.

2. Через середину M стороны BC параллелограмма ABCD, площадь которого 1, и вершину A проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке Q. Найдите площадь четырехугольника QMCD.

3. В треугольнике ABC точки K и L принадлежат соответственно сторонам AB и BC. AK:BK=1:2, CL:BL=2:1. Q- точка пересечения отрезков AL и CK. S

image1495.wmf=1.

Найдите площадь треугольника ABC.

2.2. Изучение темы «Теорема Менелая и теорема Чевы» в курсе геометрии 10 класса.

Профилирование старшей школы предусматривает два курса математики - базовый и профильный. Как уже отмечалось выше, тема « Теорема Менелая и теорема Чевы» изучается лишь в классах физико-математического и естественнонаучного профиля. Причем данный материал «подлежит изучению, но не включается в Требования к уровню подготовки выпускников»[16, с.12], то есть элементы содержания являются обязательными для обучения, однако даются в ознакомительном порядке и не выносятся на итоговый контроль. На изучение темы отводится 2 часа. Распределить материал можно таким образом:

Урок 1.Теорема Менелая и теорема Чевы.

Урок 2. Применение теорем Менелая и Чевы в решении ключевых задач.

Урок 1 по изучению теорем Менелая и Чевы проводится в форме лекции. Основными целями такого урока являются ознакомление учащихся с теоремами и их некоторыми приложениями, повышение познавательного интереса учащихся, выработка у них потребности обобщения изучаемых фактов.

Оборудование: 1. Листы с задачами по теме.

2.Проекционный экран компьютера и слайды, заготовленные на

дискете и проецируемые на экран во время урока.

Ход урока.

Организационный момент - проверить готовность учащихся к уроку.

На проекционном экране (слайд 1) высвечена тема : «Теорема Менелая и теорема Чевы» и эпиграф: «Умение решать задачи - такое же практическое искусство, как умение плавать или бегать. Ему можно научиться только путем подражания или упражнения». (Д.Пойа)

I.Мотивационно - ориентировочная часть.

1. Актуализация знаний.

-В курсе геометрии мы рассматривали важные свойства геометрических фигур на плоскости, в том числе треугольников. Но не все удивительные факты и соотношения вошли в основной курс. А они значительно облегчают решение многих задач. Сегодня мы рассмотрим две теоремы, связанные с отношениями отрезков в треугольнике, и их применение. Но для этого нам потребуются следующие знания:

определение подобных треугольников; признаки подобия; свойства подобных треугольников и их площадей.

Далее идет повторение материала и устная работа со слайдами.

Слайд 2:

image1794.png

image1496.wmf;

1) Найти

image1497.wmf 2) S
image1498.wmf=2; S
image1499.wmf-?

Решение. 1) Так как

image1500.wmf,
image1501.wmf и
image1502.wmf имеют одну высоту, проведенную из вершины В, то
image1503.wmf=
image1504.wmf=3;
image1505.wmf 2)
image1506.wmf.

image1795.png

Слайд 3:

Найти

image1507.wmf

Решение:

image1508.wmfобщий
image1509.wmf

2.Мотивация. Постановка учебной задачи.

Ученикам в качестве домашней работы предлагалось решить задачу:

В треугольнике ABC на стороне AC взята точка N так, что AN:NC=m:n, на стороне BC- точка K . BN пересекает AK в точке Q, BQ : QN= p:q. Найти отношение площадей треугольников AKC и ABK.

Идет обсуждение решения задачи. На экране появляется слайд 4.

1) AN:NC=m:n, BQ:QN= p:q,

image1510.wmf( т.к. высоты равны)

2) Дополнительное построение: ND||BC.

image1796.png

3)

image1511.wmf~
image1512.wmf по двум углам
image1513.wmf;

4)

image1514.wmfMQN~
image1515.wmfKQB по двум углам
image1516.wmf
image1517.wmf;
image1518.wmf,
image1519.wmf

Ответ:

image1520.wmf�� EMBED Equation.DSMT4 image1521.wmf

- Эту же задачу можно решить и без дополнительного построения. Быстрый ответ можно получить с помощью теоремы Менелая.

II. Содержательная часть.

Далее идет объяснение нового материала под запись учащихся (см. главу 1). После рассмотрения теоремы возвращаемся к домашней задаче ( слайд 4).

Рассмотрим

image1522.wmfBCN и секущую AK, K
image1523.wmf Тогда по теореме Менелая

image1524.wmf;
image1525.wmf;
image1526.wmf

Ученикам разъясняется, как правильно выбрать треугольник, как делать его «обход».

Рассматривается еще одна задача.

Слайд 6.

AM=

image1527.wmf;
image1528.wmf

image1797.pngВ каком отношении отрезок BM делит отрезок AK?

Решение: пусть

image1529.wmf. Рассмотрим
image1530.wmfAKC и секущую BM.

image1531.wmf По теореме Менелая
image1532.wmf

Ответ: 2.

Рассмотрим еще одну теорему, связанную с пропорциональными отрезками в треугольнике – теорему Чевы.

Далее дается формулировка и доказательство теоремы для случая внутренней точки (см. главу 1) . Решается задача со слайда 7.

image1798.png

image1533.wmf

Найти

image1534.wmf.

Решение: по теореме Чевы для

image1535.wmfABC имеем
image1536.wmf

Ответ:

image1537.wmf=3:2.

III. Рефлексивно – оценочная часть.

Подводятся итоги урока, повторяются утверждения теорем, в листе с задачами по теме отмечаются задачи для домашней работы.

1. В треугольнике ABC на сторонах AB и BC взяты точки K и M; CK

image1538.wmfAM=O. Обозначим AK: KB= k, BM: MC= m, CO: OK= p, AO:OM= l. Пусть из четырех чисел k,m,p и l известны два. Найти два оставшихся числа, если

а) k=2, m=

image1539.wmf; в) k=3, p= 2; д) m=
image1540.wmf, l=
image1541.wmf;

б) k=

image1542.wmf, m=
image1543.wmf; г) k=2, l=3; е) p=2, l=1.

Ответы: а) p=

image1544.wmf, l=
image1545.wmf; б) p=5, l=1; в) m=
image1546.wmf, l=5; г) m=
image1547.wmf, p=3; д) k=
image1548.wmf, p=15; е) k=
image1549.wmf, m=2.

5. На сторонах AC и BC

image1550.wmfABC расположены соответственно точки N и M так, что AN:NC=k, BM:MC=m, прямые AM и CM пересекаются в точке O. Найти отношения

AO:OM, BO:ON. Ответ:

image1551.wmf

Урок 2 .Тема «Применение теорем Менелая и Чевы в решении ключевых задач».

Цели урока: формировать умения:

-видеть конфигурации, удовлетворяющие заданным условиям;

-решать задачи нестандартными способами;

-осуществлять поиск решения комплексных задач синтетическим методом;

-использовать теоремы в задачах на доказательство;

-развивать самостоятельность.

Ход урока.

I. Мотивационно – ориентировочная часть.

1. Актуализация знаний.

В начале урока повторяются формулировки изученных теорем. В качестве устного упражнения можно предложить выполнить следующее задание:

На следующих рисунках указать треугольник, секущую и точки ее пересечения с каждой стороной треугольника или продолжением:

image1552.png

image1799.pngДалее класс делится на 4 группы, решается задача 1.

В

image1553.wmfABC на сторонах AB, BC,AC взяты точки C
image1554.wmf, A
image1555.wmf,B
image1556.wmf соответственно. Отрезки BB
image1557.wmf,AA
image1558.wmf, CC
image1559.wmf пересекаются в точке O. CB
image1560.wmf: B
image1561.wmfA=p, CA
image1562.wmf: A
image1563.wmfB=q.

Найти :

image1564.wmf.

Каждая группа находит одно из указанных отношений, далее идет проверка результатов.

Учитель выборочно оценивает работы учеников.

2. Мотивация. Постановка учебной задачи.

Мы рассмотрели задачи на прямое применение теорем Менелая и Чевы.

На этом уроке мы научимся применять эти утверждения к задачам, в которых первоначально не указано отношение отрезков и рассмотрим утверждения, обратные теоремам Менелая и Чевы.

image1800.pngII. Содержательная часть.

Рассмотрим следующие задачи.

Задача2.В каком отношении делит сторону BC треугольника ABC прямая, проходящая через точку A и середину медианы, выходящей из B?

Задача 3.

Дано:

image1565.wmfABC; AE - биссектриса,

BD - медиана ; AB=2, AC=3;

Найти BF: FD

Ввиду того, что задачи эти были решены выше, здесь их решение опускаем.

Далее ставится вопрос о справедливости обратных утверждений. Записываются формулировки теорем, обратных теоремам Менелая и Чевы. Используя их, предложить доказать известное утверждение: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

III. Рефлексивно – оценочная часть.

1. Подведение итогов.

Итогом может служить небольшая проверочная работа, организовать которую поможет таблица (с.24). Два отношения в каждой задаче учитель задает учащимся, остальные они находят самостоятельно.

2. Домашнее задание.

1) Используя теоремы Чевы и Менелая, доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

2) Доказать, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

3)Стороны треугольника 5, 6 и 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.

Примечание : в зависимости от уровня подготовленности класса и при наличии времени учитель может провести урок-практикум решения задач, включив комбинированные задачи (см.п.2.1), которые будут также полезны учащимся, так как они способствуют обобщению методов, приемов решения задач темы.

Также в 10 классе при изучении темы «Задачи на построение сечений» в параграфе «Тетраэдр и параллелепипед» можно использовать задачи типа

В тетраэдре ABCD на ребрах AB, BD, DC взяты точки K,M,P соответственно так, что

image1566.wmf Через точки K,M и P проходит плоскость, пересекающая прямые AD,BC и CA в точках E,F и G. Найти
image1567.wmf Какие из точек E, F и G расположены на ребрах тетраэдра?

2.3 Применение теорем Менелая и Чевы в решении стереометрических задач.

Стереометрия – это геометрия в пространстве. В основном задачи по стереометрии сводятся к геометрическим задачам на плоскости, поскольку обычно требуемые элементы можно найти, сведя исходную задачу к нескольким планиметрическим.

Задачи эти довольно-таки трудны, здесь главное опыт. А знание теоремы Менелая – это просто находка для решения стереометрических задач.

Она может оказаться очень полезной при изучении темы «Объемы тел» в курсе геометрии 11 класса.

Ниже приведем несколько задач, предлагавшихся на вступительных экзаменах в вузы.

Владение методами их решения дает большое преимущество перед школьниками, которые не умеют решать такого рода задачи.

Задача 1. На продолжении ребра АС правильной треугольной пирамиды ABCD с вершиной D взята точка K так, что КА:КС=3:4, а на ребре DC взята точка L так, что DL:LC=2:1. В каком отношении делит объем пирамиды плоскость, проходящая через точки B, L и К?

Дано:DABC – правильная пирамида,

image1568.wmf,
image1569.wmf,
image1570.wmf,
image1571.wmf, BLK –

плоскость,

image1572.wmf - объем верхней части пирамиды,
image1573.wmf - объем нижней части пирамиды.

Найти:

image1574.wmf.

Решение:

1) Построим сечение пирамиды DABC плоскостью BLK.

image1575.wmfсоединяем,
image1576.wmfсоединяем,

image1577.wmf,
image1578.wmfсоединяем,
image1579.wmfMLB - искомое сечение (рис.48).

2) Найдем

image1580.wmf, где
image1581.wmf- объем всей пирамиды.

Пусть BH – высота пирамиды DABC, проведенная из вершины В, но она – высота и BMDL.

image1582.wmf; V=
image1583.wmf, V
image1584.wmf=
image1585.wmf;

image1586.wmf;

image1587.wmf,
image1588.wmf - ?

3) Из

image1589.wmfADC:
image1590.wmf,
image1591.wmf,
image1592.wmf,
image1593.wmf.

По теореме Менелая

image1594.wmf,
image1595.wmf.

image1596.wmf,
image1597.wmf,
image1598.wmf.

(или: во всем объеме пирамиды 33 части, в верхней – 16, значит, 33-16=17 – частей

составляет

image1599.wmf. Тогда
image1600.wmf) Ответ:
image1601.wmf.

Задача 2. Дана правильная четырехугольная пирамида

image1602.wmf с вершиной
image1603.wmf. На продолжении ребра
image1604.wmf взята точка
image1605.wmf так, что
image1606.wmf. Через точки М, В и середину ребра
image1607.wmf проведена плоскость. В каком отношении она делит объем пирамиды?

Решение:

1) Построим сечение плоскостью

image1608.wmf.
image1609.wmf(по условию).

а)

image1610.wmf, соединяем
image1611.wmf BL;

б)

image1612.wmf, соединяем
image1613.wmf LM;

в)

image1614.wmf, соединяем
image1615.wmf BM ,
image1616.wmf;
image1617.wmf, соединяем
image1618.wmf
image1619.wmf

г) четырехугольник BLEK – искомое сечение.

2) Обозначим объемы нижней части пирамиды, верхней части и всей пирамиды

image1620.wmf
image1621.wmf,
image1622.wmf и
image1623.wmf соответственно, сторону основания –
image1624.wmf.

image1625.wmf

image1626.wmf (
image1627.wmfMBC - прямоугольный)

image1628.wmf;
image1629.wmfMKD~
image1630.wmfMBC по двум углам
image1631.wmf
image1632.wmf;
image1633.wmf

image1634.wmf

3)

image1635.wmf�� EMBED Equation.3 image1636.wmf~
image1637.wmf�� EMBED Equation.3 image1638.wmfпо двум углам
image1639.wmf.

4) Рассмотрим

image1640.wmfMLC и секущую
image1641.wmf.
image1642.wmf.

По теореме Менелая

image1643.wmf;
image1644.wmf

Значит

image1645.wmf;
image1646.wmf.

5)

image1647.wmf.

6)

image1648.wmfSCH~
image1649.wmf
image1650.wmf по двум углам
image1651.wmf
image1652.wmf.

Пусть

image1653.wmf, тогда
image1654.wmf,
image1655.wmf.

image1656.wmf.

7)

image1657.wmf

image1658.wmf, т.е. V содержит 60 частей,
image1659.wmf
image1660.wmf на
image1661.wmf приходится 31 часть.
image1662.wmf

Ответ: 29:31

Задача 3. Дана правильная треугольная призма с боковыми ребрами

image1663.wmf,
image1664.wmf и
image1665.wmf. Причем на продолжении ребра
image1666.wmf взята точка
image1667.wmf так, что
image1668.wmf. Через точки
image1669.wmf,
image1670.wmf и середину ребра
image1671.wmf проведена плоскость. В каком отношении она делит объем призмы?

Решение:

1) Построение сечения:

а)

image1672.wmf, соединяем
image1673.wmfMB
image1674.wmf,
image1675.wmf.

б)

image1676.wmf, соединяем
image1677.wmf
image1678.wmf,
image1679.wmf.

в)

image1680.wmf, соединяем
image1681.wmf
image1682.wmf.

г) четырехугольник

image1683.wmf - искомое сечение.

2) Пусть

image1684.wmf,
image1685.wmf,
image1686.wmf - объемы нижней части, верхней части и всей призмы,
image1687.wmf - высота призмы,
image1688.wmf - сторона основания.

image1689.wmf;
image1690.wmf

image1691.wmfMLA~
image1692.wmf
image1693.wmf
image1694.wmf;
image1695.wmf
image1696.wmf

Рассмотрим

image1697.wmfABC,
image1698.wmf - секущая,
image1699.wmf.

По теореме Менелая

image1700.wmf.

image1701.wmf,
image1702.wmf,
image1703.wmf;
image1704.wmf,
image1705.wmf,
image1706.wmf,
image1707.wmf.

image1708.wmf

image1709.wmf

image1710.wmf

image1711.wmf,

image1712.wmf - части приходится на
image1713.wmf.
image1714.wmf .

Ответ: 13:23

Задачи для самостоятельного решения:

1. Дана правильная четырехугольная пирамида

image1715.wmf с вершиной
image1716.wmf. На продолжении ребра
image1717.wmf взята точка
image1718.wmf так, что
image1719.wmf. Через точку
image1720.wmf и середины ребер
image1721.wmf и
image1722.wmf проведена плоскость. В каком отношении она делит объем пирамиды?

2. Высота правильной призмы

image1723.wmf равна стороне ее основания. Точки
image1724.wmf и
image1725.wmf- середины ребер
image1726.wmf и
image1727.wmf соответственно. Найти площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки
image1728.wmf,
image1729.wmf и
image1730.wmf, если сторона основания равна
image1731.wmf.

3. В тетраэдре ZABC проведено сечение плоскостью. Точки M,N,P,Q принадлежат плоскости и ребрам ZA,AB,BC,CZ соответственно, причем ZM=

image1732.wmfMA, AN=
image1733.wmfNB, BP=
image1734.wmfPC, CQ=
image1735.wmfQZ. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?

4. Объем тетраэдра ZABC равен 7. Через середины ребер ZA и CB проведена плоскость, пересекающая ребро ZC в точке Q, а ребро AB – в точке L. При этом

ZQ:QC=2:5, AL:LB=2:5. Найдите площадь сечения тетраэдра указанной плоскостью, если расстояние до нее от вершины A равно 1.

Использовать приведенные задачи можно и на уроках заключительного повторения в 11 классе, причем здесь необходима целенаправленная работа по систематизации и углублению знаний учащихся. В работе можно использовать задания, приведенные в п.2.1, в приложении 2. Особое внимание нужно уделить планиметрическим задачам, так как они составляют основную массу задач вступительных экзаменов в вузы. Наличие заданий различной трудности позволит вести дифференцированную работу с учащимися.

Заключение

Крылатую фразу Козьмы Пруткова «Никто не обнимет необъятного» в полной мере можно отнести и к геометрии треугольника. В самом деле, треугольник, как кладезь прекрасных и поразительных геометрических конструкций, поистине неисчерпаем. Их пестрота и изобилие, с трудом поддающиеся какой – либо систематизации, не могут не восхищать[10, с.3].

Многие удивительные соотношения и изящные геометрические факты вошли

в основной курс планиметрии, некоторые замечательные теоремы включены в программу профильных классов.

Данная работа посвящена двум таким теоремам – теореме Менелая и теореме Чевы, которые позволяют решать многие, казалось бы, сложные математические задачи просто, красиво и понятно. Кроме того, здесь поднимается огромный пласт основных фактов и понятий школьного курса планиметрии: подобие треугольников; свойства и признаки параллельных прямых; метрические соотношения в треугольнике; окружность, описанная около треугольника и вписанная в него. Предложенный материал дает учащимся возможность познакомиться с интересными, нестандартными вопросами геометрии, с еще одним методом решения геометрических задач.

Рассматриваемые в работе вопросы выходят за рамки обязательного содержания. Вместе с тем, они тесно примыкают к основному курсу. Поэтому их изучение способствует совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, предусмотренных школьной программой, помогает оценить свои возможности по математике и более осознанно выбрать профиль дальнейшего обучения (9 класс), подготовиться к вступительным экзаменам (11 класс).

Предлагаемые в работе задачи интересны и часто не просты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию школьников. Эти задачи рассчитаны в первую очередь на учащихся, интересующихся математикой, желающих иметь хорошие навыки в решении геометрических задач. Вместе с тем, их содержание позволяет ученику любого уровня активно включиться в учебно - познавательный процесс и максимально проявить себя: занятия могут проводиться на высоком уровне сложности, но включать вопросы, доступные и интересные всем учащимся.

Думается, что представленный в работе материал будет полезен коллегам и может стать основой соответствующего теме элективного курса по выбору в системе предпрофильной подготовки по математике.

Литература.

1. Авдонин Н.И., Авдонина Е.П., Зорин В.А., Казимирова В.М.,

Новоженов М.М. Математика - 2000: Предварительное тестирование.-

Нижний Новгород, ННГУ, 2000- 237с.

2. Авдонин Н.И., Авдонина Е.П., Алексеев А.А., Калинин А.В.,

Новоженов М.М. Математика: Предварительное тестирование. – Нижний

Новгород: ННГУ, 2005.- 132с.

3. Алексеев В. Бородин П. и др. Планиметрия. Материалы вступительных

экзаменов в МГУ / Математика. Еженедельное приложение к газете « Первое

сентября», 2000,-№8.-с.18-22

4. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С. Б., Шестаков С.А., Юдина И.И.

Геометрия. Доп. главы к учебнику 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся школ и

классов с углубл. изуч. математики / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов,

С.Б.Кадомцев и др.-М.: Вита-пресс, 2004. - 208 с.

5. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И.

Геометрия: Учебник для 7-9 классов средней школы / Л.С. Атанасян,

В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1990. – 336с.

6. Иванов К.А. О пропорциональных отрезках в треугольнике / Математика в

школе, 2004. - №8. – с.20-25

7. Иванова Т.А., Перевощикова Е.Н., Григорьева Т.П., Кузнецова Л.И.

Теоретические основы обучения математике в средней школе: Учебное

пособие/Т.А Иванова, Е.Н. Перевощикова, Т.П. Григорьева, Л.И.Кузнецова;

под ред. проф. Т.А.Ивановой. – Н.Новгород: НГПУ, 2003. - 320с.

8. Качалкина Е.Применение теорем Чевы и Менелая/Математика. Издательский

дом «Первое сентября», 2004, - №13. – с.23-26

9. Качалкина Е. Применение теорем Чевы и Менелая / Математика.

Издательский дом «Первое сентября», 2004,- №14. – с.24-27

10.Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника. – Библиотека

«Математическое просвещение» - М.: Издательство Московского центра

непрерывного математического образования, 2002. – 32с.

11.Олимпиада Таланты Земли Нижегородской – Математика –

http://www.unn.ru/olimp/olimp/archiv/tzn 2004

12. Пантелеев В.П. Пропорциональные отрезки и то, что за ними/ Математика в

школе, 2004,- №8. – с.25-31

13.Портал естественных наук. Дополнительные соотношения между

элементами в треугольнике. – http://e-science.ru/math/theory

14. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Часть 1.- М.: Наука. Гл. ред. физ. –

мат. лит., 1991. – 320с.

15. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. – М.: Просвещение,

2005. – 254с.

16. Стандарт среднего (полного) общего образования по математике /

Математика в школе, 2004, - №4. – с.12-16

17. Тихов М.С., Алексеев А.А., Макеев Н.Г. Математика: 2006.

Предварительное тестирование. – Н.Новгород: ННГУ, 2006. – 67с.

18. Тихов М.С., Алексеев А.А. Математика:2006. Летнее тестирование. –

Нижний Новгород: Издательство Нижегородского университета, 2006. – 72с.

19. Ткачук В.В. Математика – абитуриенту. – М: МЦНМО, 2005. – 944с.

20. Фарков А.В. Учимся решать олимпиадные задачи. Геометрия. 5-11 классы/

А.В. Фарков. – М: Айрис-пресс, 2006. – 128с.

21. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: Интенсивный курс подготовки к

экзамену. – М: Айрис-пресс ,Рольф, 2001. – 416с.

22. Шарыгин И.Ф. Геометрия 7-9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб.завед.- М:

Дрофа, 2000. – 368с.

23. Шарыгин И.Ф. Планиметрия, 9-11 кл.: От учебной задачи к творческой:

Пособие для учащихся. – М: Дрофа, 2001. – 400с.

24. Шестаков С.А. Сборник задач для подготовки и проведения письменного

экзамена по алгебре за курс основной школы: 9-й кл. / С.А.Шестаков,

И.Р.Высоцкий, Л.И.Звавич; под ред. С.А.Шестакова.–М: АСТ:Астрель,2006.–

255с.

Приложение 1.

Разные задачи.

Попробуйте решить эти задачи с помощью теоремы Менелая.

1. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке Q. Через

точку Q проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках K и L

соответственно. Найти отношение DL:LC, если известно, что AK=KB,

BQ:QD=2:3, CQ:QA=3:4.

2.Диагонали выпуклого четырехугольника KLMN пересекаются в точке Q. Через

точку Q проведена прямая, пересекающая стороны KL и MN в точках A и B

соответственно. Найти отношение MQ:QN, если известно, что KA:BM=5:6,

LQ:QK=3:2, NB:AL=4:1.[2, с.61] (в указанной литературе приводится другой

способ решения).

3. Биссектриса угла A треугольника ABC делит медиану, проведенную из

вершины B, в отношении 5:4, считая от вершины B. В каком отношении,

считая от вершины C, эта биссектриса делит медиану, проведенную из

вершины C?

4. На стороне AC треугольника ABC выбрана точка B

image1736.wmf, а на стороне AB – точка

C

image1737.wmf так, что
image1738.wmf В каком отношении, считая от вершин

треугольника, точка пересечения отрезков BB

image1739.wmf и CC
image1740.wmf делит каждый из этих

отрезков?[24, с.189]

5. В тетраэдре ABCD через середины K и N ребер AD и BC проведена плоскость,

пересекающая ребра AB и CD соответственно в точках M и L. Площадь

четырехугольника KLMN равна 16, а

image1741.wmf
image1742.wmf. Вычислите

расстояние от вершины A до плоскости KLNM, если объем многогранника

NACLK равен 40.

6. В тетраэдре KLMN проведено сечение плоскостью. Точки A,B,C,D

принадлежат плоскости и ребрам KN,LN,LM и KM соответственно, причем

image1743.wmf
image1744.wmf и
image1745.wmf. Найти

отношение объемов частей, на которые плоскость ABCD делит тетраэдр.

7. В пирамиде ABCD проведено сечение KMLN так, что точка K лежит на ребре

AD, точка M – на ребре DC, точка N – на ребре AB, точка L - -на ребре BC, и O-

точка пересечения диагоналей KL и MN четырехугольника KMLN. Сечение

KMLN делит пирамиду на две части. Найти отношение объемов этих частей,

если известны следующие соотношения между длинами отрезков:

image1746.wmf
image1747.wmf
image1748.wmf[19, с.464]

_1226862336.unknown

_1227570668.unknown

_1228213718.unknown

_1228323857.unknown

_1228431578.unknown

_1228647866.unknown

_1228837114.unknown

_1229008444.unknown

_1229184624.unknown

_1231003705.unknown

_1382608297.unknown

_1382608844.unknown

_1382610304.unknown

_1382611546.unknown

_1382612465.unknown

_1382612803.unknown

_1382611925.unknown

_1382611212.unknown

_1382609060.unknown

_1382609094.unknown

_1382608900.unknown

_1382608484.unknown

_1382608793.unknown

_1382608389.unknown

_1231007125.unknown

_1382378938.unknown

_1382608208.unknown

_1382608219.unknown

_1382608077.unknown

_1231100212.unknown

_1231100290.unknown

_1231100093.unknown

_1231005623.unknown

_1231005646.unknown

_1231003719.unknown

_1229200966.unknown

_1229790867.unknown

_1229791449.unknown

_1229793421.unknown

_1229793536.unknown

_1229796312.unknown

_1229796346.unknown

_1229796272.unknown

_1229793490.unknown

_1229791468.unknown

_1229791033.unknown

_1229791061.unknown

_1229790897.unknown

_1229685535.unknown

_1229777916.unknown

_1229790822.unknown

_1229685554.unknown

_1229685477.unknown

_1229685501.unknown

_1229201277.unknown

_1229186937.unknown

_1229188060.unknown

_1229188258.unknown

_1229192074.unknown

_1229188160.unknown

_1229187147.unknown

_1229187249.unknown

_1229187044.unknown

_1229185634.unknown

_1229186216.unknown

_1229186283.unknown

_1229186189.unknown

_1229184959.unknown

_1229185033.unknown

_1229184660.unknown

_1229184640.unknown

_1229008778.unknown

_1229172651.unknown

_1229180418.unknown

_1229180844.unknown

_1229183929.unknown

_1229184435.unknown

_1229180977.unknown

_1229180647.unknown

_1229180753.unknown

_1229180607.unknown

_1229174092.unknown

_1229179729.unknown

_1229179896.unknown

_1229179956.unknown

_1229174147.unknown

_1229174953.unknown

_1229179274.unknown

_1229174981.unknown

_1229174839.unknown

_1229174889.unknown

_1229174117.unknown

_1229172917.unknown

_1229173239.unknown

_1229174047.unknown

_1229172994.unknown

_1229172737.unknown

_1229172829.unknown

_1229172678.unknown

_1229009359.unknown

_1229016238.unknown

_1229016492.unknown

_1229016552.unknown

_1229017142.unknown

_1229017378.unknown

_1229172632.unknown

_1229017293.unknown

_1229017377.unknown

_1229016783.unknown

_1229017006.unknown

_1229016577.unknown

_1229016519.unknown

_1229016535.unknown

_1229016508.unknown

_1229016455.unknown

_1229016475.unknown

_1229016407.unknown

_1229016179.unknown

_1229016194.unknown

_1229016204.unknown

_1229016186.unknown

_1229009363.unknown

_1229016170.unknown

_1229016161.unknown

_1229009361.unknown

_1229009226.unknown

_1229009254.unknown

_1229009269.unknown

_1229009356.unknown

_1229009358.unknown

_1229009279.unknown

_1229009261.unknown

_1229009240.unknown

_1229009248.unknown

_1229009233.unknown

_1229008955.unknown

_1229008984.unknown

_1229009016.unknown

_1229009109.unknown

_1229009111.unknown

_1229009112.unknown

_1229009110.unknown

_1229009107.unknown

_1229009108.unknown

_1229009106.unknown

_1229009105.unknown

_1229008999.unknown

_1229009007.unknown

_1229008991.unknown

_1229008969.unknown

_1229008976.unknown

_1229008962.unknown

_1229008805.unknown

_1229008828.unknown

_1229008857.unknown

_1229008821.unknown

_1229008791.unknown

_1229008798.unknown

_1229008784.unknown

_1229008623.unknown

_1229008710.unknown

_1229008741.unknown

_1229008763.unknown

_1229008771.unknown

_1229008748.unknown

_1229008725.unknown

_1229008733.unknown

_1229008717.unknown

_1229008661.unknown

_1229008684.unknown

_1229008702.unknown

_1229008669.unknown

_1229008639.unknown

_1229008653.unknown

_1229008630.unknown

_1229008513.unknown

_1229008589.unknown

_1229008604.unknown

_1229008615.unknown

_1229008597.unknown

_1229008566.unknown

_1229008582.unknown

_1229008550.unknown

_1229008475.unknown

_1229008495.unknown

_1229008504.unknown

_1229008485.unknown

_1229008446.unknown

_1229008451.unknown

_1229008459.unknown

_1229008448.unknown

_1229008445.unknown

_1228847356.unknown

_1228862539.unknown

_1229008261.unknown

_1229008325.unknown

_1229008350.unknown

_1229008441.unknown

_1229008443.unknown

_1229008439.unknown

_1229008440.unknown

_1229008358.unknown

_1229008343.unknown

_1229008297.unknown

_1229008306.unknown

_1229008288.unknown

_1229001878.unknown

_1229008131.unknown

_1229008167.unknown

_1229008214.unknown

_1229008252.unknown

_1229008178.unknown

_1229008151.unknown

_1229006869.unknown

_1229007927.unknown

_1229008037.unknown

_1229008093.unknown

_1229008022.unknown

_1229007216.unknown

_1229003332.unknown

_1229006754.unknown

_1229002884.unknown

_1228998304.unknown

_1229000385.unknown

_1229000941.unknown

_1228998976.unknown

_1228862549.unknown

_1228862562.unknown

_1228856812.unknown

_1228862492.unknown

_1228862510.unknown

_1228857144.unknown

_1228857389.unknown

_1228862333.unknown

_1228857301.unknown

_1228854133.unknown

_1228856622.unknown

_1228856683.unknown

_1228856759.unknown

_1228855459.unknown

_1228853115.unknown

_1228853325.unknown

_1228853603.unknown

_1228853132.unknown

_1228848001.unknown

_1228837822.unknown

_1228838073.unknown

_1228838394.unknown

_1228838462.unknown

_1228838769.unknown

_1228838904.unknown

_1228838436.unknown

_1228838278.unknown

_1228838316.unknown

_1228838252.unknown

_1228837933.unknown

_1228838018.unknown

_1228837847.unknown

_1228837358.unknown

_1228837684.unknown

_1228837803.unknown

_1228837667.unknown

_1228837187.unknown

_1228837334.unknown

_1228837155.unknown

_1228670996.unknown

_1228764548.unknown

_1228768271.unknown

_1228768820.unknown

_1228769475.unknown

_1228837082.unknown

_1228768982.unknown

_1228768546.unknown

_1228768637.unknown

_1228768306.unknown

_1228765348.unknown

_1228767991.unknown

_1228768250.unknown

_1228766965.unknown

_1228764843.unknown

_1228765097.unknown

_1228765168.unknown

_1228765214.unknown

_1228765331.unknown

_1228765182.unknown

_1228765142.unknown

_1228764879.unknown

_1228764751.unknown

_1228764781.unknown

_1228764596.unknown

_1228675939.unknown

_1228676212.unknown

_1228763268.unknown

_1228764161.unknown

_1228764339.unknown

_1228763899.unknown

_1228679561.unknown

_1228679958.unknown

_1228763249.unknown

_1228679979.unknown

_1228679611.unknown

_1228676611.unknown

_1228676686.unknown

_1228676514.unknown

_1228676042.unknown

_1228676065.unknown

_1228675949.unknown

_1228672454.unknown

_1228675723.unknown

_1228675912.unknown

_1228675927.unknown

_1228675733.unknown

_1228673303.unknown

_1228675257.unknown

_1228675525.unknown

_1228673426.unknown

_1228673435.unknown

_1228673608.unknown

_1228673379.unknown

_1228673110.unknown

_1228673199.unknown

_1228673080.unknown

_1228671296.unknown

_1228671346.unknown

_1228672359.unknown

_1228671327.unknown

_1228671162.unknown

_1228671213.unknown

_1228671046.unknown

_1228656675.unknown

_1228658640.unknown

_1228659572.unknown

_1228659815.unknown

_1228659992.unknown

_1228660101.unknown

_1228660150.unknown

_1228660053.unknown

_1228659850.unknown

_1228659724.unknown

_1228659763.unknown

_1228659716.unknown

_1228659037.unknown

_1228659513.unknown

_1228659553.unknown

_1228659122.unknown

_1228658760.unknown

_1228658807.unknown

_1228658705.unknown

_1228658368.unknown

_1228658420.unknown

_1228658551.unknown

_1228658374.unknown

_1228658167.unknown

_1228658284.unknown

_1228656795.unknown

_1228655980.unknown

_1228656458.unknown

_1228656579.unknown

_1228656622.unknown

_1228656532.unknown

_1228656200.unknown

_1228656388.unknown

_1228656171.unknown

_1228650513.unknown

_1228651969.unknown

_1228655910.unknown

_1228655918.unknown

_1228653220.unknown

_1228654146.unknown

_1228654669.unknown

_1228653691.unknown

_1228652380.unknown

_1228651019.unknown

_1228651874.unknown

_1228650684.unknown

_1228648063.unknown

_1228648128.unknown

_1228647990.unknown

_1228433997.unknown

_1228463497.unknown

_1228644042.unknown

_1228645849.unknown

_1228647424.unknown

_1228647750.unknown

_1228647763.unknown

_1228647563.unknown

_1228646272.unknown

_1228646602.unknown

_1228647364.unknown

_1228646704.unknown

_1228646577.unknown

_1228646505.unknown

_1228645983.unknown

_1228646002.unknown

_1228645956.unknown

_1228644789.unknown

_1228644941.unknown

_1228644828.unknown

_1228644914.unknown

_1228644265.unknown

_1228644734.unknown

_1228644185.unknown

_1228476076.unknown

_1228476207.unknown

_1228643732.unknown

_1228643885.unknown

_1228643452.unknown

_1228643572.unknown

_1228476171.unknown

_1228476190.unknown

_1228476148.unknown

_1228476132.unknown

_1228475850.unknown

_1228476016.unknown

_1228476050.unknown

_1228475886.unknown

_1228475252.unknown

_1228475831.unknown

_1228472034.unknown

_1228437438.unknown

_1228462733.unknown

_1228462825.unknown

_1228463326.unknown

_1228463444.unknown

_1228462859.unknown

_1228463006.unknown

_1228462153.unknown

_1228462366.unknown

_1228462478.unknown

_1228462561.unknown

_1228462249.unknown

_1228461544.unknown

_1228461931.unknown

_1228461811.unknown

_1228461238.unknown

_1228461253.unknown

_1228437480.unknown

_1228436840.unknown

_1228437230.unknown

_1228437325.unknown

_1228437136.unknown

_1228436781.unknown

_1228434510.unknown

_1228435457.unknown

_1228434479.unknown

_1228432561.unknown

_1228432871.unknown

_1228433284.unknown

_1228433424.unknown

_1228433553.unknown

_1228433759.unknown

_1228433760.unknown

_1228433640.unknown

_1228433460.unknown

_1228433356.unknown

_1228433379.unknown

_1228433310.unknown

_1228433066.unknown

_1228433134.unknown

_1228433251.unknown

_1228433100.unknown

_1228432974.unknown

_1228433030.unknown

_1228432944.unknown

_1228432676.unknown

_1228432786.unknown

_1228432816.unknown

_1228432709.unknown

_1228432619.unknown

_1228432643.unknown

_1228432592.unknown

_1228432121.unknown

_1228432386.unknown

_1228432473.unknown

_1228432528.unknown

_1228432423.unknown

_1228432324.unknown

_1228432359.unknown

_1228432291.unknown

_1228431985.unknown

_1228432062.unknown

_1228432092.unknown

_1228432030.unknown

_1228431803.unknown

_1228431833.unknown

_1228431756.unknown

_1228326051.unknown

_1228326687.unknown

_1228327406.unknown

_1228417132.unknown

_1228430471.unknown

_1228430747.unknown

_1228431472.unknown

_1228431497.unknown

_1228430783.unknown

_1228430612.unknown

_1228430692.unknown

_1228430567.unknown

_1228418266.unknown

_1228418532.unknown

_1228421353.unknown

_1228418454.unknown

_1228417730.unknown

_1228417797.unknown

_1228417540.unknown

_1228327569.unknown

_1228327594.unknown

_1228327439.unknown

_1228326790.unknown

_1228326843.unknown

_1228326718.unknown

_1228326435.unknown

_1228326464.unknown

_1228326622.unknown

_1228326449.unknown

_1228326341.unknown

_1228326393.unknown

_1228326319.unknown

_1228325722.unknown

_1228325926.unknown

_1228326000.unknown

_1228325874.unknown

_1228325413.unknown

_1228325454.unknown

_1228324118.unknown

_1228324865.unknown

_1228215386.unknown

_1228217572.unknown

_1228219653.unknown

_1228219932.unknown

_1228220270.unknown

_1228220381.unknown

_1228220838.unknown

_1228221035.unknown

_1228220609.unknown

_1228220325.unknown

_1228219988.unknown

_1228220133.unknown

_1228219958.unknown

_1228219855.unknown

_1228219915.unknown

_1228219742.unknown

_1228218912.unknown

_1228219264.unknown

_1228219269.unknown

_1228219005.unknown

_1228218954.unknown

_1228218018.unknown

_1228218126.unknown

_1228217755.unknown

_1228216421.unknown

_1228216608.unknown

_1228216741.unknown

_1228216514.unknown

_1228216033.unknown

_1228216400.unknown

_1228215710.unknown

_1228214262.unknown

_1228214454.unknown

_1228214644.unknown

_1228214683.unknown

_1228214537.unknown

_1228214352.unknown

_1228214435.unknown

_1228214277.unknown

_1228213983.unknown

_1228214182.unknown

_1228214227.unknown

_1228214124.unknown

_1228213808.unknown

_1228213830.unknown

_1228213755.unknown

_1228209282.unknown

_1228212563.unknown

_1228213309.unknown

_1228213560.unknown

_1228213636.unknown

_1228213665.unknown

_1228213598.unknown

_1228213379.unknown

_1228213464.unknown

_1228213333.unknown

_1228212802.unknown

_1228213240.unknown

_1228213288.unknown

_1228213136.unknown

_1228212627.unknown

_1228212681.unknown

_1228212595.unknown

_1228210207.unknown

_1228212182.unknown

_1228212393.unknown

_1228212419.unknown

_1228212214.unknown

_1228210273.unknown

_1228210545.unknown

_1228210965.unknown

_1228211328.unknown

_1228210864.unknown

_1228210468.unknown

_1228210251.unknown

_1228209926.unknown

_1228210122.unknown

_1228210149.unknown

_1228209950.unknown

_1228210087.unknown

_1228209425.unknown

_1228209815.unknown

_1228209315.unknown

_1227887806.unknown

_1228208395.unknown

_1228208620.unknown

_1228209111.unknown

_1228209142.unknown

_1228208645.unknown

_1228208435.unknown

_1228208530.unknown

_1228208413.unknown

_1228207896.unknown

_1228208330.unknown

_1228208377.unknown

_1228207915.unknown

_1227892846.unknown

_1228207794.unknown

_1228207841.unknown

_1228207855.unknown

_1228207828.unknown

_1228207699.unknown

_1228207778.unknown

_1228205999.unknown

_1228206071.unknown

_1227892912.unknown

_1228205940.unknown

_1227888221.unknown

_1227888747.unknown

_1227888137.unknown

_1227625783.unknown

_1227884807.unknown

_1227885038.unknown

_1227885624.unknown

_1227887695.unknown

_1227885144.unknown

_1227885574.unknown

_1227885089.unknown

_1227884998.unknown

_1227626754.unknown

_1227636115.unknown

_1227882388.unknown

_1227628856.unknown

_1227628551.unknown

_1227628822.unknown

_1227626861.unknown

_1227626110.unknown

_1227626589.unknown

_1227620868.unknown

_1227620999.unknown

_1227462636.unknown

_1227550804.unknown

_1227566784.unknown

_1227569615.unknown

_1227569923.unknown

_1227570037.unknown

_1227570081.unknown

_1227570131.unknown

_1227569959.unknown

_1227569640.unknown

_1227567035.unknown

_1227569505.unknown

_1227566952.unknown

_1227557279.unknown

_1227557573.unknown

_1227565831.unknown

_1227557425.unknown

_1227557547.unknown

_1227555178.unknown

_1227555350.unknown

_1227550856.unknown

_1227551028.unknown

_1227469398.unknown

_1227469458.unknown

_1227465990.unknown

_1227466284.unknown

_1227466267.unknown

_1227464883.unknown

_1227465271.unknown

_1227465360.unknown

_1227465008.unknown

_1227464628.unknown

_1227115428.unknown

_1227462246.unknown

_1227462518.unknown

_1227462582.unknown

_1227462269.unknown

_1227457459.unknown

_1227457474.unknown

_1227457822.unknown

_1227462201.unknown

_1227456552.unknown

_1227456750.unknown

_1227116059.unknown

_1227433096.unknown

_1227115541.unknown

_1227115870.unknown

_1226940784.unknown

_1227114217.unknown

_1227115000.unknown

_1227115184.unknown

_1227114635.unknown

_1226942941.unknown

_1226947064.unknown

_1226947606.unknown

_1226947635.unknown

_1226947529.unknown

_1226947561.unknown

_1226946982.unknown

_1226945671.unknown

_1226946744.unknown

_1226943701.unknown

_1226942304.unknown

_1226942527.unknown

_1226942923.unknown

_1226942693.unknown

_1226942594.unknown

_1226941608.unknown

_1226941655.unknown

_1226941699.unknown

_1226938553.unknown

_1226940747.unknown

_1226866632.unknown

_1226866048.unknown

_1226866102.unknown

_1226862475.unknown

_1225617879.unknown

_1226524431.unknown

_1226857017.unknown

_1226857951.unknown

_1226858199.unknown

_1226858281.unknown

_1226858074.unknown

_1226857853.unknown

_1226857057.unknown

_1226857142.unknown

_1226524908.unknown

_1226823768.unknown

_1226823834.unknown

_1226525102.unknown

_1226823406.unknown

_1226823469.unknown

_1226822924.unknown

_1226524998.unknown

_1226524496.unknown

_1226524630.unknown

_1226519359.unknown

_1226524326.unknown

_1226524344.unknown

_1226521569.unknown

_1226521607.unknown

_1226520000.unknown

_1226519679.unknown

_1226519816.unknown

_1226519632.unknown

_1226517322.unknown

_1226518124.unknown

_1226518809.unknown

_1226519137.unknown

_1226518759.unknown

_1226517443.unknown

_1226514026.unknown

_1226515085.unknown

_1226515601.unknown

_1226515690.unknown

_1226514725.unknown

_1226514548.unknown

_1225747090.unknown

_1225747770.unknown

_1225748295.unknown

_1225747315.unknown

_1225747062.unknown

_1225483195.unknown

_1225486329.unknown

_1225528838.unknown

_1225530101.unknown

_1225616569.unknown

_1225616799.unknown

_1225530892.unknown

_1225615461.unknown

_1225529767.unknown

_1225529876.unknown

_1225529658.unknown

_1225527626.unknown

_1225527983.unknown

_1225528636.unknown

_1225528128.unknown

_1225528211.unknown

_1225527555.unknown

_1225526813.unknown

_1225527129.unknown

_1225527197.unknown

_1225527448.unknown

_1225527179.unknown

_1225527084.unknown

_1225486709.unknown

_1225526760.unknown

_1225486661.unknown

_1225485110.unknown

_1225485754.unknown

_1225486053.unknown

_1225486150.unknown

_1225485922.unknown

_1225485304.unknown

_1225485627.unknown

_1225485213.unknown

_1225484700.unknown

_1225485047.unknown

_1225485072.unknown

_1225484799.unknown

_1225483493.unknown

_1225484605.unknown

_1225484260.unknown

_1225484341.unknown

_1225483342.unknown

_1225444738.unknown

_1225479940.unknown

_1225482646.unknown

_1225482944.unknown

_1225483153.unknown

_1225482803.unknown

_1225480090.unknown

_1225480827.unknown

_1225480900.unknown

_1225480186.unknown

_1225479997.unknown

_1225476973.unknown

_1225477026.unknown

_1225479794.unknown

_1225479886.unknown

_1225479921.unknown

_1225479838.unknown

_1225478898.unknown

_1225479100.unknown

_1225478856.unknown

_1225445887.unknown

_1225446848.unknown

_1225446997.unknown

_1225446382.unknown

_1225446411.unknown

_1225445910.unknown

_1225446217.unknown

_1225445251.unknown

_1225445405.unknown

_1225445856.unknown

_1225445298.unknown

_1225444763.unknown

_1225437097.unknown

_1225437620.unknown

_1225438918.unknown

_1225444710.unknown

_1225438939.unknown

_1225438077.unknown

_1225438172.unknown

_1225438443.unknown

_1225437884.unknown

_1225437346.unknown

_1225437506.unknown

_1225437540.unknown

_1225437473.unknown

_1225437179.unknown

_1225437236.unknown

_1225437120.unknown

_1225356079.unknown

_1225433414.unknown

_1225433473.unknown

_1225433552.unknown

_1225432424.unknown

_1225433098.unknown

_1225433171.unknown

_1225432109.unknown

_1225300496.unknown

_1225355195.unknown

_1225355699.unknown

_1225340340.unknown

_1225354849.unknown

_1225285470.unknown

_1225296295.unknown

_1225298478.unknown

_1225298637.unknown

_1225298397.unknown

_1225297952.unknown

_1225297989.unknown

_1225285520.unknown

_1225294344.unknown

_1225284979.unknown

Государственное образовательное учреждение дополнительного

профессионального образования

Нижегородский институт развития образования

Кафедра теории и методики обучения математике

Теорема Менелая и теорема Чевы

в школьном курсе математики

Выполнила:

Колина Наталья

Константиновна

МБОУ СОШ №17

г. Заволжья

Городецкого района

Н.Новгород

Содержание

стр

Введение…………………………………………………………………………… 3

Глава 1. Теоретические основы темы «Теорема Менелая и

теорема Чевы»

1.1. Теорема Чевы…………………………………………………………………… 6

1.2. Теорема Чевы в форме синусов……………………………………………......10

1.3. Теорема Менелая……………………………………………………………......10

Глава 2. Методические рекомендации к изучению темы

в школьном курсе математики

2.1. Методика обучения решению задач в период

предпрофильной подготовки…………………………………………………..14

2.2. Изучение темы «Теорема Менелая и теорема Чевы»

в курсе геометрии 10 класса……………………………………………………36

2.3. Применение теорем Менелая и Чевы в решении

стереометрических задач……………………………………………………….41

Заключение …………………………………………………………………………46

Литература………………………………………………………………………......47

Приложение................................................................................................................49

Введение.

Общеизвестно, что геометрическая линия является одной из центральных линий курса математики. Она предполагает систематическое изучение свойств геометрических фигур на плоскости, формирование пространственных представлений, развитие логического мышления и подготовку аппарата, необходимого для изучения смежных дисциплин и курса стереометрии.

В геометрических задачах, в отличие от задач алгебраических, далеко не всегда удается указать рецепт решения, алгоритм, приводящий к успеху. Здесь, помимо формального знания многочисленных соотношений между элементами геометрических фигур, необходимо иметь интуицию и опыт[21,с.222]. Важно уметь смотреть и видеть, замечать различные особенности фигур, делать выводы из замеченных особенностей, предвидеть возможные дополнительные построения, облегчающие анализ задачи. «Умение решать задачи - такое же практическое искусство, как умение плавать или бегать. Ему можно научиться только путем подражания или упражнения»,- писал Д. Пойа.

Одним из интереснейших разделов элементарной геометрии справедливо считается геометрия треугольника. Треугольники изучаются на протяжении всего курса планиметрии. Их изучение начинается с признаков равенства треугольников, центральное место курса занимают метрические соотношения в треугольниках, рассматривается серия теорем о «замечательных точках» в треугольниках, изучаются подобные треугольники.

Это не случайно. Несмотря на то, что треугольник едва ли не простейшая после отрезка фигура, он имеет много важных и интереснейших свойств, к которым сводятся свойства других, более сложных фигур. Среди теорем о треугольниках есть такие, изучение которых позволяет существенно расширить круг геометрических задач, решаемых школьниками. Значение их состоит прежде всего в том, что из них или с их помощью можно вывести большинство теорем геометрии, они служат основой многих дальнейших выводов. Таковыми являются теорема Пифагора, теорема синусов, теорема косинусов и т.д. С понятием треугольника связаны имена многих выдающихся ученых: теорема Пифагора, формула Герона, прямая Эйлера, теорема Карно и многие другие.

Но в геометрии треугольника много и таких теорем, авторы которых остались в истории науки только «благодаря треугольникам». Речь идет о двух таких теоремах – теореме Чевы и теореме Менелая. Они не входят в школьный курс математики основной школы, включены в программу профильного курса изучения геометрии в 10 классе. При этом обе они имеют интересные и многочисленные приложения, позволяют легко и изящно решать целый класс задач.

С темой «Теорема Менелая и теорема Чевы» учащиеся впервые встречаются в курсе геометрии 10 класса профильного уровня, причем из 17 часов, отведенных на изучение главы «Геометрия на плоскости», ей уделяется всего 2 часа. Понятно, что за такое время можно лишь ознакомиться с теоремами и рассмотреть их применение к простейшим задачам. Для формирования умений различать этот тип задач, решать их нужно время и соответствующая система упражнений. Не удивительно, что учащиеся быстро забывают факты, связанные с этими утверждениями.

Все это наводит на мысль о том, что полезно начинать знакомить учащихся с подобными теоремами и задачами намного раньше - еще в период предпрофильной подготовки, в 8-9 классах - параллельно с соответствующими разделами школьной программы по математике. Очевидно, в рамках уроков это сделать не удастся из-за той же нехватки времени. Здесь смогут помочь элективные курсы, факультативные занятия, математические кружки.

Данная работа написана на основе практических занятий с учащимися выпускных классов: в девятых классах (2004-2006 г.г.) - в рамках факультатива с учениками, проявляющими повышенный интерес к предмету; в 11 классе (2001-2005 г.г.) – в ходе довузовской подготовки, а также в 10 классе (2006 г.) - в соответствии с программой класса естественнонаучного профиля.

Многие из разобранных задач предлагались на подготовительных курсах, вступительных экзаменах в МГУ, МФТИ, ННГУ. Часть задач взята из сборников, указанных в списке литературы. Представленный в работе материал начал изучаться в 2000 году; после выступления на районном семинаре учителей- математиков в 2003 году разработками начали пользоваться и коллеги.

Основные цели работы:

- анализ учебной и методической литературы по изучаемой теме;

- изучение опыта учителей, работающих в этом направлении;

- анализ и обобщение личного опыта, выдача практических рекомендаций, которые могут быть использованы учителями при решении данной проблемы.

В главе I «Теоретические основы темы «Теорема Менелая и теорема Чевы»» рассматриваются теоретические вопросы, причем более углубленно, чем предусмотрено «Программой для классов с углубленным изучением математики». Это позволяет варьировать, дозировать изучение материала в зависимости от степени подготовленности класса.

В главе II «Методические рекомендации к изучению темы «Теоремы Менелая и Чевы» в школьном курсе математики» предложена модель обучения решению задач на пропорциональное деление отрезков. Известно, что их можно решать разными способами: методом подобия, методом площадей, с помощью геометрии масс или векторным методом. В работе же представлен еще один, довольно простой метод решения - с использованием теорем Менелая и Чевы.

Обучение решению геометрических задач с применением теорем Менелая и Чевы предлагается провести в 3 этапа:

1 этап – в период предпрофильной подготовки, в 8-9 классах, познакомить учащихся с теоремами и сформировать умения решать ключевые задачи темы;

2 этап – рассмотреть соответствующие вопросы в школьном курсе геометрии 10 класса профильного уровня;

3 этап – после изучения основ стереометрии показать, как «работают» теоремы в решении стереометрических задач.

Предложенная система упражнений удовлетворяет следующим требованиям:

1) задачи разделены по видам: а) по характеру требования- задачи на доказательство, на вычисление или нахождение; б) по отношению к способу решения - стандартные и нестандартные;

2) среди упражнений достаточное число дидактических, то есть одно-, двухшаговых заданий для реализации этапа осознания, осмысления изучаемого материала, направленных на формирование умений;

3) включены комплексные задачи, то есть задачи, при решении которых используются знания, полученные при изучении не только данной, но и предыдущих тем, а также при изучении других разделов математики;

4) в систему задач входят и задачи, специально направленные на формирование положительных качественных характеристик ума: задачи с нестандартной постановкой вопроса, задачи, допускающие несколько способов решения;

5) задачи рассчитаны на учащихся с различными уровнями подготовленности, что обеспечивает соблюдение принципа посильных трудностей.[7, с.203-204]

Глава 1. Теоретические основы темы «Теорема Менелая и теорема Чевы ».

«Все незначительное нужно,

чтобы значительному быть…»

И. Северянин.

1.1. Теорема Чевы.

Мы знаем, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Поставим теперь общий вопрос. Рассмотрим

image1801.pngABC и отметим на его сторонах BC, AC и AB (или их продолжениях) соответственно точки A
image2.wmf,B
image3.wmfи C
image4.wmf( рис.1).

При каком расположении этих точек прямые AA

image5.wmf, BB
image6.wmf и CC
image7.wmf пересекутся в одной точке?

Ответ на этот вопрос нашел в 1678 году итальянский инженер-гидравлик Джованни Чева (1698г.-1734г.). Чева создал учение о секущих, положившее начало новой синтетической геометрии. Известна его работа «О взаимном расположении пересекающихся прямых» (1678г.) и теорема Чевы о соотношениях отрезков в треугольнике.

image8.png

(Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противолежащих сторонах, называют чевианами - понятно, почему).

Сформулируем теорему Чевы.

Теорема. Пусть в

image9.wmfABC на сторонах BC,AC и AB или их продолжениях взяты соответственно точки A
image10.wmf,B
image11.wmf и C
image12.wmf, не совпадающие с вершинами треугольника. Прямые AA
image13.wmf, CC
image14.wmf и BB
image15.wmf пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда выполняется равенство

image16.wmf
image17.wmf.
image18.wmf.
image19.wmf=1 (
image20.wmf)

Доказательство. Следует заметить, что формулировка теоремы Чевы содержит два взаимно обратных утверждения.

Необходимость. Пусть AA

image21.wmf, BB
image22.wmf, CC
image23.wmf пересекаются в точке O. Докажем справедливость равенства (
image24.wmf) .

1) Рассмотрим сначала случай внутренней точки O (рис.1а), при котором точки A

image25.wmf,B
image26.wmf,C
image27.wmf лежат на отрезках BC,AC и AB соответственно.

Проведем через вершину B прямую a ll AC (рис.2). Пусть AA

image28.wmfa =M,

image1.wmf CC

image29.wmf a=N.

Замечаем, что

image30.wmfAA
image31.wmfC~
image32.wmfMA
image33.wmfB по I признаку (
image34.wmfAA
image35.wmfC=
image36.wmf MA
image37.wmfB как вертикальные,
image38.wmfCAA
image39.wmf=
image40.wmfBMA
image41.wmf как накрест лежащие при параллельных прямых а, АС и секущей АМ).

image1749.pngТогда

image42.wmf=
image43.wmf (1) .

Аналогично

из подобия

image44.wmfAC
image45.wmfC и
image46.wmfBC
image47.wmfN по I признаку имеем
image48.wmf=
image49.wmf (2);

image50.wmfAOB
image51.wmf~
image52.wmfMOB
image53.wmf
image54.wmf=
image55.wmf (3)

image56.wmfB
image57.wmfOC~
image58.wmfBON
image59.wmf
image60.wmf=
image61.wmf (4)

Из (3) и (4) получаем

image62.wmf=
image63.wmf или
image64.wmf=
image65.wmf (5)

Перемножив соответственно левые и правые части равенств (1), (2) и (5), получим равенство(

image66.wmf):

image1750.png

image67.wmf.
image68.wmf.
image69.wmf=
image70.wmf.
image71.wmf.
image72.wmf=1. Необходимость доказана.

Примечание 1: равенство (

image73.wmf) можно получить, заменив отношения отрезков в его левой части на отношение площадей. Считаю целесообразным привести другое

доказательство.

Итак, вернемся к (рис.1а), заметим, что

image74.wmfAOB и
image75.wmfCOB

рис.3 имеют общую сторону BO.

Их высоты AL и CK соответственно (рис.3).

image76.wmfAB
image77.wmfL~
image78.wmfCB
image79.wmfK,
image80.wmf=
image81.wmf.

Тогда

image82.wmf�� EMBED Equation.3 image83.wmf=
image84.wmf=
image85.wmf=
image86.wmf.

Аналогично,

image87.wmfAOC и
image88.wmfCOB имеют общую сторону OC .

image1751.png

image89.wmf=
image90.wmf. Наконец,
image91.wmf=
image92.wmf.

Перемножая эти три равенства, получаем 1=

image93.wmf.
image94.wmf.
image95.wmf=
image96.wmf.
image97.wmf.
image98.wmf,что соответствует (
image99.wmf) [19,с.87].

2) Рассуждая аналогично для случая внешней точки O (рис1б), замечаем, что теорема Чевы остается справедливой для точек A

image100.wmf,B
image101.wmf,C
image102.wmf, одна из которых принадлежит стороне треугольника, а две другие – продолжениям сторон. Действительно, пусть AL -высота в
image103.wmfAOB ,проведенная из вершины A, CK- высота в
image104.wmfCOB, проведенная из вершины C, OB – их общая сторона (рис.4).

image105.wmf=
image106.wmf. Из подобия
image107.wmfAB
image108.wmfL и
image109.wmfСB
image110.wmfK по I признаку имеем
image111.wmf=
image112.wmf�� EMBED Equation.3 image113.wmf�� EMBED Equation.3 image114.wmf=
image115.wmf. Аналогично,
image116.wmf=
image117.wmf,
image118.wmf=
image119.wmf. Перемножая, получаем нужное равенство. Следует только помнить, что при составлении отношений, выходя из вершины треугольника, мы сначала идем в точку деления(A
image120.wmf,B
image121.wmfили C
image122.wmf соответственно) - она может быть расположена вне стороны треугольника - а потом к очередной вершине; заканчивать необходимо в той же вершине, с которой начали.

Примечание 2: можно сообщить теорему Чевы учащимся уже в 8 классе (общеобразовательный класс, факультатив, кружок) после изучения темы «Площадь треугольника». Тогда доказательство можно провести следующим образом.

Так как

image123.wmfABB
image124.wmf и
image125.wmfB
image126.wmfBC (рис.1а) имеют равные высоты, то их площади относятся как основания, то есть
image127.wmf=
image128.wmf�� EMBED Equation.3 image129.wmfS
image130.wmf=
image131.wmf.S
image132.wmf

Аналогично,

image133.wmf=
image134.wmf
image135.wmf S
image136.wmf=
image137.wmf.S
image138.wmf

Тогда

image139.wmf=
image140.wmf=
image141.wmf=
image142.wmf
image143.wmf (1)
image144.wmf=
image145.wmf (высоты равны)
image146.wmf S
image147.wmf=
image148.wmf.S
image149.wmf

C другой стороны,

image150.wmf=
image151.wmf�� EMBED Equation.3 image152.wmf S
image153.wmf=
image154.wmf.S
image155.wmf�� EMBED Equation.3 image156.wmf

image157.wmf=
image158.wmf
image159.wmf=
image160.wmf (2) И, наконец,
image161.wmf=
image162.wmf=
image163.wmf, откуда выражаем S
image164.wmf и S
image165.wmf

image166.wmf=
image167.wmf=
image168.wmf (3) . Перемножим (1), (2), (3), получим равенство (
image169.wmf).

image1752.png3) Докажем равенство (

image170.wmf) для случая, когда прямые AA
image171.wmf,BB
image172.wmf,CC
image173.wmf параллельны

(рис.5)

а)

image174.wmfCAA
image175.wmf~
image176.wmfCB
image177.wmfB по I признаку,
image178.wmf
image179.wmf=
image180.wmf=
image181.wmf (1)

б)

image182.wmfBB
image183.wmfA~
image184.wmfC
image185.wmfCA по I признаку,
image186.wmf
image187.wmf=
image188.wmf =
image189.wmf(2)

в)

image190.wmfС
image191.wmfBC~
image192.wmfABA
image193.wmf по I признаку,
image194.wmf
image195.wmf=
image196.wmf=
image197.wmf (3)

Перемножая равенства

image198.wmf=
image199.wmf,
image200.wmf=
image201.wmf и
image202.wmf=
image203.wmf,

рис.5 получаем 1=

image204.wmf�� EMBED Equation.3 image205.wmfBC=
image206.wmf (4)

Перемножая равенства

image207.wmf=
image208.wmf,
image209.wmf=
image210.wmfи
image211.wmf=
image212.wmf, получаем

1=

image213.wmf
image214.wmfBC=
image215.wmf (5). Из (4) и (5)
image216.wmf=
image217.wmf, поделим его на

правую часть, получим (

image218.wmf).

Достаточность.

Пусть для точек A

image219.wmf,B
image220.wmf,C
image221.wmf выполнено равенство (
image222.wmf).Покажем, что прямые

image1753.png AA

image223.wmf,BB
image224.wmf и CC
image225.wmf проходят через одну точку. Пусть AA
image226.wmf�� EMBED Equation.3 image227.wmfBB
image228.wmf=O, CO
image229.wmfAB=C
image230.wmf.Тогда для точек A
image231.wmf,B
image232.wmf,C
image233.wmf по теореме Чевы (необходимость) выполняется условие
image234.wmf.
image235.wmf.
image236.wmf=1.

Сравнивая это равенство со (

image237.wmf), получаем, что
image238.wmf=
image239.wmf. Это означает, что точки C
image240.wmf и C
image241.wmfделят отрезок AB (в случае внутренней точки O) в одном и том же отношении, а значит, точка C
image242.wmf совпадает с точкой C
image243.wmf. В случае внешней точки O рассуждение аналогично. Если же (
image244.wmf) выполняется и при этом AA
image245.wmfll CC
image246.wmf, то через вершину B проведем прямую b ll AA
image247.wmf, найдем точку B
image248.wmf ее пересечения с прямой AC (рис. 6).

Так как для случая трёх параллельных прямых теорема Чевы (прямое утверждение) была доказана, то для прямых AA

image249.wmf,b,CC
image250.wmf выполняется
image251.wmf.
image252.wmf.
image253.wmf=1.

Сравнивая его со (

image254.wmf), получаем
image255.wmf=
image256.wmf. Если точки B
image257.wmfи B
image258.wmfпринадлежат отрезку AC, то они делят его в одном и том же отношении, а значит, совпадают. Если B
image259.wmf и B
image260.wmf не принадлежат отрезку AC, то они лежат по одну сторону от точек A или C в зависимости от того, лежит ли A
image261.wmfна отрезке AC или C
image262.wmf на отрезке AB , и из равенства отношений следует совпадение точек B
image263.wmf и B
image264.wmf ,а значит, BB
image265.wmfll AA
image266.wmfll СС
image267.wmf. Теорема доказана.

Примечание 3: процедура составления(

image268.wmf) не зависит от выбора «отправной» вершины и направления обхода, так как всегда будет получаться произведение, равное 1. Действительно, если
image269.wmf.
image270.wmf.
image271.wmf=m=1, то
image272.wmf=
image273.wmf=1 (и т.д.).

1.2.Теорема Чевы в форме синусов.

В каждом из рассмотренных случаев – и в случае внутренней точки O и в случае внешней точки O- условие (

image274.wmf) Чевы можно записать также в виде

image1754.png

image275.wmf.
image276.wmf.
image277.wmf=1(
image278.wmf�� EMBED Equation.3 image279.wmf)

Доказательство: можно воспользоваться равенствами

image280.wmf=
image281.wmf=
image282.wmf=
image283.wmf.
image284.wmf(1)

image285.wmf=
image286.wmf=
image287.wmf=
image288.wmf(2)
image289.wmf

image290.wmf

image291.wmf=
image292.wmf=
image293.wmf=
image294.wmf(3)

Перемножая (1), (2), (3), получаем (

image295.wmf�� EMBED Equation.3 image296.wmf).[10, с.8].

1.3.Теорема Менелая.

image1755.png Пусть на сторонах AB,BC и на продолжении стороны AC (либо на продолжениях сторон AB,BC и AC)

image297.wmfABC взяты соответственно точки C
image298.wmf,A
image299.wmfи B
image300.wmf, не совпадающие с вершинами
image301.wmfABC. Точки A
image302.wmf,B
image303.wmf,C
image304.wmf лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство

image305.wmf.
image306.wmf.
image307.wmf=1 (
image308.wmf)

Доказательство:

1.Необходимость. а) Пусть A

image309.wmf,B
image310.wmf,C
image311.wmf лежат на одной прямой, причем A
image312.wmf - на стороне BC, C
image313.wmf-на стороне AB, B
image314.wmf- на продолжении стороны AC за точку C.Докажем справедливость (
image315.wmf). Проведем СК ll AB (рис.8).

image316.wmfKCB
image317.wmf~
image318.wmfC
image319.wmfAB
image320.wmf по I признаку,
image321.wmf
image322.wmf=
image323.wmf
image324.wmf KC=
image325.wmf(1)

image326.wmfBC
image327.wmfA
image328.wmf~
image329.wmfCKA
image330.wmf по I признаку,
image331.wmf
image332.wmf=
image333.wmf
image334.wmf KC=
image335.wmf (2)

Из (1) и (2) имеем

image336.wmf=
image337.wmf. Разделив обе части этого равенства на

image338.wmf, получим (
image339.wmf).

image1756.pngПримечание 4: необходимость может быть доказана и другим способом; приведем и его, чтобы показать еще одну возможность получить подобные треугольники.

Для этого проведем перпендикуляры AM, BN, CK на

прямую C

image340.wmfB
image341.wmf ( рис.9).

image342.wmfAMC
image343.wmf~
image344.wmfBNC
image345.wmf по I признаку,
image346.wmf
image347.wmf=
image348.wmf ;

рис.9

image349.wmfA
image350.wmfBN~
image351.wmfA
image352.wmfCK по I признаку,
image353.wmf
image354.wmf=
image355.wmf;

image356.wmfCKB
image357.wmf~
image358.wmfAMB
image359.wmf по I признаку,
image360.wmf
image361.wmf=
image362.wmf.

image1757.png Перемножая эти три равенства, получим

image363.wmf.
image364.wmf.
image365.wmf=
image366.wmf.
image367.wmf.
image368.wmf=1.

б) Рассмотрим случай, если все три точки A

image369.wmf,B
image370.wmf,C
image371.wmf взяты на продолжениях сторон
image372.wmfABC,причем лежат на одной прямой. Как и в случае а), проведем CK ll AB(рис.10).

image373.wmfCKB
image374.wmf~
image375.wmfAC
image376.wmfB
image377.wmfпо I признаку,
image378.wmf
image379.wmf=
image380.wmf
image381.wmf CK =
image382.wmf;

image383.wmfCKA
image384.wmf ~
image385.wmfBC
image386.wmfA
image387.wmf по I признаку,
image388.wmf
image389.wmf=
image390.wmf
image391.wmf

CK=

image392.wmf, тогда
image393.wmf=
image394.wmf
image395.wmf
image396.wmf=1, то есть равенство (
image397.wmf)

верно.

2.Достаточность. Пусть B

image398.wmf взята на продолжении AC, точка C
image399.wmf лежит на стороне AB, точка A
image400.wmf- на стороне BC, причем для них выполняется
image401.wmf.
image402.wmf.
image403.wmf=1(
image404.wmf).

Докажем, что A

image405.wmf,B
image406.wmf,C
image407.wmf лежат на одной прямой. Заметим сначала, что
image408.wmf.
image409.wmf
image410.wmf1, так как тогда из (
image411.wmf) имеем, что
image412.wmf=1, что неверно (рис.8).Отсюда следует, что
image413.wmf
image414.wmf
image415.wmf,то есть прямые A
image416.wmfC
image417.wmf и AC не параллельны. Проведем через точки C
image418.wmf и A
image419.wmf прямую. Она пересечет прямую AC в некоторой точке B
image420.wmf. Для точек A
image421.wmf, C
image422.wmf и B
image423.wmf верна теорема Менелая, так что
image424.wmf.
image425.wmf.
image426.wmf=1. Сравнивая это равенство со (
image427.wmf), получаем
image428.wmf=
image429.wmf; это показывает, что обе точки B
image430.wmf и B
image431.wmf лежат на продолжении отрезка AC за одну и ту же точку, ибо правее C данное отношение меньше 1, а левее A оно строго больше 1. Пусть CB
image432.wmf= x , CB
image433.wmf=y, AC=b. Тогда, учитывая, что B
image434.wmfA=x+b, B
image435.wmfA=y+b, перепишем полученное равенство в виде
image436.wmf , откуда xy+xb=xy+yb, то есть x= y Из равенства CB
image437.wmf= CB
image438.wmf следует, что B
image439.wmf совпадает с B
image440.wmf, то есть A
image441.wmf,B
image442.wmf,C
image443.wmf лежат на одной прямой [19, с.86]. Аналогично доказывается достаточность для случая, когда все три точки лежат на продолжениях соответствующих сторон.

Теорема доказана.

Эта теорема входит в золотой фонд древнегреческой математики. Она дошла до нас в арабском переводе книги « Сферика» Менелая Александрийского (I век н.э.). Равенство Менелая аналогично условию Чевы, и его можно записывать, начиная с любой вершины треугольника в любом направлении ( по часовой стрелке, против часовой стрелки).Легко заметить, что при составлении равенства надо переходить от вершины к вершине через точку пересечения секущей линии с этой стороной или ее продолжением; заканчивать необходимо в той же вершине, с которой начали.

Обозначим R=

image444.wmf.
image445.wmf.
image446.wmf.Замечаем, что утверждение R=1 имеет место и в теореме Чевы, и в теореме Менелая. Поэтому справедливо следующее утверждение:

Пусть в треугольнике ABC на прямых AB,BC и AC взяты точки C

image447.wmf,A
image448.wmf,B
image449.wmf, причем k из них лежат на сторонах треугольника и 3-k - на продолжениях сторон. Тогда

а) точки A

image450.wmf,B
image451.wmf,C
image452.wmf лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда R=1 и k четно (теорема Менелая);

б) прямые AA

image453.wmf, BB
image454.wmf и СС
image455.wmf пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда R=1 и k нечетно (теорема Чевы) [14, с.113].

Примечание 5: можно вместо отношения

image456.wmf и других рассматривать отношения направленных отрезков, которые будем обозначать
image457.wmf и определять следующим образом: │
image458.wmf│=
image459.wmf,
image460.wmf положительно, если векторы
image461.wmfи
image462.wmf одинаково направлены, и отрицательно, если они противоположно направлены (
image463.wmf имеет смысл только для точек, расположенных на одной прямой). Легко видеть, что отношение
image464.wmfположительно, если точка C
image465.wmf лежит на отрезке AB, и отрицательно, если C
image466.wmf- вне AB.

Соответственно, вместо R будем рассматривать произведение отношений направленных отрезков, которое обозначим

image467.wmf. Тогда

Теорема Чевы: Для того чтобы прямые AA

image468.wmf,BB
image469.wmf,CC
image470.wmf пересекались в одной точке (или были параллельны), необходимо и достаточно, чтобы
image471.wmf=1 [23, с.40].

Действительно, если все три точки лежат на сторонах

image472.wmfABC (k=3), то все три отношения в произведении
image473.wmf будут положительными, а это значит, что
image474.wmf=1. Если одна из точек лежит на стороне, а две другие - на продолжениях сторон треугольника, то два отношения направленных отрезков будут с минусом, и произведение снова будет равно 1.

Теорема Менелая: Для того чтобы точки A

image475.wmf,B
image476.wmf,C
image477.wmf лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы
image478.wmf=-1 [23,с.41].

Действительно, если две точки лежат на сторонах треугольника, а третья - на продолжении, то одно отношение направленных отрезков отрицательно, а два – положительны; значит, произведение

image479.wmf=-1.

Если все три точки лежат на продолжениях сторон, то все три отношения направленных отрезков будут отрицательными, следовательно, снова

image480.wmf=-1.

Примечание 6: поскольку у школьников могут возникнуть трудности в понимании формулировки теорем, целесообразно, в зависимости от уровня учащихся, теоремы переформулировать: разделить на две – прямую и обратную.

Глава 2. Методические рекомендации к изучению темы в

школьном курсе геометрии.

Обучение решению геометрических задач с применением теорем Менелая и Чевы проводим в 3 этапа:

1 этап – в период предпрофильной подготовки, в 8-9 классах, знакомим учащихся с теоремами и формируем умения решать ключевые задачи темы;

2 этап – рассматриваем соответствующие вопросы в школьном курсе геометрии 10 класса профильного уровня;

3 этап – после изучения основ стереометрии показываем, как «работают» теоремы в решении стереометрических задач, включая конкурсные задачи вступительных экзаменов в вузы.

2.1 Методика обучения решению задач с применением теорем Менелая и Чевы в период предпрофильной подготовки.

К моменту изучения темы учащиеся должны знать теорему Фалеса, формулу вычисления площади треугольника и свойства площадей треугольников, свойство биссектрисы треугольника, признаки подобия треугольников, теоремы о пересечении биссектрис, медиан, серединных перпендикуляров, высот в треугольнике. Этот материал изучается в 8 классе. Поэтому в 9 классе в рамках факультатива «За страницами учебника» отводим 10 часов на тему «Некоторые замечательные теоремы планиметрии», в которой рассматриваем следующие вопросы:

1. Теорема Менелая и пропорциональные отрезки в треугольнике (2 часа).

2. Теорема Чевы и ее следствия. Применение теорем Чевы и Менелая к задачам на доказательство(2 часа).

3. Решение задач на пропорциональное деление отрезков в треугольнике.(2 часа).

4. Решение задач, связанных с нахождением площадей (2 часа).

5. Комбинированные задачи (2 часа).

Каждое занятие, а также все они в целом направлены на то, чтобы развить интерес учащихся к предмету, познакомить с новыми идеями и методами, расширить представления об изучаемом в основном курсе материале, а главное, порешать интересные геометрические задачи алгебраическим способом.

Занятия 1-2. Тема: Теорема Менелая и пропорциональные отрезки в треугольнике.

В результате изучения материала этих занятий учащиеся должны:

знать формулировки теоремы Менелая и теоремы, обратной теореме Менелая;

уметь воспроизводить доказательство теоремы Менелая и применять ее при решении простейших задач.

В начале занятия 1 необходимо повторить основные теоретические сведения, связанные с треугольником, известные учащимся с 7-8 классов. Затем предложить решить задачу 1:

image1758.pngВ треугольнике ABC точка D делит сторону BC в отношении BD:DC= 1: 3, а точка O делит AD в отношении AO:OD=5:2. В каком отношении прямая BO делит отрезок AC?

Дано:

image481.wmfABC, D
image482.wmfBC, BD: DC= 1:3

O

image483.wmfAD, AO: OD= 5:2

BO

image484.wmfAC= E

Найти AE: EC

Решение:

Проведем DM ll BE (рис. 11). По теореме Фалеса

image485.wmf. Тогда AE= 5k , EM= 2k, где k- коэффициент пропорциональности. Аналогично
image486.wmf, откуда MC= 3EM=6k; EC= 2k+6k= 8k;
image487.wmf.

Ответ: AE: EC= 5:8

Для решения этой задачи пришлось выполнить дополнительное построение. Вряд ли учащиеся смогут догадаться, какое именно дополнительное построение требуется для решения этой или похожей задачи, поэтому она может оказаться сложной для них.

Можно сообщить ученикам, что эту задачу можно решить без дополнительного построения, причем достаточно просто и быстро. Но для этого нам понадобится следующее утверждение - и далее идет знакомство с теоремой Менелая, но ее формулировка (с.9) разбивается на 2 независимых утверждения - прямую и обратную теоремы.

Теорема (Менелая). Пусть на сторонах AB,BC и на продолжении стороны AC

image488.wmfABC взяты соответственно точки C
image489.wmf,A
image490.wmfи B
image491.wmf, не совпадающие с вершинами треугольника. Если точки A
image492.wmf,B
image493.wmf,C
image494.wmf лежат на одной прямой, то выполняется равенство

image495.wmf.
image496.wmf.
image497.wmf=1 (
image498.wmf)

Доказательство теоремы проводится одним из способов, рассмотренных в главе 1 на с.10-11.

Необходимость рассмотрения случая, когда точки A

image499.wmf,B
image500.wmf,C
image501.wmf лежат на продолжениях сторон треугольника, определяет учитель. Нужно сообщить учащимся, что при составлении равенства (
image502.wmf) надо переходить от вершины к вершине через точку пересечения секущей линии с этой стороной или ее продолжением; заканчивать необходимо в той же вершине, с которой начали; равенство Менелая можно записывать, начиная с любой вершины треугольника в любом направлении (по часовой стрелке, против часовой стрелки). После рассмотрения теоремы Менелая возвращаемся к решению задачи 1.

Рассмотрим

image503.wmfADC; B
image504.wmfDC,O
image505.wmfAD, E
image506.wmfAC; O,B,E лежат на одной прямой; по

теореме Менелая

image507.wmf.
image508.wmf.
image509.wmf=1. Так как BD: DC= 1:3, то CB: BD=4:1,

подставляем, получаем

image510.wmf.
image511.wmf.
image512.wmf=1,
image513.wmf=
image514.wmf.

Таким образом, сопоставление разных способов решения может оказаться весьма полезным, становится очевидным преимущество второго способа.

Рассмотрим задачу 2.

В

image515.wmfABC на стороне AC взята точка M, а на стороне BC – точка K так, что AM: MC= 2:3, BK: KC= 4:3. В каком отношении AK делит отрезок BM?

image1759.png Решение:

I способ. Через точку B проведем прямую a ll AC (рис.12); AK

image516.wmfa=P;

image517.wmfBKP ~
image518.wmfCKA
image519.wmf
image520.wmf
image521.wmf BP=
image522.wmfAC.

image523.wmfBOP~
image524.wmfMOA
image525.wmf ~
image526.wmf=
image527.wmf

Ответ:

image528.wmf=
image529.wmf.

В этом случае нужно увидеть подобные треугольники, для чего использовать дополнительное построение.

II способ. Рассмотрим

image530.wmfMBC; прямую AK назовем секущей, так как она пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника MBC; A
image531.wmfMC,O
image532.wmfBM, K
image533.wmfBC;

A,O,K лежат на AK ( на одной прямой). По теореме Менелая

image534.wmf,
image535.wmf,
image536.wmf=
image537.wmf.

Замечаем, что теорема Менелая проста для применения, но здесь важно увидеть нужную конфигурацию - треугольник и секущую, причем такие, что два отношения в равенстве Менелая будут известны, тогда можно будет найти третье. В связи с этим полезны упражнения «на узнавание»:

На следующих рисунках указать треугольник, секущую и точки ее пересечения с каждой стороной треугольника или продолжением:

image538.png

image1760.pngЗадача 3. В каком отношении делит сторону BC треугольника ABC прямая, проходящая через точку A и середину медианы, выходящей из B?

Дано:

image539.wmfABC; AB
image540.wmf= B
image541.wmfC; BO=OB
image542.wmf;

Найти BA

image543.wmf: A
image544.wmfC

Решение:

Рассмотрим

image545.wmfBCB
image546.wmf и секущую AA
image547.wmf; A
image548.wmfB
image549.wmfC, O
image550.wmfBB
image551.wmf, A
image552.wmf�� EMBED Equation.3 image553.wmfBC.

По теореме Менелая

image554.wmf�� EMBED Equation.3 image555.wmf;
image556.wmf�� EMBED Equation.3 image557.wmf;
image558.wmf=
image559.wmf

Ответ: BA

image560.wmf: A
image561.wmfC=1:2

Задача 4. Дано:

image1761.png

image562.wmfABC; AA
image563.wmf - биссектриса,

BB

image564.wmf- медиана; AB=2, AC=3;

Найти BO: OB

image565.wmf

Решение:

AA

image566.wmf- биссектриса
image567.wmf
image568.wmf=
image569.wmf�� EMBED Equation.3 image570.wmf.

Рассмотрим

image571.wmfBB
image572.wmfC и секущую AA
image573.wmf; A
image574.wmfB
image575.wmfC, A
image576.wmf�� EMBED Equation.3 image577.wmfBC, O
image578.wmfBB
image579.wmf(рис.17).

image1762.png По теореме Менелая

image580.wmf;
image581.wmf.

Ответ: BO: OB

image582.wmf=4:3

Задача 5. На сторонах AC и BC

image583.wmfABC отмечены соответственно точки N и K так, что AN: NC= m : n, AK
image584.wmfBN= Q, BQ: QN= p : q. Найти BK: KC.

Решение:

Рассмотрим

image585.wmfBCN и секущую AK; A
image586.wmfNC, Q
image587.wmfBN, K
image588.wmfBC (рис. 18).

По теореме Менелая

image589.wmf
image590.wmf
image591.wmf
image592.wmf
image593.wmf�� EMBED Equation.3 image594.wmf

Ответ :

image595.wmf

Далее ставим вопрос о справедливости обратного утверждения.

Теорема (Менелая, обратная). Пусть дан треугольник ABC. Предположим, что точка C

image596.wmf лежит на стороне AB, точка A
image597.wmf лежит на стороне BC, а точка B
image598.wmf лежит на продолжении стороны AC, причем про эти точки известно, что
image599.wmf.
image600.wmf.
image601.wmf=1 . Тогда эти точки лежат на одной прямой.

Доказательство этого утверждения приводится в главе 1, с.11.

Задачи для самостоятельного решения:

1. В треугольнике ABC на сторонах AB и BC взяты точки K и M , KM

image602.wmf AC= P. Найти CP: AP, если а) AK: KB= 2, BM: MC= 1:3;

б) AK: KB= 3, BM: MC = 4;

в) AK: KB= 2:5, BM: MC = 2.

Ответы: а) 3:2; б) 1:12; в) 5:8.

2. В треугольнике ABC на сторонах AB и BC взяты точки K и M; CK

image603.wmfAM=O. Обозначим AK: KB= k, BM: MC= m, CO: OK= p, AO:OM= l. Пусть из четырех чисел k,m,p и l известны два. Найти два оставшихся числа, если

а) k=2, m=

image604.wmf; в) k=3, p= 2; д) m=
image605.wmf, l=
image606.wmf;

б) k=

image607.wmf, m=
image608.wmf; г) k=2, l=3; е) p=2, l=1.

Ответы: а) p=

image609.wmf, l=
image610.wmf; б) p=5, l=1; в) m=
image611.wmf, l=5; г) m=
image612.wmf, p=3; д) k=
image613.wmf, p=15; е) k=
image614.wmf, m=2.

3. В треугольнике ABC на стороне AC взята точка M такая, что AM=

image615.wmfAC, а на стороне BC – точка K такая, что BK=
image616.wmfBC. В каком отношении отрезок BM делит отрезок AK?

4. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки K и M так, что AK:AB= BM: BC= 1:3. В каком отношении точка пересечения CK и AM делит каждый из этих отрезков?

5. На сторонах AC и BC

image617.wmf расположены соответственно точки N и M так, что AN:NC=k, BM:MC=m, прямые AM и BN пересекаются в точке O. Найти отношения AO:OM, BO:ON.

Занятия 3-4. Тема: Теорема Чевы и ее следствия. Применение теоремы Чевы и теоремы Менелая к задачам на доказательство.

Цели: рассмотреть теорему Чевы, утверждение которой также связано с отрезками в треугольнике, некоторые следствия из нее; показать, как теоремы Чевы и Менелая применяются в задачах на доказательство.

Формулировка теоремы Чевы включает два взаимно обратных утверждения. Их можно рассмотреть как независимые теоремы.

Теорема (Чевы). Пусть точки A

image618.wmf,B
image619.wmf, C
image620.wmf лежат соответственно на сторонах BC,AC и AB треугольника ABC, причем отрезки AA
image621.wmf, BB
image622.wmf,CC
image623.wmf пересекаются в одной точке.

Тогда

image624.wmf.
image625.wmf.
image626.wmf=1

Доказательство теоремы проводится одним из способов, предложенных в главе I на с.6.

Исследование остальных случаев расположения точек - по усмотрению учителя, но в любом случае целесообразно сформулировать теорему Чевы и для случая внешней точки пересечения AA

image627.wmf, BB
image628.wmf,CC
image629.wmf и для случая параллельных прямых, а также рассмотреть обратное утверждение.

Теорема (Чевы, обратная). Пусть точки A

image630.wmf,B
image631.wmf, C
image632.wmf лежат соответственно на сторонах BC,AC и AB треугольника ABC, причем
image633.wmf.
image634.wmf.
image635.wmf=1. Тогда отрезки AA
image636.wmf, BB
image637.wmf,CC
image638.wmf пересекаются в одной точке.(Остальные случаи разъяснить).

Задача.

image1763.pngНа сторонах треугольника ABC взяты соответственно точки C

image639.wmf, A
image640.wmf,B
image641.wmf,так, что AC
image642.wmf: С
image643.wmfB= 2:1, BA
image644.wmf:A
image645.wmfC=1:3,

BB

image646.wmf�� EMBED Equation.3 image647.wmf CC
image648.wmf�� EMBED Equation.3 image649.wmfAA
image650.wmf=O. Найти CB
image651.wmf : B
image652.wmfA.

Решение:

Так как отрезки BB

image653.wmf, CC
image654.wmf, AA
image655.wmf пересекаются в одной точке O, то по теореме Чевы
image656.wmf.
image657.wmf.
image658.wmf=1;
image659.wmf
image660.wmf=1;
image661.wmf=
image662.wmf

Ответ: 3:2

Далее рассматриваются некоторые следствия из теоремы Чевы.

image1764.pngСледствие1.Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство. В учебной литературе доказательство этого утверждения проводится на основе подобных треугольников. Мы же проведем его, опираясь на теоремы Чевы и Менелая. Итак, пусть AA

image663.wmf, BB
image664.wmf,CC
image665.wmf - медианы
image666.wmfABC (рис.20) . Так как AC
image667.wmf=C
image668.wmfB, BA
image669.wmf=A
image670.wmfC, AB
image671.wmf=B
image672.wmfC, то
image673.wmf=1,
image674.wmf= 1,
image675.wmf=1. Тогда
image676.wmf.
image677.wmf.
image678.wmf, т.е. для точек A
image679.wmf,B
image680.wmf,C
image681.wmf, лежащих на сторонах треугольника ABC, выполняется условие (
image682.wmf) ; по теореме Чевы AA
image683.wmf, BB
image684.wmf,CC
image685.wmf пересекутся в одной точке O (случай внутренней точки).

Рассмотрим

image686.wmfB
image687.wmfBC , точки A,O,A
image688.wmf лежат на одной прямой, пересекающей стороны BB
image689.wmf,BC и продолжение стороны B
image690.wmfC (в дальнейшем будем называть ее секущей). A
image691.wmf B
image692.wmfC, O
image693.wmf BB
image694.wmf, A
image695.wmf�� EMBED Equation.3 image696.wmfBC.

По теореме Менелая

image697.wmf,
image698.wmf�� EMBED Equation.3 image699.wmf
image700.wmf=
image701.wmf.

Применяя теорему Менелая для

image702.wmfA
image703.wmfAC и секущей BB
image704.wmf (B
image705.wmfA
image706.wmfC, O
image707.wmfAA
image708.wmf, B
image709.wmf�� EMBED Equation.3 image710.wmfAC), получим, что
image711.wmf=
image712.wmf; применяя теорему Менелая для
image713.wmfС
image714.wmfBC и секущей AA
image715.wmf, получим, что
image716.wmf
image717.wmf. Утверждение доказано.

Следствие 2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

image1765.png Доказательство. Справедливость этого утверждения можно доказать, используя свойство биссектрисы:

так как AA

image718.wmf - биссектриса, то
image719.wmf=
image720.wmf; так как BB
image721.wmf- биссектриса, то
image722.wmf;

так как СС

image723.wmf - биссектриса, то
image724.wmf. Перемножая соответственно левые и правые части этих равенств, получим
image725.wmf.
image726.wmf.
image727.wmf=
image728.wmf.
image729.wmf.
image730.wmf=1, то есть для точек A
image731.wmf, B
image732.wmf, C
image733.wmf выполняется равенство Чевы, значит, AA
image734.wmf, BB
image735.wmf,CC
image736.wmf пересекаются в одной точке.

Примечание 7: если учащимся известна теорема Чевы в форме синусов, то провести доказательство этого следствия можно следующим образом. Пусть AA

image737.wmf,BB
image738.wmf,CC
image739.wmf - биссектрисы
image740.wmfABC (рис.21) Так как
image741.wmf, то
image742.wmf= 1; аналогично,
image743.wmf=1;
image744.wmf=1.

image1766.pngПеремножая эти равенства, получим условие (

image745.wmf�� EMBED Equation.3 image746.wmf) теоремы Чевы в форме синусов. Значит, AA
image747.wmf, BB
image748.wmf,CC
image749.wmf пересекаются в одной точке.

Следствие3. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке (ортоцентре треугольника).

Доказательство: пусть AA

image750.wmf, BB
image751.wmf,CC
image752.wmf - высоты
image753.wmfABC .

1) Если

image754.wmfABC остроугольный (рис. 22), то точки A
image755.wmf, B
image756.wmf, C
image757.wmf лежат на его сторонах.
image758.wmfACC
image759.wmf -прямоугольный, AC
image760.wmf = AC cosA;

image761.wmfBCC
image762.wmf- прямоугольный, BC
image763.wmf = BC cosB;
image764.wmfBA
image765.wmfA – прямоугольный, BA
image766.wmf= AB cosB;

image767.wmfAA
image768.wmfC- прямоугольный, A
image769.wmfC=AC cosC; CB
image770.wmf=CB cosC; AB
image771.wmf= AB cosA.

Тогда

image772.wmf.
image773.wmf.
image774.wmf=
image775.wmf=1. А так как условие (
image776.wmf) выполняется, то AA
image777.wmf, BB
image778.wmf, CC
image779.wmf пересекаются в одной точке.

Примечание 8: следствие 3 можно доказать, исходя из подобия треугольников. Можно предложить учащимся провести доказательство этим способом самостоятельно. (Действительно,

image780.wmfAA
image781.wmfC~
image782.wmfBB
image783.wmfC по I признаку
image784.wmf
image785.wmf; аналогично, из подобия
image786.wmfCC
image787.wmfB и
image788.wmfAA
image789.wmfB следует, что
image790.wmf. И, наконец,

image791.wmfBB
image792.wmfA ~
image793.wmfCC
image794.wmfA
image795.wmf
image796.wmf. Перемножая эти равенства, получим

image1767.png

image797.wmf
image798.wmf. Отсюда по теореме Чевы следует, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.[4, с.96])

2) Пусть

image799.wmfABC – тупоугольный (рис.23). Это случай внешней точки O. Из
image800.wmfACC
image801.wmf AC
image802.wmf=ACcosA; из
image803.wmfС
image804.wmfBC C
image805.wmfB=CB cos (180
image806.wmf-
image807.wmfB)= -CB cosB ( угол B тупой) ;

из

image808.wmfA
image809.wmfBA BA
image810.wmf=AB cos(180
image811.wmf-
image812.wmfB)=-AB cosB; аналогично,

AB

image813.wmf=AB cosA; B
image814.wmfC= BC cosC; A
image815.wmfC= AC cosC; CB
image816.wmf=CBcosC.

image817.wmf.

image1768.pngТак как условие Чевы выполняется, то AA

image818.wmf, BB
image819.wmf, CC
image820.wmf пересекаются в одной точке или параллельны (глава1). Но если бы они были параллельны, то и перпендикулярные к ним прямые, то есть стороны треугольника ABC, были бы параллельны друг другу, но это не так. Значит, прямые AA
image821.wmf,BB
image822.wmf,CC
image823.wmf пересекаются в одной точке.

image1769.png3) Если

image824.wmfABC прямоугольный,
image825.wmfС=90
image826.wmf(рис.24) , то очевидно, что высоты BC,AC,CC
image827.wmf пересекаются в точке С. Следствие 3 доказано.

Следствие4. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство. Рассмотрим серединный

image828.wmfMNK(вершины-середины сторон
image829.wmfABC)(рис.25). Тогда NK,NM,MK – средние линии треугольника ABC и по свойству средней линии NK
image830.wmfAC, NM
image831.wmfBC, KM
image832.wmfAB. Поэтому серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ABC содержат высоты
image833.wmfMNK. А в
image834.wmfMNK по следствию 3 высоты пересекаются в одной точке, следовательно, серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке.

Таким образом, теорема Чевы дает возможность весьма просто доказать известные утверждения о четырех замечательных точках треугольника.

Рассмотрим еще одно следствие из теоремы Чевы.

image1770.pngСледствие 5. Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон, пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Жергонна (рис.26).

Доказательство. По свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, имеем AB

image835.wmf=AC
image836.wmf=x, C
image837.wmfB=BA
image838.wmf=y, A
image839.wmfC=B
image840.wmfC=z.

image841.wmf, по теореме Чевы AA
image842.wmf, BB
image843.wmf, CC
image844.wmf пересекаются в одной точке.

Дополнительные задачи:

image1771.png1. Используя теорему Чевы, доказать, что в произвольном треугольнике прямые, проходящие через вершины и делящие периметр треугольника пополам, пересекаются в одной точке.[4, с.94]

Доказательство: Пусть каждый из отрезков AA

image845.wmf, BB
image846.wmf,CC
image847.wmf делит периметр треугольника ABC пополам (рис.27), то есть AB+BA
image848.wmf=A
image849.wmfC+AC(1), B
image850.wmfC+BC=AB
image851.wmf+AB(2), AC
image852.wmf+ СA=

=C

image853.wmfB+BC (3)

Сложим (1), (2), (3): AB+BA

image854.wmf+B
image855.wmfC+BC+AC
image856.wmf+CA= A
image857.wmfC+AC+ AB
image858.wmf+AB+ C
image859.wmfB+BC; BA
image860.wmf+B
image861.wmfC+AC
image862.wmf=A
image863.wmfC+AB
image864.wmf+C
image865.wmfB. Перенесем слагаемые в левую часть и сгруппируем:

(BA

image866.wmf - AB
image867.wmf) + (B
image868.wmfC - C
image869.wmfB) + (AC
image870.wmf- A
image871.wmfC)=0 (4). Вычитая из (1) равенство (2), получаем :

(AB+BA

image872.wmf)- (AB
image873.wmf+AB) = (A
image874.wmfC+AC)-( B
image875.wmfC+BC) или BA
image876.wmf- AB
image877.wmf= (AC- B
image878.wmfC)-(BC- A
image879.wmfC)=AB
image880.wmf- BA
image881.wmf= -( BA
image882.wmf- AB
image883.wmf), откуда 2(BA
image884.wmf- AB
image885.wmf)= 0, BA
image886.wmf= AB
image887.wmf.

Аналогично доказывается, что CB

image888.wmf= С
image889.wmfB , C
image890.wmfA = A
image891.wmfC.

Тогда

image892.wmf.
image893.wmf.
image894.wmf.

По теореме Чевы AA

image895.wmf, BB
image896.wmf,CC
image897.wmf пересекаются в одной точке.

image1772.png2. На стороне AC треугольника ABC взяты точки P и E , на стороне BC – точки M и K, причем AP: PE: EC= CK: KM: MB. Отрезки AM и BP пересекаются в точке O, отрезки AK и BE – в точке T. Докажите, что точки O, T и С лежат на одной прямой.[4, с.94]

Дано:

image898.wmf�� EMBED Equation.3 image899.wmfABC; AP: PE: EC= CK: KM: MB=m:n:k

M, K

image900.wmfBC, P, E
image901.wmfAC; AM
image902.wmfBP= O;

AK

image903.wmfBE= T

Доказать: O, T, C

image904.wmf a

Доказательство. Пусть луч CT

image905.wmfAB=C
image906.wmf, CO
image907.wmfAB=C
image908.wmf. Докажем, что точки C
image909.wmf и C
image910.wmf совпадают, это и будет означать, что O, T, C лежат на одной прямой.

Так как CT

image911.wmfAB=C
image912.wmf, BE
image913.wmfAK
image914.wmfCC
image915.wmf= T, то по теореме Чевы
image916.wmf;

image917.wmf (1)

Так как CO

image918.wmfAB=C
image919.wmf, AM
image920.wmfBP= O, то СС
image921.wmf
image922.wmfBP
image923.wmfAM=O, по теореме Чевы
image924.wmf (2)

Из (1) и (2) следует, что

image925.wmf, то есть точки С
image926.wmf и C
image927.wmf делят отрезок AB в одном и том же отношении, начиная от точки A, а значит, С
image928.wmf и C
image929.wmf совпадают. А это означает, что точки O, T, C лежат на одной прямой.

3. Прямая пересекает стороны AB,BC и продолжение стороны AC треугольника ABC соответственно в точках D,E,F.Доказать, что середины сторон отрезков DC, AE и BF лежат на одной прямой.(Теорема Гаусса.) Указание: воспользоваться теоремой Менелая, в качестве вершин данного треугольника взять середины сторон треугольника ABC, на сторонах и продолжениях которого лежат рассматриваемые точки.

4. Треугольники ABC и A

image930.wmfB
image931.wmfC
image932.wmf с попарно непараллельными сторонами расположены так, что прямые AA
image933.wmfи A
image934.wmfBB
image935.wmf пересекаются в одной точке O. Доказать, что точки M,K,P пересечения прямых AB и A
image936.wmfB
image937.wmf, BC и B
image938.wmfC
image939.wmf, AC и A
image940.wmfC
image941.wmf соответственно лежат на одной прямой. (Теорема Дезарга.) Указание: воспользоваться теоремой Менелая.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Доказать, что середины оснований трапеции, точка пересечения ее диагоналей и точка пересечения продолжений ее боковых сторон лежат на одной прямой. Указание: дважды используя теорему Менелая, доказать, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции и через точку пересечения продолжений боковых сторон, проходит через середины оснований.

2. Доказать, что: а) биссектрисы внешних углов треугольника пересекают продолжения противоположных сторон треугольника в трех точках, расположенных на одной прямой; б) касательные к описанной около треугольника окружности в вершинах треугольника пересекают его противоположные стороны в трех точках, расположенных на одной прямой. Указание: воспользоваться теоремой Менелая.

3. На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты точки C

image942.wmf,A
image943.wmf и B
image944.wmf соответственно. Пусть C
image945.wmf- точка пересечения прямых AB и A
image946.wmfB
image947.wmf, A
image948.wmf- точка пересечения прямых BC и B
image949.wmfC
image950.wmf, B
image951.wmf- точка пересечения прямых AC и A
image952.wmfC
image953.wmf. Доказать, что если прямые AA
image954.wmf, BB
image955.wmf, CC
image956.wmf пересекаются в одной точке, то точки A
image957.wmf, B
image958.wmf, C
image959.wmf лежат на одной прямой. Указание: записав равенство Чевы для точек A
image960.wmf,B
image961.wmf,C
image962.wmf; A
image963.wmf,B
image964.wmf, C
image965.wmf; A
image966.wmf, B
image967.wmf, C
image968.wmf; A
image969.wmf, B
image970.wmf,C
image971.wmf,получить, что для точек A
image972.wmf, B
image973.wmf, C
image974.wmf выполняется равенство Чевы ; далее доказать, что или все три точки A
image975.wmf, B
image976.wmf, C
image977.wmf лежат на продолжениях сторон треугольника( так будет, если A
image978.wmf,B
image979.wmf,C
image980.wmfлежат на сторонах треугольника), или лишь одна находится на продолжении (если на сторонах треугольника одна из точек A
image981.wmf,B
image982.wmf,C
image983.wmf) и воспользоваться теоремой Менелая.

4. Пусть ABCD – четырехугольник, P- точка пересечения BC и AD, Q – точка пересечения AC и BD, R – точка пересечения AB и CD. Доказать, что точки пересечения BC и QR, CA и RP, AB и PQ лежат на одной прямой. Указание: применить теорему Менелая к треугольникам ABD,BDC и DCA.

5. Окружность пересекает сторону AB треугольника ABC в точках C

image984.wmf и C
image985.wmf, сторону BС – в точках A
image986.wmfи A
image987.wmf, сторону CA- в точках B
image988.wmf и B
image989.wmf. Доказать, что если прямые AA
image990.wmf,BB
image991.wmf и CC
image992.wmf пересекаются в одной точке, то и прямые AA
image993.wmf, BB
image994.wmfи CC
image995.wmf также пересекаются в одной точке. Указание: воспользоваться теоремой Чевы.

Занятия 5-6. Тема: Решение задач на пропорциональное деление отрезков в треугольнике.

Цели: овладение навыком решения задач с использованием теорем Менелая и Чевы; повышение уровня математической культуры учащихся, развитие их познавательных способностей.

Прежде всего надо отметить, что усвоение каждой темы школьного курса математики и развитие учащихся на том или ином уровне обеспечивается определенной системой упражнений и задач. [7,с.203] Выполнение математических упражнений является важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой школьниками усваивается математическая теория, развиваются их творческие способности и самостоятельность мышления.[15,с.3] Умение решать задачи самостоятельно, без посторонней помощи формируется автоматически, непроизвольно лишь у небольшой части учащихся. Для большинства же требуется специальная работа учителя в этом направлении. У школьников необходимо формировать умение решать и стандартные, и нестандартные задачи.

Наработать навыки решения стандартных задач на применение теорем Чевы и Менелая , а также организовать контроль за их выполнением поможет следующая таблица.

image1773.png Отнош.

№ зад.

а)

image996.wmf

б)

image997.wmf

в)

image998.wmf

г)

image999.wmf

д)

image1000.wmf

е)

image1001.wmf

1.

image1002.wmf

image1003.wmf

image1004.wmf

image1005.wmf

image1006.wmf

image1007.wmf

2.

image1008.wmf

image1009.wmf

image1010.wmf

image1011.wmf

image1012.wmf

image1013.wmf

3.

image1014.wmf

image1015.wmf

image1016.wmf

image1017.wmf

image1018.wmf

image1019.wmf

4.

image1020.wmf

image1021.wmf

image1022.wmf

image1023.wmf

image1024.wmf

image1025.wmf

5.

image1026.wmf

image1027.wmf

image1028.wmf

image1029.wmf

image1030.wmf

image1031.wmf

6.

image1032.wmf

image1033.wmf

image1034.wmf
image1035.wmf

image1036.wmf�� EMBED Equation.3 image1037.wmf

image1038.wmf

image1039.wmf

7.

image1040.wmf

image1041.wmf

image1042.wmf

image1043.wmf

image1044.wmf

image1045.wmf

8.

image1046.wmf

image1047.wmf

image1048.wmf

image1049.wmf

image1050.wmf

image1051.wmf

Если три отрезка, соединяющие вершины A,B,C треугольника соответственно с точками A

image1052.wmf,B
image1053.wmf,C
image1054.wmf лежащими на его сторонах, противоположных этим вершинам, пересекаются в точке O, то по любым двум из шести отношений длин отрезков, на которые точки A
image1055.wmf,B
image1056.wmf,C
image1057.wmf делят стороны треугольника, а точка O- отрезки AA
image1058.wmf,BB
image1059.wmf,CC
image1060.wmf, однозначно определяются оставшиеся отношения(с помощью теорем Менелая и Чевы).

image1774.pngДве задачи из таблицы можно разобрать на занятии, остальные дать домой (используя таблицу, можно составить несколько вариантов заданий).

Далее можно организовать работу в группах.

Задача.

В

image1061.wmfABC на сторонах AB, BC,AC взяты точки C
image1062.wmf, A
image1063.wmf,B
image1064.wmf соответственно. Отрезки BB
image1065.wmf,AA
image1066.wmf, CC
image1067.wmf пересекаются в точке O. CB
image1068.wmf: B
image1069.wmfA=p, CA
image1070.wmf: A
image1071.wmfB=q.

Найти :

image1072.wmf.

Ученики делятся на 4 группы по количеству отношений, которые необходимо найти.

После того как задача окажется решена каждой группой, идет выступление представителей.

Решение: 1) Рассмотрим

image1073.wmf; O
image1074.wmfAA
image1075.wmf, B
image1076.wmfA
image1077.wmfC, B
image1078.wmf
image1079.wmfAC, O,B,B
image1080.wmf лежат на одной прямой (рис.29).

По теореме Менелая

image1081.wmf�� EMBED Equation.3 image1082.wmf;
image1083.wmf�� EMBED Equation.3 image1084.wmf
image1085.wmf.

2) Рассмотрим

image1086.wmf; O
image1087.wmfBB
image1088.wmf, A
image1089.wmf
image1090.wmfBC, A
image1091.wmfCB
image1092.wmf; O, A
image1093.wmf,A лежат на одной прямой.

По теореме Менелая

image1094.wmf;
image1095.wmf
image1096.wmf.

3) Рассмотрим

image1097.wmf, по теореме Чевы
image1098.wmf;
image1099.wmf;
image1100.wmf.

image1101.wmf По теореме Менелая для
image1102.wmfСС
image1103.wmfA и секущей BB
image1104.wmf
image1105.wmf;
image1106.wmf
image1107.wmf;
image1108.wmf.

4) Рассмотрим

image1109.wmf, по теореме Чевы
image1110.wmf;
image1111.wmf;
image1112.wmf.

Чтобы включить знания учащихся в систему, важно среди задач по теме иметь комплексные задачи, то есть задачи, при решении которых используются знания, полученные при изучении не только данной, но и предыдущих тем, а также при изучении других разделов математики. Поэтому полезными окажутся задачи 1-5.

image1775.pngЗадача 1. .В треугольнике ABC, описанном около окружности, AB = 8, BC = 5, AC = 4. Точки A

image1113.wmf
image1114.wmf и C
image1115.wmf - точки касания, принадлежащие соответственно сторонам BC,AC и BA. Точка P - точка пересечения отрезков AA
image1116.wmf и CC
image1117.wmf.

Найдите AP: PA

image1118.wmf.

Решение: так как отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке, то P

image1119.wmfBB
image1120.wmf. Пусть C
image1121.wmfB=x, тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения ( рис. 30)

8 - x + 5 - x = 4, x =

image1122.wmf. Значит,C
image1123.wmfB = BA=
image1124.wmf; A
image1125.wmfC = 5 –
image1126.wmf=
image1127.wmf, AC = 8 –
image1128.wmf=
image1129.wmf.

В треугольнике ABA

image1130.wmf прямая C
image1131.wmfC пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая

image1132.wmf�� EMBED Equation.3 image1133.wmf�� EMBED Equation.3 image1134.wmf
image1135.wmf,
image1136.wmf,
image1137.wmf =
image1138.wmf .

Ответ: 70: 9.

Задача 2. Стороны треугольника 5, 6 и 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.

image1776.pngРешение: пусть в треугольнике ABC AB = 5, BC = 7, AC = 6. Угол BAC лежит против большей стороны в треугольнике ABC, значит, угол BAC – больший угол треугольника. Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис. Пусть O -точка пересечения биссектрис. Необходимо найти AO:OD. Так как AD – биссектриса треугольника ABC, то

image1139.wmf =
image1140.wmf, то есть BD = 5k, DC = 6k. Так как BF – биссектриса треугольника ABC, то
image1141.wmf=
image1142.wmf, то есть AF = 5m, FC = 7m.

Прямая BF пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника ADC.

По теореме Менелая

image1143.wmf.
image1144.wmf.
image1145.wmf = 1,
image1146.wmf =
image1147.wmf =
image1148.wmf =
image1149.wmf

Ответ: 11:7.

image1777.png Задача 3. В треугольнике ABC, описанном около окружности, AB =13, BC = 12, AC = 9, A

image1150.wmf и C
image1151.wmf - точки касания, лежащие соответственно на сторонах BC и AB. Q –точка пересечения отрезков AA
image1152.wmfи BH,где BH- высота. Найдите отношение BQ:QH.

Решение:

треугольник ABC – разносторонний, значит, точка H не совпадает с точкой касания. Обозначим точку касания, лежащую на стороне AC, буквой B

image1153.wmf.

1. Пусть C

image1154.wmfB = x, тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения (рис.32):

BA

image1155.wmf=x, A
image1156.wmfC=B
image1157.wmfC=12-x, AC
image1158.wmf=AB
image1159.wmf=13-x. Тогда (13 – x) + (12 – x) = 9, x=8. Значит, C
image1160.wmfB =BA
image1161.wmf= 8, AC
image1162.wmf=AB
image1163.wmf= 5, CA
image1164.wmf=CB
image1165.wmf=4.

2. По формуле Герона

S

image1166.wmf =
image1167.wmf�� EMBED Equation.3 image1168.wmf= 4
image1169.wmf,

S

image1170.wmf=
image1171.wmf�� EMBED Equation.3 image1172.wmf, BH=
image1173.wmf, BH =
image1174.wmf .

3. Из треугольника ABH (прямоугольного) по теореме Пифагора

AH =

image1175.wmf =
image1176.wmf.

4. В треугольнике CBH прямая AA

image1177.wmf пересекает две его стороны и продолжение третьей. По теореме Менелая

image1178.wmf.
image1179.wmf.
image1180.wmf=1,
image1181.wmf�� EMBED Equation.3 image1182.wmf.
image1183.wmf.
image1184.wmf=1,
image1185.wmf.
image1186.wmf.
image1187.wmf=1,
image1188.wmf =
image1189.wmf.

Ответ: 162:53.

image1778.pngЗадача 4. В треугольнике ABC, площадь которого равна 6, на стороне AB взята точка K, делящая эту сторону в отношении AK:BK = 2:3, а на стороне AC – точка L, делящая AC в отношении AL: LC = 5:3. Точка Q пересечения прямых CK и BL удалена от прямой AB на расстояние

image1190.wmf. Найдите длину стороны AB.

Решение:

1. Треугольники ABL и ABC имеют одинаковую высоту, проведенную из вершины B.

image1191.wmf =
image1192.wmf =
image1193.wmf =
image1194.wmf, тогда S
image1195.wmf =
image1196.wmf6 =
image1197.wmf.

2. Прямая KC пересекает в треугольнике ABL две стороны и продолжение третьей. По теореме Менелая

image1198.wmf.
image1199.wmf.
image1200.wmf = 1,
image1201.wmf.
image1202.wmf.
image1203.wmf = 1,
image1204.wmf =
image1205.wmf, то есть BQ = 4p, QL = p.

3. Треугольники KBQ и ABL имеют общий угол, значит,

image1206.wmf =
image1207.wmf =
image1208.wmf =
image1209.wmf, тогда S
image1210.wmf =
image1211.wmf.
image1212.wmf =
image1213.wmf.

4. S

image1214.wmf =
image1215.wmf�� EMBED Equation.3 image1216.wmf
image1217.wmf KB =
image1218.wmf=
image1219.wmf, 3m =
image1220.wmf, тогда m =
image1221.wmf , AB=5m = 4.

Итак, AB = 4.

Ответ: 4.

Задача 5. На стороне AC в треугольнике ABC взята точка K. AK = 1, KC = 3. На стороне AB взята точка L. AL:LB=2:3. Q – точка пересечения прямых BK и CL. S

image1222.wmf = 1. Найдите длину высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B.

image1779.png

Решение: прямая BK пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника ALC (рис.34) . По теореме Менелая

image1223.wmf,
image1224.wmf
image1225.wmf
image1226.wmf , то есть LQ = 1p, QC = 5p.

1) треугольники ALC и AQC имеют общий угол, значит,

image1227.wmf, S
image1228.wmf=
image1229.wmf.

2) Треугольники ABC и ALC имеют общую высоту, проведенную из вершины C, значит,

image1230.wmf, S
image1231.wmf =
image1232.wmf.

3) S

image1233.wmf=
image1234.wmf, BH =
image1235.wmf.

Ответ:1,5.

Для самостоятельного решения можно взять задачи 3-8 из таблицы.

Занятия 7-8. Тема: Решение задач, связанных с нахождением площадей.

Многие планиметрические задачи заканчиваются словами «найти площадь…». Примерно половина из них может быть решена посредством нахождения отрезков и углов, необходимых для вычисления площади данной фигуры; часто в таких задачах бывает удобным и метод поиска площадей фигур путем сравнения с известными площадями.

Рассмотрим ряд таких задач и возможность использования в них известных нам теорем.

image1780.pngЗадача 1. На сторонах AC и BC треугольника ABC отмечены точки N и K так, что AN:NC=m:n, AK

image1236.wmfBN=Q, BQ:QN=p:q. Найти отношение площадей треугольников AKC и ABK.

Решение:

image1237.wmfAKC и
image1238.wmfABK имеют одинаковую высоту,

проведенную из вершины A, поэтому

image1239.wmf (рис.18).

По теореме Менелая для

image1240.wmfBCN и секущей AK имеем
image1241.wmf;
image1242.wmf. Отсюда

image1243.wmf. Ответ:
image1244.wmf

image1781.pngЗадача 2. Через вершину B

image1245.wmf проведена прямая, параллельная биссектрисе
image1246.wmfС и пересекающая продолжение стороны АС в точке D. Пусть Е – середина отрезка ВD. Определить, в каком отношении прямая АЕ делит площадь
image1247.wmf, если известно, что АС=5, ВС=10.

Решение: 1) СК – биссектриса

image1248.wmf
image1249.wmf.

2)

image1250.wmf~
image1251.wmf по двум углам ,
image1252.wmf.

image1253.wmfРассмотрим
image1254.wmf и секущую АЕ; A
image1255.wmfCD, F
image1256.wmfBC, E
image1257.wmfBD, A,F,E
image1258.wmfAE.

По теореме Менелая

image1259.wmf,
image1260.wmf,
image1261.wmf.

Ответ: 1:3.

Задача 3. Медиана BD и биссектриса AE треугольника ABC пересекаются в точке F.image1782.png Найти площадь треугольника ABC , если AF=3FE, BD=4, AE=6.

Решение: пусть FE=k, тогда AF=3k. AE=AF+FE= 3k+k=4k, 4k=6, k=

image1262.wmf. AF=
image1263.wmf FE=
image1264.wmf.

Рассмотрим

image1265.wmf и секущую BD; B
image1266.wmfEC, F
image1267.wmfAE, D
image1268.wmfAC. По теореме Менелая
image1269.wmf.

Рассмотрим

image1270.wmf�� EMBED Equation.3 image1271.wmf и секущую АЕ; А
image1272.wmfDC, F
image1273.wmfBD, E
image1274.wmfBC, A,F,E
image1275.wmfAE.

По теореме Менелая

image1276.wmf.

В

image1277.wmf AF – биссектриса и медиана
image1278.wmf
image1279.wmf - равнобедренный и
image1280.wmf;

image1281.wmf;
image1282.wmf.

Ответ: 18

image1783.pngЗадача 4. В равнобедренном треугольнике

image1283.wmfABC (AС=BC) проведены медиана BN и высота АМ, которые пересекаются в точке D. AD=5, DM=2. Найти
image1284.wmf.

Решение: AN=NC, AM=5+2=7. Рассмотрим

image1285.wmfAMC и секущую NB (рис. 37)

N

image1286.wmfAC, B
image1287.wmfCM, D
image1288.wmfAM. По теореме Менелая
image1289.wmf;
image1290.wmf;
image1291.wmf.

Пусть коэффициент пропорциональности равен k, тогда СМ=3k, BM=2k.

Из

image1292.wmfACM - прямоугольного:
image1293.wmf,

image1294.wmf;

image1295.wmf ;
image1296.wmf,
image1297.wmf,
image1298.wmf

Тогда

image1299.wmf,
image1300.wmf

Ответ:

image1301.wmf.

image1784.pngЗадача 5. В

image1302.wmfABC на сторонах AB и BC взяты точки K и L так, что
image1303.wmf и
image1304.wmf,
image1305.wmf,
image1306.wmf. Найти
image1307.wmf.

Решение: пусть

image1308.wmf.

1)

image1309.wmfAOK и
image1310.wmfAOC имеют равные высоты,
image1311.wmf
image1312.wmf;

2)

image1313.wmfCAK и
image1314.wmfCBK имеют равные высоты,
image1315.wmf;

3)

image1316.wmf; 4)
image1317.wmf;

5) Рассмотрим

image1318.wmfKBC и секущую AL; A
image1319.wmfKB, O
image1320.wmfKC, L
image1321.wmfBC.

По теореме Менелая

image1322.wmf.

image1323.wmf

image1324.wmf,
image1325.wmf,
image1326.wmf

x=6 :

image1327.wmf - верно.

image1328.wmf

image1329.wmf, D<0 – других действительных корней нет.

image1330.wmf. Ответ: 21.

image1785.pngЗадача 6. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки M и N соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке L. Площади треугольников AML , CNL и ALC равны соответственно 15, 48 и 40. Найти площадь треугольника ABC.

Решение:

image1331.wmfALC и
image1332.wmfLCN , а также
image1333.wmfAML и
image1334.wmfALC имеют общие высоты, опущенные соответственно на стороны AN и MC. Отсюда следует, что площади этих треугольников относятся как соответствующие основания.

image1335.wmf

Рассмотрим

image1336.wmfBMC и секущую AN.

По теореме Менелая

image1337.wmf (1)

Рассмотрим

image1338.wmfABN и секущую MC.

По теореме Менелая

image1339.wmf (2)

Вычитая из (2) соотношение (1) , получим

image1340.wmf

Так как

image1341.wmf то
image1342.wmf откуда 3AM=MB, а значит, AM=
image1343.wmf MB=
image1344.wmf Отсюда следует, что S
image1345.wmf составляет
image1346.wmf часть площади треугольника ABC (они имеют общую высоту, проведенную из вершины С).

Тогда

image1347.wmfS
image1348.wmf= 4
image1349.wmfS
image1350.wmf=(15+40)
image1351.wmf.

Ответ: 220

Задача 7 . На стороне AB треугольника ABC взята точка E, а на стороне BC- точка D так, что DC=1, AE=2. Прямые AD и CE пересекаются в точке O. Найти площадь четырехугольника BDOE, если AB=BC=8, AC=6.

image1786.pngРешение: Площадь треугольника ABC найдем по формуле Герона:

p = (8+8+6):2=11, S=

image1352.wmf=
image1353.wmf

Треугольники BAD и DAC имеют общую высоту, поэтому их площади относятся как длины оснований, то есть

image1354.wmf, так как S=S
image1355.wmf+S
image1356.wmf.

Аналогично,

image1357.wmf.

Рассмотрим треугольник BEC и секущую AD. По теореме Менелая

image1358.wmf,

image1359.wmf, S
image1360.wmf=
image1361.wmf

S

image1362.wmf=S
image1363.wmf

Ответ:

image1364.wmf

Дополнительные задачи.

1. Отрезок АВ делится точкой D отношении 3:2, а отрезок ВС – точкой Е в отношении 1:3. Отрезки АЕ и CD пересекаются в точке F. Чему равно отношение площадей треугольников ADF и CFE?

2. Площадь треугольника АВС равна 28, точка D лежит на стороне АВ втрое ближе к А, чем к В, а точка Е на стороне ВС втрое ближе к С, чем к В. Прямые CD и АЕ пересекаются в точке F. Чему равны площади треугольника ADF и четырехугольника DBEF?

3. На стороне АВ треугольника АВС взята точка D, а на стороне АС – точка Е так, что АЕ= BD=2. Прямые CD и BE пересекаются в точке О. Найти площадь треугольника ВОС, если АВ=ВС=5, АС=6.

4. На стороне ВС треугольника АВС взята точка D, а на стороне АС – точка Е так, что BD=2, а АЕ=3. Прямые AD и ВЕ пересекаются в точке О. Найти площадь четырехугольника CDOE, если АС=ВС=9, АВ=8.

5. На стороне АС треугольника АВС взята точка D, а на стороне ВС – точка F так, что AD=3, a BF=1. Прямые BD и AF пересекаются в точке О. Найти площадь треугольника АОВ, если АВ=АС=5, ВС=6.

6. На сторонах KL и LM треугольника KLM взяты точки А и В соответственно. Отрезки АМ и ВK пересекаются в точке С. Площади треугольников АСK, BCM и CKM равны соответственно 2, 12 и 8. Найти площадь треугольника LAC.

7. На сторонах FG и GH треугольника FGH взяты точки K и L соответственно. Отрезки KH и FL пересекаются в точке М. Площади треугольников KMF, HML и FMH равны соответственно 2, 4 и 4. Найти площадь треугольника GKL.

8. На сторонах RT и TS треугольника RTS взяты точки А и В соответственно. Отрезки AS и BR пересекаются в точке С. Площади треугольников ACR, BCS и RCS равны соответственно 5, 8 и 10. Найти площадь четырехугольника TACB.

Занятия 9-10. Тема: Комбинированные задачи.

image1787.pngЭти занятия посвящены более сложным задачам, которые встречаются на олимпиадах разных уровней. Так как большая часть олимпиадных задач затрагивает небольшое число разделов математики, то школьникам, стремящимся к успеху, полезно знать темы этих разделов и видеть, что многие новые задачи часто не более чем малоузнаваемые вариации прежних.

Задача 1. На стороне NP квадрата MNPQ взята точка A, а на стороне PQ – точка B так, что NA:AP = PB:BQ = 2:3. Точка L является точкой пересечения отрезков MA и NB. В каком отношении точка L делит отрезок MA?

Решение: проведем прямую AB, пусть она пересекает прямую MQ в точке F и пусть прямая NB пересекает прямую MQ в точке D (рис.41).

image1365.wmfAPB ~
image1366.wmfFQB, тогда
image1367.wmf , откуда QF=
image1368.wmf.

image1369.wmfNPB ~
image1370.wmfDQB, тогда
image1371.wmf , откуда QD =
image1372.wmf.

FD = QD – QF=

image1373.wmf.

Из треугольника APB (прямоугольного) по теореме Пифагора AB =

image1374.wmfk.

Из треугольника QBF (прямоугольного) по теореме Пифагора BF =

image1375.wmf�� EMBED Equation.3 image1376.wmf. Из треугольника AFM по теореме Менелая

image1377.wmf,
image1378.wmf,
image1379.wmf,
image1380.wmf.

Ответ: 25: 4.

Задача 2. Дан параллелограмм ABCD. Точка M делит отрезок AD в отношении p , а точка N делит отрезок DC в отношении q. Прямые BM и AN пересекаются в точке S. Вычислите отношение AS:SN.

image1788.pngРешение:

image1381.wmf�� EMBED Equation.3 image1382.wmfесли MD=b, то AM=pb;
image1383.wmf
image1384.wmfесли NC = a, то DN = aq.

Пусть B

image1385.wmf - точка пересечения прямых BM и CD.

image1386.wmfMB
image1387.wmfD ~
image1388.wmfBB
image1389.wmfC, тогда
image1390.wmf�� EMBED Equation.3 image1391.wmf;

image1392.wmf;

1+p =

image1393.wmf; x =
image1394.wmf.

Прямая BB

image1395.wmf пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника AND. По теореме Менелая
image1396.wmf

image1397.wmf,
image1398.wmf, откуда
image1399.wmf.

Ответ:

image1400.wmf.

Задача 3. На сторонах AС и BC

image1401.wmf взяты точки М и L так, что AM:MC=4:1, CL:LB=3:1. Отрезки AL и BM пересекаются в точке Q.
image1402.wmf.

image1789.png1) Найти

image1403.wmf; 2) На АВ взяли точку N так, что CN – медиана ;
image1404.wmf,
image1405.wmf. Найти
image1406.wmf.

Решение:

1) а) Рассмотрим

image1407.wmf, BM – секущая (рис.43),

по теореме Менелая

image1408.wmf,
image1409.wmf

б)

image1410.wmfи
image1411.wmf имеют равные высоты
image1412.wmf
image1413.wmf. Так как
image1414.wmf,

image1415.wmf

в)

image1416.wmf и
image1417.wmf имеют равные высоты
image1418.wmf�� EMBED Equation.DSMT4 image1419.wmf

image1790.png2) CN-медиана

image1420.wmfAN=NB. Найдем
image1421.wmf (рис. 44).

а)

image1422.wmf,
image1423.wmf;

б)

image1424.wmf( имеют равные высоты),

image1425.wmf;
image1426.wmf.

в) Рассмотрим

image1427.wmfABM и секущую NC.

По теореме Менелая

image1428.wmf,
image1429.wmf

image1430.wmf,
image1431.wmf,
image1432.wmf

image1433.wmf,
image1434.wmf

image1435.wmf.

image1791.png Ответ: 11

image1436.wmfкв.ед.

Задача 4. На стороне AB

image1437.wmfABC взята точка D, а на стороне AC – точка Е так, что длина AE=BD=2. Прямые
image1438.wmf. Найти
image1439.wmf, если AB=BC=5, AC=6.

Решение: 1)

image1440.wmf,
image1441.wmf,
image1442.wmf

2) Рассмотрим

image1443.wmfABE, DC – секущая; D
image1444.wmfAB, O
image1445.wmfBE, C
image1446.wmfAE(рис.45).

По теореме Менелая

image1447.wmf,
image1448.wmf;
image1449.wmf.

Значит, CO – медиана

image1450.wmfBCE,
image1451.wmf.

Из

image1452.wmfABC по теореме косинусов
image1453.wmf

image1454.wmf,
image1455.wmf

image1456.wmf

image1457.wmf;
image1458.wmf.

Ответ: 4.

Примечание 9: если на момент решения задачи теорема косинусов учащимся еще не известна, задачу 4 следует отложить до изучения теоремы.

Задача 5. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС отмечены точки

image1459.wmf и
image1460.wmf соответственно так, что отрезки
image1461.wmf и
image1462.wmf пересекаются в одной точке Q, расположенной внутри треугольника АВС. Пусть Р – точка пересечения отрезков
image1463.wmf и
image1464.wmf. Доказать, что
image1465.wmf.

Доказательство. Эта задача может быть решена многими способами, мы разберем решение, использующее теоремы Менелая и Чевы, чрезвычайно полезные для решения задач такого типа.

image1792.pngЕсли

image1466.wmf
image1467.wmf, то утверждение задачи может быть доказано достаточно легко. Рассмотрим случай, когда прямые
image1468.wmf и
image1469.wmf пересекаются в точке

М ( рис.46). По теореме Менелая для треугольников

image1470.wmf и
image1471.wmf имеем:

image1472.wmf,
image1473.wmf, откуда
image1474.wmf,

image1475.wmf.

Складывая эти равенства, получаем

image1476.wmf (1)

По теореме Менелая для треугольников

image1477.wmf и
image1478.wmf имеем:

image1479.wmf,
image1480.wmf

Учитывая, что

image1481.wmf,
image1482.wmf, и складывая уравнения, получаем:

image1483.wmf. Из теоремы Чевы для треугольника АВС следует, что
image1484.wmf.

Поэтому

image1485.wmf (2)

Сравнивая (1) и (2) , получаем требуемое.

image1793.pngЗадача 6. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC через точку A проведена прямая, которая пересекает диагональ BD в точке E и боковую сторону CD в точке K, причем BE:ED=1:2, CK:KD=1:4. Найдите отношение длин оснований трапеции.

Решение. Пусть BC=a, AD=b. Необходимо найти

image1486.wmf. Пусть BC
image1487.wmfAK=Q (рис.47).

1) По теореме Менелая для

image1488.wmfBCD и секущей AQ имеем
image1489.wmfCQ=a , BC=CQ=a.

2)

image1490.wmfCKQ ~
image1491.wmfDKA по двум углам, тогда
image1492.wmf Так как а = BC, b=AD, то
image1493.wmf

Ответ:

image1494.wmf

Дополнительные задачи.

1. Высота трапеции ABCD равна 7, а длины оснований AD и BC равны соответственно 8 и 6. Через точку E, лежащую на стороне CD, проведена прямая BE, которая делит диагональ AC в точке O в отношении AO:OC=3:2. Найдите площадь треугольника OEC.

2. Через середину M стороны BC параллелограмма ABCD, площадь которого 1, и вершину A проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке Q. Найдите площадь четырехугольника QMCD.

3. В треугольнике ABC точки K и L принадлежат соответственно сторонам AB и BC. AK:BK=1:2, CL:BL=2:1. Q- точка пересечения отрезков AL и CK. S

image1495.wmf=1.

Найдите площадь треугольника ABC.

2.2. Изучение темы «Теорема Менелая и теорема Чевы» в курсе геометрии 10 класса.

Профилирование старшей школы предусматривает два курса математики - базовый и профильный. Как уже отмечалось выше, тема « Теорема Менелая и теорема Чевы» изучается лишь в классах физико-математического и естественнонаучного профиля. Причем данный материал «подлежит изучению, но не включается в Требования к уровню подготовки выпускников»[16, с.12], то есть элементы содержания являются обязательными для обучения, однако даются в ознакомительном порядке и не выносятся на итоговый контроль. На изучение темы отводится 2 часа. Распределить материал можно таким образом:

Урок 1.Теорема Менелая и теорема Чевы.

Урок 2. Применение теорем Менелая и Чевы в решении ключевых задач.

Урок 1 по изучению теорем Менелая и Чевы проводится в форме лекции. Основными целями такого урока являются ознакомление учащихся с теоремами и их некоторыми приложениями, повышение познавательного интереса учащихся, выработка у них потребности обобщения изучаемых фактов.

Оборудование: 1. Листы с задачами по теме.

2.Проекционный экран компьютера и слайды, заготовленные на

дискете и проецируемые на экран во время урока.

Ход урока.

Организационный момент - проверить готовность учащихся к уроку.

На проекционном экране (слайд 1) высвечена тема : «Теорема Менелая и теорема Чевы» и эпиграф: «Умение решать задачи - такое же практическое искусство, как умение плавать или бегать. Ему можно научиться только путем подражания или упражнения». (Д.Пойа)

I.Мотивационно - ориентировочная часть.

1. Актуализация знаний.

-В курсе геометрии мы рассматривали важные свойства геометрических фигур на плоскости, в том числе треугольников. Но не все удивительные факты и соотношения вошли в основной курс. А они значительно облегчают решение многих задач. Сегодня мы рассмотрим две теоремы, связанные с отношениями отрезков в треугольнике, и их применение. Но для этого нам потребуются следующие знания:

определение подобных треугольников; признаки подобия; свойства подобных треугольников и их площадей.

Далее идет повторение материала и устная работа со слайдами.

Слайд 2:

image1794.png

image1496.wmf;

1) Найти

image1497.wmf 2) S
image1498.wmf=2; S
image1499.wmf-?

Решение. 1) Так как

image1500.wmf,
image1501.wmf и
image1502.wmf имеют одну высоту, проведенную из вершины В, то
image1503.wmf=
image1504.wmf=3;
image1505.wmf 2)
image1506.wmf.

image1795.png

Слайд 3:

Найти

image1507.wmf

Решение:

image1508.wmfобщий
image1509.wmf

2.Мотивация. Постановка учебной задачи.

Ученикам в качестве домашней работы предлагалось решить задачу:

В треугольнике ABC на стороне AC взята точка N так, что AN:NC=m:n, на стороне BC- точка K . BN пересекает AK в точке Q, BQ : QN= p:q. Найти отношение площадей треугольников AKC и ABK.

Идет обсуждение решения задачи. На экране появляется слайд 4.

1) AN:NC=m:n, BQ:QN= p:q,

image1510.wmf( т.к. высоты равны)

2) Дополнительное построение: ND||BC.

image1796.png

3)

image1511.wmf~
image1512.wmf по двум углам
image1513.wmf;

4)

image1514.wmfMQN~
image1515.wmfKQB по двум углам
image1516.wmf
image1517.wmf;
image1518.wmf,
image1519.wmf

Ответ:

image1520.wmf�� EMBED Equation.DSMT4 image1521.wmf

- Эту же задачу можно решить и без дополнительного построения. Быстрый ответ можно получить с помощью теоремы Менелая.

II. Содержательная часть.

Далее идет объяснение нового материала под запись учащихся (см. главу 1). После рассмотрения теоремы возвращаемся к домашней задаче ( слайд 4).

Рассмотрим

image1522.wmfBCN и секущую AK, K
image1523.wmf Тогда по теореме Менелая

image1524.wmf;
image1525.wmf;
image1526.wmf

Ученикам разъясняется, как правильно выбрать треугольник, как делать его «обход».

Рассматривается еще одна задача.

Слайд 6.

AM=

image1527.wmf;
image1528.wmf

image1797.pngВ каком отношении отрезок BM делит отрезок AK?

Решение: пусть

image1529.wmf. Рассмотрим
image1530.wmfAKC и секущую BM.

image1531.wmf По теореме Менелая
image1532.wmf

Ответ: 2.

Рассмотрим еще одну теорему, связанную с пропорциональными отрезками в треугольнике – теорему Чевы.

Далее дается формулировка и доказательство теоремы для случая внутренней точки (см. главу 1) . Решается задача со слайда 7.

image1798.png

image1533.wmf

Найти

image1534.wmf.

Решение: по теореме Чевы для

image1535.wmfABC имеем
image1536.wmf

Ответ:

image1537.wmf=3:2.

III. Рефлексивно – оценочная часть.

Подводятся итоги урока, повторяются утверждения теорем, в листе с задачами по теме отмечаются задачи для домашней работы.

1. В треугольнике ABC на сторонах AB и BC взяты точки K и M; CK

image1538.wmfAM=O. Обозначим AK: KB= k, BM: MC= m, CO: OK= p, AO:OM= l. Пусть из четырех чисел k,m,p и l известны два. Найти два оставшихся числа, если

а) k=2, m=

image1539.wmf; в) k=3, p= 2; д) m=
image1540.wmf, l=
image1541.wmf;

б) k=

image1542.wmf, m=
image1543.wmf; г) k=2, l=3; е) p=2, l=1.

Ответы: а) p=

image1544.wmf, l=
image1545.wmf; б) p=5, l=1; в) m=
image1546.wmf, l=5; г) m=
image1547.wmf, p=3; д) k=
image1548.wmf, p=15; е) k=
image1549.wmf, m=2.

5. На сторонах AC и BC

image1550.wmfABC расположены соответственно точки N и M так, что AN:NC=k, BM:MC=m, прямые AM и CM пересекаются в точке O. Найти отношения

AO:OM, BO:ON. Ответ:

image1551.wmf

Урок 2 .Тема «Применение теорем Менелая и Чевы в решении ключевых задач».

Цели урока: формировать умения:

-видеть конфигурации, удовлетворяющие заданным условиям;

-решать задачи нестандартными способами;

-осуществлять поиск решения комплексных задач синтетическим методом;

-использовать теоремы в задачах на доказательство;

-развивать самостоятельность.

Ход урока.

I. Мотивационно – ориентировочная часть.

1. Актуализация знаний.

В начале урока повторяются формулировки изученных теорем. В качестве устного упражнения можно предложить выполнить следующее задание:

На следующих рисунках указать треугольник, секущую и точки ее пересечения с каждой стороной треугольника или продолжением:

image1552.png

image1799.pngДалее класс делится на 4 группы, решается задача 1.

В

image1553.wmfABC на сторонах AB, BC,AC взяты точки C
image1554.wmf, A
image1555.wmf,B
image1556.wmf соответственно. Отрезки BB
image1557.wmf,AA
image1558.wmf, CC
image1559.wmf пересекаются в точке O. CB
image1560.wmf: B
image1561.wmfA=p, CA
image1562.wmf: A
image1563.wmfB=q.

Найти :

image1564.wmf.

Каждая группа находит одно из указанных отношений, далее идет проверка результатов.

Учитель выборочно оценивает работы учеников.

2. Мотивация. Постановка учебной задачи.

Мы рассмотрели задачи на прямое применение теорем Менелая и Чевы.

На этом уроке мы научимся применять эти утверждения к задачам, в которых первоначально не указано отношение отрезков и рассмотрим утверждения, обратные теоремам Менелая и Чевы.

image1800.pngII. Содержательная часть.

Рассмотрим следующие задачи.

Задача2.В каком отношении делит сторону BC треугольника ABC прямая, проходящая через точку A и середину медианы, выходящей из B?

Задача 3.

Дано:

image1565.wmfABC; AE - биссектриса,

BD - медиана ; AB=2, AC=3;

Найти BF: FD

Ввиду того, что задачи эти были решены выше, здесь их решение опускаем.

Далее ставится вопрос о справедливости обратных утверждений. Записываются формулировки теорем, обратных теоремам Менелая и Чевы. Используя их, предложить доказать известное утверждение: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

III. Рефлексивно – оценочная часть.

1. Подведение итогов.

Итогом может служить небольшая проверочная работа, организовать которую поможет таблица (с.24). Два отношения в каждой задаче учитель задает учащимся, остальные они находят самостоятельно.

2. Домашнее задание.

1) Используя теоремы Чевы и Менелая, доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

2) Доказать, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

3)Стороны треугольника 5, 6 и 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.

Примечание : в зависимости от уровня подготовленности класса и при наличии времени учитель может провести урок-практикум решения задач, включив комбинированные задачи (см.п.2.1), которые будут также полезны учащимся, так как они способствуют обобщению методов, приемов решения задач темы.

Также в 10 классе при изучении темы «Задачи на построение сечений» в параграфе «Тетраэдр и параллелепипед» можно использовать задачи типа

В тетраэдре ABCD на ребрах AB, BD, DC взяты точки K,M,P соответственно так, что

image1566.wmf Через точки K,M и P проходит плоскость, пересекающая прямые AD,BC и CA в точках E,F и G. Найти
image1567.wmf Какие из точек E, F и G расположены на ребрах тетраэдра?

2.3 Применение теорем Менелая и Чевы в решении стереометрических задач.

Стереометрия – это геометрия в пространстве. В основном задачи по стереометрии сводятся к геометрическим задачам на плоскости, поскольку обычно требуемые элементы можно найти, сведя исходную задачу к нескольким планиметрическим.

Задачи эти довольно-таки трудны, здесь главное опыт. А знание теоремы Менелая – это просто находка для решения стереометрических задач.

Она может оказаться очень полезной при изучении темы «Объемы тел» в курсе геометрии 11 класса.

Ниже приведем несколько задач, предлагавшихся на вступительных экзаменах в вузы.

Владение методами их решения дает большое преимущество перед школьниками, которые не умеют решать такого рода задачи.

Задача 1. На продолжении ребра АС правильной треугольной пирамиды ABCD с вершиной D взята точка K так, что КА:КС=3:4, а на ребре DC взята точка L так, что DL:LC=2:1. В каком отношении делит объем пирамиды плоскость, проходящая через точки B, L и К?

Дано:DABC – правильная пирамида,

image1568.wmf,
image1569.wmf,
image1570.wmf,
image1571.wmf, BLK –

плоскость,

image1572.wmf - объем верхней части пирамиды,
image1573.wmf - объем нижней части пирамиды.

Найти:

image1574.wmf.

Решение:

1) Построим сечение пирамиды DABC плоскостью BLK.

image1575.wmfсоединяем,
image1576.wmfсоединяем,

image1577.wmf,
image1578.wmfсоединяем,
image1579.wmfMLB - искомое сечение (рис.48).

2) Найдем

image1580.wmf, где
image1581.wmf- объем всей пирамиды.

Пусть BH – высота пирамиды DABC, проведенная из вершины В, но она – высота и BMDL.

image1582.wmf; V=
image1583.wmf, V
image1584.wmf=
image1585.wmf;

image1586.wmf;

image1587.wmf,
image1588.wmf - ?

3) Из

image1589.wmfADC:
image1590.wmf,
image1591.wmf,
image1592.wmf,
image1593.wmf.

По теореме Менелая

image1594.wmf,
image1595.wmf.

image1596.wmf,
image1597.wmf,
image1598.wmf.

(или: во всем объеме пирамиды 33 части, в верхней – 16, значит, 33-16=17 – частей

составляет

image1599.wmf. Тогда
image1600.wmf) Ответ:
image1601.wmf.

Задача 2. Дана правильная четырехугольная пирамида

image1602.wmf с вершиной
image1603.wmf. На продолжении ребра
image1604.wmf взята точка
image1605.wmf так, что
image1606.wmf. Через точки М, В и середину ребра
image1607.wmf проведена плоскость. В каком отношении она делит объем пирамиды?

Решение:

1) Построим сечение плоскостью

image1608.wmf.
image1609.wmf(по условию).

а)

image1610.wmf, соединяем
image1611.wmf BL;

б)

image1612.wmf, соединяем
image1613.wmf LM;

в)

image1614.wmf, соединяем
image1615.wmf BM ,
image1616.wmf;
image1617.wmf, соединяем
image1618.wmf
image1619.wmf

г) четырехугольник BLEK – искомое сечение.

2) Обозначим объемы нижней части пирамиды, верхней части и всей пирамиды

image1620.wmf
image1621.wmf,
image1622.wmf и
image1623.wmf соответственно, сторону основания –
image1624.wmf.

image1625.wmf

image1626.wmf (
image1627.wmfMBC - прямоугольный)

image1628.wmf;
image1629.wmfMKD~
image1630.wmfMBC по двум углам
image1631.wmf
image1632.wmf;
image1633.wmf

image1634.wmf

3)

image1635.wmf�� EMBED Equation.3 image1636.wmf~
image1637.wmf�� EMBED Equation.3 image1638.wmfпо двум углам
image1639.wmf.

4) Рассмотрим

image1640.wmfMLC и секущую
image1641.wmf.
image1642.wmf.

По теореме Менелая

image1643.wmf;
image1644.wmf

Значит

image1645.wmf;
image1646.wmf.

5)

image1647.wmf.

6)

image1648.wmfSCH~
image1649.wmf
image1650.wmf по двум углам
image1651.wmf
image1652.wmf.

Пусть

image1653.wmf, тогда
image1654.wmf,
image1655.wmf.

image1656.wmf.

7)

image1657.wmf

image1658.wmf, т.е. V содержит 60 частей,
image1659.wmf
image1660.wmf на
image1661.wmf приходится 31 часть.
image1662.wmf

Ответ: 29:31

Задача 3. Дана правильная треугольная призма с боковыми ребрами

image1663.wmf,
image1664.wmf и
image1665.wmf. Причем на продолжении ребра
image1666.wmf взята точка
image1667.wmf так, что
image1668.wmf. Через точки
image1669.wmf,
image1670.wmf и середину ребра
image1671.wmf проведена плоскость. В каком отношении она делит объем призмы?

Решение:

1) Построение сечения:

а)

image1672.wmf, соединяем
image1673.wmfMB
image1674.wmf,
image1675.wmf.

б)

image1676.wmf, соединяем
image1677.wmf
image1678.wmf,
image1679.wmf.

в)

image1680.wmf, соединяем
image1681.wmf
image1682.wmf.

г) четырехугольник

image1683.wmf - искомое сечение.

2) Пусть

image1684.wmf,
image1685.wmf,
image1686.wmf - объемы нижней части, верхней части и всей призмы,
image1687.wmf - высота призмы,
image1688.wmf - сторона основания.

image1689.wmf;
image1690.wmf

image1691.wmfMLA~
image1692.wmf
image1693.wmf
image1694.wmf;
image1695.wmf
image1696.wmf

Рассмотрим

image1697.wmfABC,
image1698.wmf - секущая,
image1699.wmf.

По теореме Менелая

image1700.wmf.

image1701.wmf,
image1702.wmf,
image1703.wmf;
image1704.wmf,
image1705.wmf,
image1706.wmf,
image1707.wmf.

image1708.wmf

image1709.wmf

image1710.wmf

image1711.wmf,

image1712.wmf - части приходится на
image1713.wmf.
image1714.wmf .

Ответ: 13:23

Задачи для самостоятельного решения:

1. Дана правильная четырехугольная пирамида

image1715.wmf с вершиной
image1716.wmf. На продолжении ребра
image1717.wmf взята точка
image1718.wmf так, что
image1719.wmf. Через точку
image1720.wmf и середины ребер
image1721.wmf и
image1722.wmf проведена плоскость. В каком отношении она делит объем пирамиды?

2. Высота правильной призмы

image1723.wmf равна стороне ее основания. Точки
image1724.wmf и
image1725.wmf- середины ребер
image1726.wmf и
image1727.wmf соответственно. Найти площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки
image1728.wmf,
image1729.wmf и
image1730.wmf, если сторона основания равна
image1731.wmf.

3. В тетраэдре ZABC проведено сечение плоскостью. Точки M,N,P,Q принадлежат плоскости и ребрам ZA,AB,BC,CZ соответственно, причем ZM=

image1732.wmfMA, AN=
image1733.wmfNB, BP=
image1734.wmfPC, CQ=
image1735.wmfQZ. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?

4. Объем тетраэдра ZABC равен 7. Через середины ребер ZA и CB проведена плоскость, пересекающая ребро ZC в точке Q, а ребро AB – в точке L. При этом

ZQ:QC=2:5, AL:LB=2:5. Найдите площадь сечения тетраэдра указанной плоскостью, если расстояние до нее от вершины A равно 1.

Использовать приведенные задачи можно и на уроках заключительного повторения в 11 классе, причем здесь необходима целенаправленная работа по систематизации и углублению знаний учащихся. В работе можно использовать задания, приведенные в п.2.1, в приложении 2. Особое внимание нужно уделить планиметрическим задачам, так как они составляют основную массу задач вступительных экзаменов в вузы. Наличие заданий различной трудности позволит вести дифференцированную работу с учащимися.

Заключение

Крылатую фразу Козьмы Пруткова «Никто не обнимет необъятного» в полной мере можно отнести и к геометрии треугольника. В самом деле, треугольник, как кладезь прекрасных и поразительных геометрических конструкций, поистине неисчерпаем. Их пестрота и изобилие, с трудом поддающиеся какой – либо систематизации, не могут не восхищать[10, с.3].

Многие удивительные соотношения и изящные геометрические факты вошли

в основной курс планиметрии, некоторые замечательные теоремы включены в программу профильных классов.

Данная работа посвящена двум таким теоремам – теореме Менелая и теореме Чевы, которые позволяют решать многие, казалось бы, сложные математические задачи просто, красиво и понятно. Кроме того, здесь поднимается огромный пласт основных фактов и понятий школьного курса планиметрии: подобие треугольников; свойства и признаки параллельных прямых; метрические соотношения в треугольнике; окружность, описанная около треугольника и вписанная в него. Предложенный материал дает учащимся возможность познакомиться с интересными, нестандартными вопросами геометрии, с еще одним методом решения геометрических задач.

Рассматриваемые в работе вопросы выходят за рамки обязательного содержания. Вместе с тем, они тесно примыкают к основному курсу. Поэтому их изучение способствует совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, предусмотренных школьной программой, помогает оценить свои возможности по математике и более осознанно выбрать профиль дальнейшего обучения (9 класс), подготовиться к вступительным экзаменам (11 класс).

Предлагаемые в работе задачи интересны и часто не просты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию школьников. Эти задачи рассчитаны в первую очередь на учащихся, интересующихся математикой, желающих иметь хорошие навыки в решении геометрических задач. Вместе с тем, их содержание позволяет ученику любого уровня активно включиться в учебно - познавательный процесс и максимально проявить себя: занятия могут проводиться на высоком уровне сложности, но включать вопросы, доступные и интересные всем учащимся.

Думается, что представленный в работе материал будет полезен коллегам и может стать основой соответствующего теме элективного курса по выбору в системе предпрофильной подготовки по математике.

Литература.

1. Авдонин Н.И., Авдонина Е.П., Зорин В.А., Казимирова В.М.,

Новоженов М.М. Математика - 2000: Предварительное тестирование.-

Нижний Новгород, ННГУ, 2000- 237с.

2. Авдонин Н.И., Авдонина Е.П., Алексеев А.А., Калинин А.В.,

Новоженов М.М. Математика: Предварительное тестирование. – Нижний

Новгород: ННГУ, 2005.- 132с.

3. Алексеев В. Бородин П. и др. Планиметрия. Материалы вступительных

экзаменов в МГУ / Математика. Еженедельное приложение к газете « Первое

сентября», 2000,-№8.-с.18-22

4. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С. Б., Шестаков С.А., Юдина И.И.

Геометрия. Доп. главы к учебнику 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся школ и

классов с углубл. изуч. математики / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов,

С.Б.Кадомцев и др.-М.: Вита-пресс, 2004. - 208 с.

5. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И.

Геометрия: Учебник для 7-9 классов средней школы / Л.С. Атанасян,

В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1990. – 336с.

6. Иванов К.А. О пропорциональных отрезках в треугольнике / Математика в

школе, 2004. - №8. – с.20-25

7. Иванова Т.А., Перевощикова Е.Н., Григорьева Т.П., Кузнецова Л.И.

Теоретические основы обучения математике в средней школе: Учебное

пособие/Т.А Иванова, Е.Н. Перевощикова, Т.П. Григорьева, Л.И.Кузнецова;

под ред. проф. Т.А.Ивановой. – Н.Новгород: НГПУ, 2003. - 320с.

8. Качалкина Е.Применение теорем Чевы и Менелая/Математика. Издательский

дом «Первое сентября», 2004, - №13. – с.23-26

9. Качалкина Е. Применение теорем Чевы и Менелая / Математика.

Издательский дом «Первое сентября», 2004,- №14. – с.24-27

10.Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника. – Библиотека

«Математическое просвещение» - М.: Издательство Московского центра

непрерывного математического образования, 2002. – 32с.

11.Олимпиада Таланты Земли Нижегородской – Математика –

http://www.unn.ru/olimp/olimp/archiv/tzn 2004

12. Пантелеев В.П. Пропорциональные отрезки и то, что за ними/ Математика в

школе, 2004,- №8. – с.25-31

13.Портал естественных наук. Дополнительные соотношения между

элементами в треугольнике. – http://e-science.ru/math/theory

14. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Часть 1.- М.: Наука. Гл. ред. физ. –

мат. лит., 1991. – 320с.

15. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. – М.: Просвещение,

2005. – 254с.

16. Стандарт среднего (полного) общего образования по математике /

Математика в школе, 2004, - №4. – с.12-16

17. Тихов М.С., Алексеев А.А., Макеев Н.Г. Математика: 2006.

Предварительное тестирование. – Н.Новгород: ННГУ, 2006. – 67с.

18. Тихов М.С., Алексеев А.А. Математика:2006. Летнее тестирование. –

Нижний Новгород: Издательство Нижегородского университета, 2006. – 72с.

19. Ткачук В.В. Математика – абитуриенту. – М: МЦНМО, 2005. – 944с.

20. Фарков А.В. Учимся решать олимпиадные задачи. Геометрия. 5-11 классы/

А.В. Фарков. – М: Айрис-пресс, 2006. – 128с.

21. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: Интенсивный курс подготовки к

экзамену. – М: Айрис-пресс ,Рольф, 2001. – 416с.

22. Шарыгин И.Ф. Геометрия 7-9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб.завед.- М:

Дрофа, 2000. – 368с.

23. Шарыгин И.Ф. Планиметрия, 9-11 кл.: От учебной задачи к творческой:

Пособие для учащихся. – М: Дрофа, 2001. – 400с.

24. Шестаков С.А. Сборник задач для подготовки и проведения письменного

экзамена по алгебре за курс основной школы: 9-й кл. / С.А.Шестаков,

И.Р.Высоцкий, Л.И.Звавич; под ред. С.А.Шестакова.–М: АСТ:Астрель,2006.–

255с.

Приложение 1.

Разные задачи.

Попробуйте решить эти задачи с помощью теоремы Менелая.

1. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке Q. Через

точку Q проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках K и L

соответственно. Найти отношение DL:LC, если известно, что AK=KB,

BQ:QD=2:3, CQ:QA=3:4.

2.Диагонали выпуклого четырехугольника KLMN пересекаются в точке Q. Через

точку Q проведена прямая, пересекающая стороны KL и MN в точках A и B

соответственно. Найти отношение MQ:QN, если известно, что KA:BM=5:6,

LQ:QK=3:2, NB:AL=4:1.[2, с.61] (в указанной литературе приводится другой

способ решения).

3. Биссектриса угла A треугольника ABC делит медиану, проведенную из

вершины B, в отношении 5:4, считая от вершины B. В каком отношении,

считая от вершины C, эта биссектриса делит медиану, проведенную из

вершины C?

4. На стороне AC треугольника ABC выбрана точка B

image1736.wmf, а на стороне AB – точка

C

image1737.wmf так, что
image1738.wmf В каком отношении, считая от вершин

треугольника, точка пересечения отрезков BB

image1739.wmf и CC
image1740.wmf делит каждый из этих

отрезков?[24, с.189]

5. В тетраэдре ABCD через середины K и N ребер AD и BC проведена плоскость,

пересекающая ребра AB и CD соответственно в точках M и L. Площадь

четырехугольника KLMN равна 16, а

image1741.wmf
image1742.wmf. Вычислите

расстояние от вершины A до плоскости KLNM, если объем многогранника

NACLK равен 40.

6. В тетраэдре KLMN проведено сечение плоскостью. Точки A,B,C,D

принадлежат плоскости и ребрам KN,LN,LM и KM соответственно, причем

image1743.wmf
image1744.wmf и
image1745.wmf. Найти

отношение объемов частей, на которые плоскость ABCD делит тетраэдр.

7. В пирамиде ABCD проведено сечение KMLN так, что точка K лежит на ребре

AD, точка M – на ребре DC, точка N – на ребре AB, точка L - -на ребре BC, и O-

точка пересечения диагоналей KL и MN четырехугольника KMLN. Сечение

KMLN делит пирамиду на две части. Найти отношение объемов этих частей,

если известны следующие соотношения между длинами отрезков:

image1746.wmf
image1747.wmf
image1748.wmf[19, с.464]

_1226862336.unknown

_1227570668.unknown

_1228213718.unknown

_1228323857.unknown

_1228431578.unknown

_1228647866.unknown

_1228837114.unknown

_1229008444.unknown

_1229184624.unknown

_1231003705.unknown

_1382608297.unknown

_1382608844.unknown

_1382610304.unknown

_1382611546.unknown

_1382612465.unknown

_1382612803.unknown

_1382611925.unknown

_1382611212.unknown

_1382609060.unknown

_1382609094.unknown

_1382608900.unknown

_1382608484.unknown

_1382608793.unknown

_1382608389.unknown

_1231007125.unknown

_1382378938.unknown

_1382608208.unknown

_1382608219.unknown

_1382608077.unknown

_1231100212.unknown

_1231100290.unknown

_1231100093.unknown

_1231005623.unknown

_1231005646.unknown

_1231003719.unknown

_1229200966.unknown

_1229790867.unknown

_1229791449.unknown

_1229793421.unknown

_1229793536.unknown

_1229796312.unknown

_1229796346.unknown

_1229796272.unknown

_1229793490.unknown

_1229791468.unknown

_1229791033.unknown

_1229791061.unknown

_1229790897.unknown

_1229685535.unknown

_1229777916.unknown

_1229790822.unknown

_1229685554.unknown

_1229685477.unknown

_1229685501.unknown

_1229201277.unknown

_1229186937.unknown

_1229188060.unknown

_1229188258.unknown

_1229192074.unknown

_1229188160.unknown

_1229187147.unknown

_1229187249.unknown

_1229187044.unknown

_1229185634.unknown

_1229186216.unknown

_1229186283.unknown

_1229186189.unknown

_1229184959.unknown

_1229185033.unknown

_1229184660.unknown

_1229184640.unknown

_1229008778.unknown

_1229172651.unknown

_1229180418.unknown

_1229180844.unknown

_1229183929.unknown

_1229184435.unknown

_1229180977.unknown

_1229180647.unknown

_1229180753.unknown

_1229180607.unknown

_1229174092.unknown

_1229179729.unknown

_1229179896.unknown

_1229179956.unknown

_1229174147.unknown

_1229174953.unknown

_1229179274.unknown

_1229174981.unknown

_1229174839.unknown

_1229174889.unknown

_1229174117.unknown

_1229172917.unknown

_1229173239.unknown

_1229174047.unknown

_1229172994.unknown

_1229172737.unknown

_1229172829.unknown

_1229172678.unknown

_1229009359.unknown

_1229016238.unknown

_1229016492.unknown

_1229016552.unknown

_1229017142.unknown

_1229017378.unknown

_1229172632.unknown

_1229017293.unknown

_1229017377.unknown

_1229016783.unknown

_1229017006.unknown

_1229016577.unknown

_1229016519.unknown

_1229016535.unknown

_1229016508.unknown

_1229016455.unknown

_1229016475.unknown

_1229016407.unknown

_1229016179.unknown

_1229016194.unknown

_1229016204.unknown

_1229016186.unknown

_1229009363.unknown

_1229016170.unknown

_1229016161.unknown

_1229009361.unknown

_1229009226.unknown

_1229009254.unknown

_1229009269.unknown

_1229009356.unknown

_1229009358.unknown

_1229009279.unknown

_1229009261.unknown

_1229009240.unknown

_1229009248.unknown

_1229009233.unknown

_1229008955.unknown

_1229008984.unknown

_1229009016.unknown

_1229009109.unknown

_1229009111.unknown

_1229009112.unknown

_1229009110.unknown

_1229009107.unknown

_1229009108.unknown

_1229009106.unknown

_1229009105.unknown

_1229008999.unknown

_1229009007.unknown

_1229008991.unknown

_1229008969.unknown

_1229008976.unknown

_1229008962.unknown

_1229008805.unknown

_1229008828.unknown

_1229008857.unknown

_1229008821.unknown

_1229008791.unknown

_1229008798.unknown

_1229008784.unknown

_1229008623.unknown

_1229008710.unknown

_1229008741.unknown

_1229008763.unknown

_1229008771.unknown

_1229008748.unknown

_1229008725.unknown

_1229008733.unknown

_1229008717.unknown

_1229008661.unknown

_1229008684.unknown

_1229008702.unknown

_1229008669.unknown

_1229008639.unknown

_1229008653.unknown

_1229008630.unknown

_1229008513.unknown

_1229008589.unknown

_1229008604.unknown

_1229008615.unknown

_1229008597.unknown

_1229008566.unknown

_1229008582.unknown

_1229008550.unknown

_1229008475.unknown

_1229008495.unknown

_1229008504.unknown

_1229008485.unknown

_1229008446.unknown

_1229008451.unknown

_1229008459.unknown

_1229008448.unknown

_1229008445.unknown

_1228847356.unknown

_1228862539.unknown

_1229008261.unknown

_1229008325.unknown

_1229008350.unknown

_1229008441.unknown

_1229008443.unknown

_1229008439.unknown

_1229008440.unknown

_1229008358.unknown

_1229008343.unknown

_1229008297.unknown

_1229008306.unknown

_1229008288.unknown

_1229001878.unknown

_1229008131.unknown

_1229008167.unknown

_1229008214.unknown

_1229008252.unknown

_1229008178.unknown

_1229008151.unknown

_1229006869.unknown

_1229007927.unknown

_1229008037.unknown

_1229008093.unknown

_1229008022.unknown

_1229007216.unknown

_1229003332.unknown

_1229006754.unknown

_1229002884.unknown

_1228998304.unknown

_1229000385.unknown

_1229000941.unknown

_1228998976.unknown

_1228862549.unknown

_1228862562.unknown

_1228856812.unknown

_1228862492.unknown

_1228862510.unknown

_1228857144.unknown

_1228857389.unknown

_1228862333.unknown

_1228857301.unknown

_1228854133.unknown

_1228856622.unknown

_1228856683.unknown

_1228856759.unknown

_1228855459.unknown

_1228853115.unknown

_1228853325.unknown

_1228853603.unknown

_1228853132.unknown

_1228848001.unknown

_1228837822.unknown

_1228838073.unknown

_1228838394.unknown

_1228838462.unknown

_1228838769.unknown

_1228838904.unknown

_1228838436.unknown

_1228838278.unknown

_1228838316.unknown

_1228838252.unknown

_1228837933.unknown

_1228838018.unknown

_1228837847.unknown

_1228837358.unknown

_1228837684.unknown

_1228837803.unknown

_1228837667.unknown

_1228837187.unknown

_1228837334.unknown

_1228837155.unknown

_1228670996.unknown

_1228764548.unknown

_1228768271.unknown

_1228768820.unknown

_1228769475.unknown

_1228837082.unknown

_1228768982.unknown

_1228768546.unknown

_1228768637.unknown

_1228768306.unknown

_1228765348.unknown

_1228767991.unknown

_1228768250.unknown

_1228766965.unknown

_1228764843.unknown

_1228765097.unknown

_1228765168.unknown

_1228765214.unknown

_1228765331.unknown

_1228765182.unknown

_1228765142.unknown

_1228764879.unknown

_1228764751.unknown

_1228764781.unknown

_1228764596.unknown

_1228675939.unknown

_1228676212.unknown

_1228763268.unknown

_1228764161.unknown

_1228764339.unknown

_1228763899.unknown

_1228679561.unknown

_1228679958.unknown

_1228763249.unknown

_1228679979.unknown

_1228679611.unknown

_1228676611.unknown

_1228676686.unknown

_1228676514.unknown

_1228676042.unknown

_1228676065.unknown

_1228675949.unknown

_1228672454.unknown

_1228675723.unknown

_1228675912.unknown

_1228675927.unknown

_1228675733.unknown

_1228673303.unknown

_1228675257.unknown

_1228675525.unknown

_1228673426.unknown

_1228673435.unknown

_1228673608.unknown

_1228673379.unknown

_1228673110.unknown

_1228673199.unknown

_1228673080.unknown

_1228671296.unknown

_1228671346.unknown

_1228672359.unknown

_1228671327.unknown

_1228671162.unknown

_1228671213.unknown

_1228671046.unknown

_1228656675.unknown

_1228658640.unknown

_1228659572.unknown

_1228659815.unknown

_1228659992.unknown

_1228660101.unknown

_1228660150.unknown

_1228660053.unknown

_1228659850.unknown

_1228659724.unknown

_1228659763.unknown

_1228659716.unknown

_1228659037.unknown

_1228659513.unknown

_1228659553.unknown

_1228659122.unknown

_1228658760.unknown

_1228658807.unknown

_1228658705.unknown

_1228658368.unknown

_1228658420.unknown

_1228658551.unknown

_1228658374.unknown

_1228658167.unknown

_1228658284.unknown

_1228656795.unknown

_1228655980.unknown

_1228656458.unknown

_1228656579.unknown

_1228656622.unknown

_1228656532.unknown

_1228656200.unknown

_1228656388.unknown

_1228656171.unknown

_1228650513.unknown

_1228651969.unknown

_1228655910.unknown

_1228655918.unknown

_1228653220.unknown

_1228654146.unknown

_1228654669.unknown

_1228653691.unknown

_1228652380.unknown

_1228651019.unknown

_1228651874.unknown

_1228650684.unknown

_1228648063.unknown

_1228648128.unknown

_1228647990.unknown

_1228433997.unknown

_1228463497.unknown

_1228644042.unknown

_1228645849.unknown

_1228647424.unknown

_1228647750.unknown

_1228647763.unknown

_1228647563.unknown

_1228646272.unknown

_1228646602.unknown

_1228647364.unknown

_1228646704.unknown

_1228646577.unknown

_1228646505.unknown

_1228645983.unknown

_1228646002.unknown

_1228645956.unknown

_1228644789.unknown

_1228644941.unknown

_1228644828.unknown

_1228644914.unknown

_1228644265.unknown

_1228644734.unknown

_1228644185.unknown

_1228476076.unknown

_1228476207.unknown

_1228643732.unknown

_1228643885.unknown

_1228643452.unknown

_1228643572.unknown

_1228476171.unknown

_1228476190.unknown

_1228476148.unknown

_1228476132.unknown

_1228475850.unknown

_1228476016.unknown

_1228476050.unknown

_1228475886.unknown

_1228475252.unknown

_1228475831.unknown

_1228472034.unknown

_1228437438.unknown

_1228462733.unknown

_1228462825.unknown

_1228463326.unknown

_1228463444.unknown

_1228462859.unknown

_1228463006.unknown

_1228462153.unknown

_1228462366.unknown

_1228462478.unknown

_1228462561.unknown

_1228462249.unknown

_1228461544.unknown

_1228461931.unknown

_1228461811.unknown

_1228461238.unknown

_1228461253.unknown

_1228437480.unknown

_1228436840.unknown

_1228437230.unknown

_1228437325.unknown

_1228437136.unknown

_1228436781.unknown

_1228434510.unknown

_1228435457.unknown

_1228434479.unknown

_1228432561.unknown

_1228432871.unknown

_1228433284.unknown

_1228433424.unknown

_1228433553.unknown

_1228433759.unknown

_1228433760.unknown

_1228433640.unknown

_1228433460.unknown

_1228433356.unknown

_1228433379.unknown

_1228433310.unknown

_1228433066.unknown

_1228433134.unknown

_1228433251.unknown

_1228433100.unknown

_1228432974.unknown

_1228433030.unknown

_1228432944.unknown

_1228432676.unknown

_1228432786.unknown

_1228432816.unknown

_1228432709.unknown

_1228432619.unknown

_1228432643.unknown

_1228432592.unknown

_1228432121.unknown

_1228432386.unknown

_1228432473.unknown

_1228432528.unknown

_1228432423.unknown

_1228432324.unknown

_1228432359.unknown

_1228432291.unknown

_1228431985.unknown

_1228432062.unknown

_1228432092.unknown

_1228432030.unknown

_1228431803.unknown

_1228431833.unknown

_1228431756.unknown

_1228326051.unknown

_1228326687.unknown

_1228327406.unknown

_1228417132.unknown

_1228430471.unknown

_1228430747.unknown

_1228431472.unknown

_1228431497.unknown

_1228430783.unknown

_1228430612.unknown

_1228430692.unknown

_1228430567.unknown

_1228418266.unknown

_1228418532.unknown

_1228421353.unknown

_1228418454.unknown

_1228417730.unknown

_1228417797.unknown

_1228417540.unknown

_1228327569.unknown

_1228327594.unknown

_1228327439.unknown

_1228326790.unknown

_1228326843.unknown

_1228326718.unknown

_1228326435.unknown

_1228326464.unknown

_1228326622.unknown

_1228326449.unknown

_1228326341.unknown

_1228326393.unknown

_1228326319.unknown

_1228325722.unknown

_1228325926.unknown

_1228326000.unknown

_1228325874.unknown

_1228325413.unknown

_1228325454.unknown

_1228324118.unknown

_1228324865.unknown

_1228215386.unknown

_1228217572.unknown

_1228219653.unknown

_1228219932.unknown

_1228220270.unknown

_1228220381.unknown

_1228220838.unknown

_1228221035.unknown

_1228220609.unknown

_1228220325.unknown

_1228219988.unknown

_1228220133.unknown

_1228219958.unknown

_1228219855.unknown

_1228219915.unknown

_1228219742.unknown

_1228218912.unknown

_1228219264.unknown

_1228219269.unknown

_1228219005.unknown

_1228218954.unknown

_1228218018.unknown

_1228218126.unknown

_1228217755.unknown

_1228216421.unknown

_1228216608.unknown

_1228216741.unknown

_1228216514.unknown

_1228216033.unknown

_1228216400.unknown

_1228215710.unknown

_1228214262.unknown

_1228214454.unknown

_1228214644.unknown

_1228214683.unknown

_1228214537.unknown

_1228214352.unknown

_1228214435.unknown

_1228214277.unknown

_1228213983.unknown

_1228214182.unknown

_1228214227.unknown

_1228214124.unknown

_1228213808.unknown

_1228213830.unknown

_1228213755.unknown

_1228209282.unknown

_1228212563.unknown

_1228213309.unknown

_1228213560.unknown

_1228213636.unknown

_1228213665.unknown

_1228213598.unknown

_1228213379.unknown

_1228213464.unknown

_1228213333.unknown

_1228212802.unknown

_1228213240.unknown

_1228213288.unknown

_1228213136.unknown

_1228212627.unknown

_1228212681.unknown

_1228212595.unknown

_1228210207.unknown

_1228212182.unknown

_1228212393.unknown

_1228212419.unknown

_1228212214.unknown

_1228210273.unknown

_1228210545.unknown

_1228210965.unknown

_1228211328.unknown

_1228210864.unknown

_1228210468.unknown

_1228210251.unknown

_1228209926.unknown

_1228210122.unknown

_1228210149.unknown

_1228209950.unknown

_1228210087.unknown

_1228209425.unknown

_1228209815.unknown

_1228209315.unknown

_1227887806.unknown

_1228208395.unknown

_1228208620.unknown

_1228209111.unknown

_1228209142.unknown

_1228208645.unknown

_1228208435.unknown

_1228208530.unknown

_1228208413.unknown

_1228207896.unknown

_1228208330.unknown

_1228208377.unknown

_1228207915.unknown

_1227892846.unknown

_1228207794.unknown

_1228207841.unknown

_1228207855.unknown

_1228207828.unknown

_1228207699.unknown

_1228207778.unknown

_1228205999.unknown

_1228206071.unknown

_1227892912.unknown

_1228205940.unknown

_1227888221.unknown

_1227888747.unknown

_1227888137.unknown

_1227625783.unknown

_1227884807.unknown

_1227885038.unknown

_1227885624.unknown

_1227887695.unknown

_1227885144.unknown

_1227885574.unknown

_1227885089.unknown

_1227884998.unknown

_1227626754.unknown

_1227636115.unknown

_1227882388.unknown

_1227628856.unknown

_1227628551.unknown

_1227628822.unknown

_1227626861.unknown

_1227626110.unknown

_1227626589.unknown

_1227620868.unknown

_1227620999.unknown

_1227462636.unknown

_1227550804.unknown

_1227566784.unknown

_1227569615.unknown

_1227569923.unknown

_1227570037.unknown

_1227570081.unknown

_1227570131.unknown

_1227569959.unknown

_1227569640.unknown

_1227567035.unknown

_1227569505.unknown

_1227566952.unknown

_1227557279.unknown

_1227557573.unknown

_1227565831.unknown

_1227557425.unknown

_1227557547.unknown

_1227555178.unknown

_1227555350.unknown

_1227550856.unknown

_1227551028.unknown

_1227469398.unknown

_1227469458.unknown

_1227465990.unknown

_1227466284.unknown

_1227466267.unknown

_1227464883.unknown

_1227465271.unknown

_1227465360.unknown

_1227465008.unknown

_1227464628.unknown

_1227115428.unknown

_1227462246.unknown

_1227462518.unknown

_1227462582.unknown

_1227462269.unknown

_1227457459.unknown

_1227457474.unknown

_1227457822.unknown

_1227462201.unknown

_1227456552.unknown

_1227456750.unknown

_1227116059.unknown

_1227433096.unknown

_1227115541.unknown

_1227115870.unknown

_1226940784.unknown

_1227114217.unknown

_1227115000.unknown

_1227115184.unknown

_1227114635.unknown

_1226942941.unknown

_1226947064.unknown

_1226947606.unknown

_1226947635.unknown

_1226947529.unknown

_1226947561.unknown

_1226946982.unknown

_1226945671.unknown

_1226946744.unknown

_1226943701.unknown

_1226942304.unknown

_1226942527.unknown

_1226942923.unknown

_1226942693.unknown

_1226942594.unknown

_1226941608.unknown

_1226941655.unknown

_1226941699.unknown

_1226938553.unknown

_1226940747.unknown

_1226866632.unknown

_1226866048.unknown

_1226866102.unknown

_1226862475.unknown

_1225617879.unknown

_1226524431.unknown

_1226857017.unknown

_1226857951.unknown

_1226858199.unknown

_1226858281.unknown

_1226858074.unknown

_1226857853.unknown

_1226857057.unknown

_1226857142.unknown

_1226524908.unknown

_1226823768.unknown

_1226823834.unknown

_1226525102.unknown

_1226823406.unknown

_1226823469.unknown

_1226822924.unknown

_1226524998.unknown

_1226524496.unknown

_1226524630.unknown

_1226519359.unknown

_1226524326.unknown

_1226524344.unknown

_1226521569.unknown

_1226521607.unknown

_1226520000.unknown

_1226519679.unknown

_1226519816.unknown

_1226519632.unknown

_1226517322.unknown

_1226518124.unknown

_1226518809.unknown

_1226519137.unknown

_1226518759.unknown

_1226517443.unknown

_1226514026.unknown

_1226515085.unknown

_1226515601.unknown

_1226515690.unknown

_1226514725.unknown

_1226514548.unknown

_1225747090.unknown

_1225747770.unknown

_1225748295.unknown

_1225747315.unknown

_1225747062.unknown

_1225483195.unknown

_1225486329.unknown

_1225528838.unknown

_1225530101.unknown

_1225616569.unknown

_1225616799.unknown

_1225530892.unknown

_1225615461.unknown

_1225529767.unknown

_1225529876.unknown

_1225529658.unknown

_1225527626.unknown

_1225527983.unknown

_1225528636.unknown

_1225528128.unknown

_1225528211.unknown

_1225527555.unknown

_1225526813.unknown

_1225527129.unknown

_1225527197.unknown

_1225527448.unknown

_1225527179.unknown

_1225527084.unknown

_1225486709.unknown

_1225526760.unknown

_1225486661.unknown

_1225485110.unknown

_1225485754.unknown

_1225486053.unknown

_1225486150.unknown

_1225485922.unknown

_1225485304.unknown

_1225485627.unknown

_1225485213.unknown

_1225484700.unknown

_1225485047.unknown

_1225485072.unknown

_1225484799.unknown

_1225483493.unknown

_1225484605.unknown

_1225484260.unknown

_1225484341.unknown

_1225483342.unknown

_1225444738.unknown

_1225479940.unknown

_1225482646.unknown

_1225482944.unknown

_1225483153.unknown

_1225482803.unknown

_1225480090.unknown

_1225480827.unknown

_1225480900.unknown

_1225480186.unknown

_1225479997.unknown

_1225476973.unknown

_1225477026.unknown

_1225479794.unknown

_1225479886.unknown

_1225479921.unknown

_1225479838.unknown

_1225478898.unknown

_1225479100.unknown

_1225478856.unknown

_1225445887.unknown

_1225446848.unknown

_1225446997.unknown

_1225446382.unknown

_1225446411.unknown

_1225445910.unknown

_1225446217.unknown

_1225445251.unknown

_1225445405.unknown

_1225445856.unknown

_1225445298.unknown

_1225444763.unknown

_1225437097.unknown

_1225437620.unknown

_1225438918.unknown

_1225444710.unknown

_1225438939.unknown

_1225438077.unknown

_1225438172.unknown

_1225438443.unknown

_1225437884.unknown

_1225437346.unknown

_1225437506.unknown

_1225437540.unknown

_1225437473.unknown

_1225437179.unknown

_1225437236.unknown

_1225437120.unknown

_1225356079.unknown

_1225433414.unknown

_1225433473.unknown

_1225433552.unknown

_1225432424.unknown

_1225433098.unknown

_1225433171.unknown

_1225432109.unknown

_1225300496.unknown

_1225355195.unknown

_1225355699.unknown

_1225340340.unknown

_1225354849.unknown

_1225285470.unknown

_1225296295.unknown

_1225298478.unknown

_1225298637.unknown

_1225298397.unknown

_1225297952.unknown

_1225297989.unknown

_1225285520.unknown

_1225294344.unknown

_1225284979.unknown

Скачать конспект

Сообщить об ошибке