Презентация на тему "Вариационное исчисление и методы оптимизации"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  БАЛТИЙСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ИММАНУИЛА КАНТА ИНСТИТУТ ИНФОРМАТИКИ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ [МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ]

• 
  Слайд 2
  

  БАЛТИЙСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ИММАНУИЛА КАНТА ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

• 
  Слайд 3
  

  Функции нескольких переменных ЛЕКЦИЯ 3ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Пример 1. → extr. Необходимое условие экстремума 1-гопорядка: Решая эту систему, находим единственную стационарную точку Матрица вторых производных по критерию Сильвестера положительно определена. По достаточному условию локального экстремума функции нескольких переменных точка (1,0) Є locmin f. Поскольку функционал является квадратичным, то (1,0) Є absmin f, a Smax= +∞.   БАЛТИЙСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ИММАНУИЛА КАНТА

• 
  Слайд 4
  

  Функции нескольких переменных Пример 2. extr Необходимое условие экстремума 1-гопорядка: Решая эту систему уравнений, находим стационарные точки: Для проверки условий 2-го порядка матрицу вторых производных: A A   БАЛТИЙСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ИММАНУИЛА КАНТА

• 
  Слайд 5
  

  Функции нескольких переменных Матрица по критерию Сильвестра положительно определена. По достаточному условию локального экстремума функции нескольких переменных точки доставляют локальный минимум функции Матрица по критерию Сильвестра не является ни положительно, ни отрицательно определенной. Она является неположительно определенной матрицей (0) и не является неотрицательно определенной матрицей. Следовательно, не выполняется необходимое условие локального минимума. Поэтому . Поскольку при малых h , то . Очевидно, что .   БАЛТИЙСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ИММАНУИЛА КАНТА

• 
  Слайд 6
  

  Функции нескольких переменных Пример3. Найти экстремумы неявно заданной функции двух переменных , если Решение.Частные производные и находим из уравнений:  

• 
  Слайд 7
  

  Функции нескольких переменных Необходимое условие экстремума 1-го порядка: Подставляя найденную точку ( в заданное уравнение , находим две стационарные точки и  

• 
  Слайд 8
  

  Функции нескольких переменных Для проверки условий 2-гопорядка надо выписать матрицу вторых производных в каждой стационарной точке. Дифференцируя первое уравнение правой части системы уравнений (*) по с учётом условий , имеем Аналогию, дифференцируя второе уравнение правой части системы (*)по , получим ,  

• 
  Слайд 9
  

  Функции нескольких переменных Очевидно, что Таким образом, Матрица по критерию Сильвестра является положительно определенной, а матрица отрицательно определенной. Поэтому по достаточному условию второго порядка , . Можно показать, что это будет не только локальные экстремумы, но и глобальные. Приведем несколько примеров различных свойств экстремумов в задаче без ограничений.  

• 
  Слайд 10
  

  Функции нескольких переменных Пример 4. Абсолютные минимумы и максимумы достигаются в бесконечном числе точек: Пример5. Функция ограничена, абсолютные максимум достигается, минимум – нет: Пример6. Функция ограничена, но абсолютные максимум и минимум не достигаются:  

• 
  Слайд 11
  

  Функции нескольких переменных Пример7. Функция ограничена, имеет стационарные точки, но абсолютные максимум и минимум не достигаются: Пример8. Функция ограничена, имеет локальные максимумы и минимумы, но абсолютные максимум и минимум не достигаются: Пример9. Ограничение функции, заданной на плоскости, на любую прямую, проходящую через начало координат, имеет в нуле локальный минимум, но вместе с тем начало координат не является точкой локального минимума:  

• 
  Слайд 12
  

  Функции нескольких переменных Действительно, на любой прямой , а R, функция вида при малых . Значит, на любой прямой вида функции f имеет локальный минимум в нуле. Аналогично на прямой функция имеет минимум в нуле. С другой стороны, на параболе функция в любой окрестности нуля. То есть точка не является точкой локального минимума функции .  

• 
  Слайд 13
  

  Функции нескольких переменных Пример10. Имеется единственный локальный экстремум, не являющийся абсолютным: f : R2→R, f(x1,x2) = - + 2. Необходимое условие экстремума I порядка в конечномерной задаче без ограничений:  

• 
  Слайд 14
  

  Функции нескольких переменных Получаем в задаче три стационарные точки = 0, , . Для проверки условий 2-гопорядка надо выписать матрицу вторых производных в каждой стационарной точке: A, A= Матрица вторых производных по критерию Сильвестра является отрицательно определенной: . Поэтому по достаточному условию второго порядка стационарная точка . Очевидно, что  

• 
  Слайд 15
  

  Функции нескольких переменных Матрица вторых производных по критерию Сильвестра не является ни положительно, ни отрицательно определенной и более того не является ни неположительноопределенной матрицей () и ни неотрицательно определенной матрицей (. Следовательно, не выполняется необходимое условие ни локального максимума, ни локального минимума. Поэтому стационарные точки . Очевидно, что. Действительно, функция при . Значит, у функции имеется единственный локальный экстремум в точке , не являющийся абсолютным.  

• 
  Слайд 16
  

  Функции нескольких переменных Пример 11. Можно ли утверждать, что если функция одной переменной имеет в какой либо точке локальный минимум, то в некоторой достаточно малой окрестности этой точки слева от точки функция убывает, а справа возрастает? Нет. Контрпример: , Ясно, что . С другой стороны, в любой окрестности нуля и справа, и слева производная принимаем как положительные, так и отрицательные значения, т.е. функция и возрастает, и убывает.  

• 
  Слайд 17
  

  Функции нескольких переменных Пример12. Имеется бесконечное число локальных максимумов, но нет ни одного локального минимума: Необходимое условие экстремума 1-гопорядка: Стационарные точки: Для проверки условий 2-гопорядка надо выписать матрицу вторых производных в каждой стационарной точке:  

• 
  Слайд 18
  

  Функции нескольких переменных Матрица по критерию Сильвестра является отрицательно определённой: . Поэтому по достаточному условию второго порядка . Матрица по критерию Сильвестра не является неотрицательно определенной матрицей Следовательно, не выполняется необходимое условие локального минимума. Поэтому точки не доставляют локального минимума. Точки локального минимума могли быть только среди стационарных точек, но там их не оказалось. Следовательно, нет ни одного локального минимума.  

• 
  Слайд 19
  

  Функции нескольких переменных Задачи, упражнения на дом  

• 
  Слайд 20
  

  Функции нескольких переменных Задачи и упражнения на дом Найти экстремумы неявно заданной функции двух переменных  

• 
  Слайд 21
  

  БАЛТИЙСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ИММАНУИЛА КАНТА СПАСИБО! БАЛТИЙСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ИММАНУИЛА КАНТА СПАСИБО!