Презентация на тему "Экстремум функции двух переменных"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  16.6. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ Как и в случае функции одной переменной, функция z=f(x,y)имеет узловые, определяющие график функции, точки. Определим точки экстремума для функции двух переменных.

• 
  Слайд 2
  

  Точка М(х0,у0) называется точкой максимума (минимума) функции z=f(x,y), если существует окрестность точки М, такая что для всех точек (х,у) из этой окрестности выполняется неравенство: max min

• 
  Слайд 3
  

  Экстремум имеет локальный характер, поскольку рассматривается максимальное и минимальное значение функции в достаточно малой окрестности точки М(х0,у0). Сформулируем аналог теоремы Ферма для функции двух переменных: необходимое условие экстремума

• 
  Слайд 4
  

  ТЕОРЕМА. Пусть точка (х0,у0) является точкой экстремума дифференцируемой функции z=f(x,y). Тогда частные производные в этой точке равны нулю:

• 
  Слайд 5
  

  Доказательство: Пусть точка М(х0,у0) – точка максимума. Зафиксируем одну из переменных, например, у: у=у0 Тогда получим функцию одной переменной z1=f(х,у0) которая будет иметь максимум при х=х0. Согласно теореме Ферма Аналогично можно доказать, что

• 
  Слайд 6
  

  Точки, в которых выполняются условия экстремума функции z=f(x,y), т.е. называются критическими или стационарными.

• 
  Слайд 7
  

  Необходимое условие экстремума можно сформулировать иначе: В точках максимума или минимума дифференцируемой функции градиент этой функции равен нулю:

• 
  Слайд 8
  

  max min

• 
  Слайд 9
  

  Однако, сформулированное выше условие является необходимым, но не достаточным. Т.е., если частные производные функции в точке равны нулю, то это еще не означает, что в данной точке имеется экстремум функции. Например:

• 
  Слайд 10
  
• 
  Слайд 11
  

  В точке М(х0,у0) выполняется необходимое условие экстремума: Но эта точка не является точкой экстремума. Она называется седловой точкой (аналог точки перегиба). Чтобы отличать такие точки от точек экстремума, необходимо рассмотреть достаточное условие экстремума.

• 
  Слайд 12
  

  ТЕОРЕМА. Достаточное условие экстремума Пусть функция z=f(x,y) 1 Определена в некоторой окрестности критической точки (х0,у0), в которой

• 
  Слайд 13
  

  2 Имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка:

• 
  Слайд 14
  

  Тогда, если то в данной точке функция имеет экстремум, причем если А>0, то минимум если А

• 
  Слайд 15
  

  СХЕМА исследования функции нескольких переменных на экстремум 1 Найти частные производные

• 
  Слайд 16
  

  2 Решить систему уравнений и найти критические точки

• 
  Слайд 17
  

  3 Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в критических точках и с помощью достаточного условия экстремума сделать вывод о наличии экстремума функции.

• 
  Слайд 18
  

  4 Найти значения функции в точках экстремума.

• 
  Слайд 19
  

  Пример. Найти экстремум функции

• 
  Слайд 20
  

  Решение.

• 
  Слайд 21
  

  Экстремума нет.

• 
  Слайд 22
  

  Экстремум есть. Т.к. А