Презентация на тему "10 задач по теме "Параллелограмм""

Содержание

• 
  Слайд 1

  Параллелограмм

  10 задач на тему Учитель МБОУ «СОШ №52 г. Владивостока»: Айбатулина Валентина Владимировна 2024г.

• 
  Слайд 2

  Основные формулы, признаки и свойства

  Параллелограмм - это четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны (лежат на параллельных прямых). Противоположные стороны и противоположные углы параллелограмма равны. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. a = S/ha; b = S/hb a = hb/sin а;b = ha/sin a P = 2a + 2b = 2(a + b) S = a· ha; S = b· hb S = ab· sinα; S = ab·sinβ

• 
  Слайд 3

  Задача 1

  Один из углов параллелограмма равен 65°. Найти остальные углы параллелограмма. Решение. ∠C =∠A = 65° как противоположные углы параллелограмма. ∠А +∠В = 180°, как углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма. ∠В = 180° — ∠А = 180° — 65° = 115°. ∠D =∠B = 115°, как противолежащие углы параллелограмма. Ответ: ∠А =∠С = 65°; ∠В =∠D = 115°.

• 
  Слайд 4

  Задача 2

  Сумма двух углов параллелограмма равна 220°. Найти углы параллелограмма. Решение. Так как у параллелограмма имеется  2 равных острых угла и 2 равных тупых угла, то нам дана сумма двух тупых углов, т.е. ∠В +∠D = 220°. Тогда ∠В =∠D = 220°: 2 = 110°. ∠А +∠В = 180° как углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма, поэтому ∠А = 180° — ∠В = 180° — 110° = 70°. Тогда  ∠C =∠A = 70°. Ответ: ∠А =∠С = 70°; ∠В =∠D = 110°.

• 
  Слайд 5

  Задача 3

  Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 6, CK = 10. Решение. Углы BKA и KAD равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AK, значит углы BAK и BKA также равны. Следовательно, треугольник ABK — равнобедренный, откуда AB = BK = 6. BC= BK+CK=6+10=16. AB=DC, BC=AD(противоположные стороны параллелограмма равны). Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон P = 2(BC + AB) = 2(6 +16) = 44.   Ответ: 44. B A C D K

• 
  Слайд 6

  Задача 4

  Один угол параллелограмма в два раза больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах. Решение 1. Пусть x — меньший угол параллелограмма, тогда 2x — больший угол, x + 2x + x + 2x = 360° (т.к. сумма всех углов в любом четырёхугольнике равна 360°) 6x = 360° , откуда x = 60°. Таким образом меньший угол параллелограмма равен 60°. Ответ: 60.   Решение 2. Пусть x — меньший угол параллелограмма, тогда 2x— больший угол x + 2x= 180° (как односторонние углы параллелограмма), 3x = 180°⇒ меньший угол параллелограмма равен 60°. Ответ: 60.   x 2x

• 
  Слайд 7

  Задача 5

  Найдите площадь ромба, если его стороны равны 1, а один из углов равен 1500. Решение. Используем формулу площади параллелограмма: S= AB • AD • sin A Стороны равны 1, а острый угол будет равен 300: S= AB • AD • sin A = 1•1• sin 30° = 1 • ½ = 0,5 Ответ: 0,5 1500

• 
  Слайд 8
  

  Термин параллелограмм имеет греческое происхождение.Согласно философу Проклу, был введен Евклидом. Parallelos - параллельный и gramme - линия. Поэтому слово параллелограмм можно перевести как «параллельная линия».

  Евклид

• 
  Слайд 9

  Теорема Вариньона

  Теоре́маВариньо́на — геометрический факт, доказанный Пьером Вариньоном и утверждающий, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. Точнее Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника. Параллелограмм, образованный серединами сторон, иногда называется вариньоновским или вариньоновым.

• 
  Слайд 10
  

  Выпуклый четырёхугольник Невыпуклый четырёхугольник Самопересекающийся четырёхугольник

• 
  Слайд 11

  Задача 6

  В параллелограмме MNPQ проведён перпендикуляр NH к прямой MQ, причём точка H лежит на стороне MQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что MH = 3 см, HQ = 5 см, ∠MNH = 30°. M N P Q H Решение. Так как точка H принадлежит отрезку MQ, то MH + HQ= MQ=8 см и NP = MQ = 8 см (как противоположные стороны параллелограмма). Треугольник MNH—прямоугольный и ∠MNH = 30°, то ∠M = 180° - 90° - 30° = 60°, ∠M = ∠P (противоположные углы параллелограмма), ∠P = 60°, ∠N = ∠Q = 180° - 60° = 120°(противоположные углы параллелограмма). MN=PQ (как противоположные стороны параллелограмма), MN=PQ = 2MH=6 см. (по свойству в прямоугольном треугольнике против угла 30° лежит катет равный половине гипотенузы.) Ответ: 120° 60°, 6 см, 8 см H

• 
  Слайд 12

  Задача 7

  Из точки C параллелограмма ABCD опустили перпендикуляр на продолжение стороны AD за точку D. Этот перпендикуляр пересёк прямую AD в точке E, причём CE = DE. Найдите ∠B параллелограмма ABCD. Ответ дайте в градусах. Решение. Т.к. ∠ADC и ∠CDE смежные, то ∠ADC + ∠CDE = 180°. Рассмотрим треугольник CDE, равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда ∠EDC = ∠DCE. Так как ∠DEC = 90°, а сумма углов треугольника равна 180°, то ∠EDC = 45°, тогда ∠ADC = 180° − 45° = 135°. Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то ∠B = ∠ADC = 135°. Ответ: 135°

• 
  Слайд 13

  Задача 8

  Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Доказать, что периметр полученного четырёхугольника равен сумме боковых сторон треугольника. Дано: ABC  – равнобедренный треугольник (AB = BC); MK II AB; ML II BC; M ∈ AC. Доказать: P(BKML) = AB + BC Доказательство. BKML – параллелограмм. Докажем, что треугольники ∆ALM и ∆MKC  – равнобедренные. Действительно: ∠KMC = ∠A - как соответственные, при параллельных прямых AB и MK, и секущей AC ; ∠LMA = ∠C – как соответственные, при параллельных прямых LM и BC, и секущей AC. С другой стороны,∠A = ∠C  (свойство равнобедренного треугольника). Значит,  ∠KMC = ∠A = ∠LMA = ∠C и треугольники ∆ALM и ∆MKB – равнобедренные.Тогда, P(BKML) = BK + KM + ML + LB, так как KM = KC, LA = ML(боковые стороны равнобедренного треугольника), то P(BKML) = BK + KC + BL + LA, так как BC = BK + KC, AB= BL + LA, значит P(BKML) =BC + AB, что и требовалось доказать.

• 
  Слайд 14

  Задача 9

  Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, Докажите, что четырехугольник MNPQ, вершинами которого являются середины отрезков OA, OB, OC и OD, — параллелограмм. Диагонали четырехугольника MNPQ так же пересекаются в точке О, которая будет серединой каждой их них. Действительно, так как вершины четырехугольника MNPQ  по условию являются серединами отрезков ОА, ОС, ОВ и OD, то  BN=ON=OQ=DQ  и  AM=OM=OP=CP. Следовательно, диагонали MP и NQ четырехугольника MNPQ в точке пересечения делятся пополам, значит, четырехугольник MNPQ – параллелограмм, что и требовалось доказать. Доказательство. По свойству диагоналей параллелограмма ABCD его диагонали AC и BD точкой пересечения делятся пополам, т.е. ОА=ОС и ОВ=OD.

• 
  Слайд 15

  Задача 10

  Из вершин В и D параллелограмма  АBCD, у которого АВ ≠ ВС и угол А — острый, проведены перпендикуляры  BK  и DM к прямой АС. Докажите, что четырехугольник BMDK — параллелограмм. Доказательство. Рассмотрим ΔАВС и ΔCDA. AC−общая, AB = CD и BC = AD (как противоположные стороны параллелограмма.) ⇒ ΔАВС = ΔCDA по III признаку равенства треугольников. Так как ВК и DM  перпендикулярны одной и той же прямой АС, то ВК II DM. Кроме того, ВК и DM являются высотами, проведенными в равных треугольниках  ΔАВС и ΔCDA из вершин равных углов ∠B  и ∠D к одной и той же стороне АС, следовательно, ВК = DM. Имеем: две стороны ВК и DM четырехугольника BMDK параллельны и равны, значит, BMDK – параллелограмм, что и требовалось доказать.

• 
  Слайд 16

  Спасибо за внимание.