Презентация на тему "Задачи на построение по стереометрии"

Содержание

• 
  Слайд 1
  
• 
  Слайд 2
  

  В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 8см, а радиус описанной около него окружности равен 5 см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипотенузы. Высота пирамиды равна 12см. Вычислить боковые ребра пирамиды.  

• 
  Слайд 3
  

  Решение. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на его гипотенузе. Соответственно, AB = 10 см, AO = 5 см. Поскольку высота ON = 12 см, то величина ребер AN и NB равна AN2 = AO2 + ON2 AN2 = 52 + 122 AN = √169 AN = 13 Поскольку нам известна величина AO = OB = 5 см и величина одного из катетов основания (8 см), то высота, опущенная на гипотенузу, будет равна CB2 = CO2 + OB2 64 = CO2 + 25 CO2 = 39 CO = √39 Соответственно, величина ребра CN будет равна CN2 =  CO2 + NO2 CN2 = 39 + 144 CN = √183 Ответ: 13, 13 , √183 

• 
  Слайд 4
  

  Задача. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 10 см, а боковое ребро 13 см. Найти площадь боковой поверхности и высоту пирамиды 

• 
  Слайд 5
  
• 
  Слайд 6
  

  Исходя из свойств правильной пирамиды, каждая из ее сторон является равнобедренным треугольником. Площадь равнобедренного треугольника найдем по формуле:  S = 5 sqrt ( (13 + 5) (13 - 5) ) S = 5 √ 144 = 60 Поскольку сторон у пирамиды четыре, то площадь боковой поверхности будет равна 60 * 4 = 240 см2  Поскольку основанием пирамиды является квадрат, то KN = 10/2 = 5 см Поскольку каждая грань правильной пирамиды представляет собой равнобедренный треугольник, а в равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные к третьей стороне совпадают, то CN = 10/2 = 5 ON2 + CN2 = OC2 ON2 + 25 = 169 ON2 = 144 ON = 12 OK2+ KN2= ON2 OK2 + 25 = 144 OK = √119 Ответ: √119, 240 см2 .

• 
  Слайд 7
  

  Задача. Высота правильной треугольной пирамиды 4 см, а ее апофемы 8 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды. 

• 
  Слайд 8
  
• 
  Слайд 9
  

  Исходя из того, что MK = 8, MO = 4, синус угла OKM равен MO/MK = 1/2 откуда угол равен arcsin 1/2 = 30 градусов. Откуда KO / MK = cos 30 KO / 8 = cos 30 KO = 8 cos 30 По таблице тригонометрических функций найдем значение косинуса 30 градусовKO = 8√3/2 = 4√3 Учтем, что KO является радиусом вписанной окружности в основание правильной треугольной пирамиды (согласно свойствам правильной пирамиды). Тогда по свойству равностороннего треугольника  r = a√3/6 Подставим в формулу известное нам значение радиуса вписанной окружности, откуда найдем значение стороны равностороннего треугольника 4√3 = a√3/6 a = 24 Теперь, зная размер основания боковой грани и ее апофему, найдем площадь боковой грани как площадь равнобедренного треугольника: Sт = 1/2 * 24 * 8 = 96 см2 Откуда площадь боковой поверхности пирамиды S = 3 Sт = 3 * 96 = 288 см2 . Ответ: 288 см2.

• 
  Слайд 10
  

  Задача. Найдите площадь поверхности треугольной пирамиды, у которой каждое ребро равно √3 

• 
  Слайд 11
  

  Решение. Поскольку все ребра треугольной пирамиды равны - она является правильной. Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды равна S = a2√3 . Тогда S = 3√3 Ответ: 3√3 

• 
  Слайд 12
  

  Задача. Высота боковой грани правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см.Определите полную поверхность пирамиды ,если боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60. 

• 
  Слайд 13
  

  Поскольку угол ONK равен 60 градусам, то KN = ON cos 60 = 10 * 1/2 = 5 см Так как, по условию задачи, пирамида является правильной, то K - проецирется в центр основания, которое является квадратом. Значит сторона основания равна AD = 2KN = 2 * 5 = 10 см Таким образом, площадь основания S1 = AD2 = 102 = 100 см2 . Найдем площадь боковой грани  S2 = 1/2 CD * ON S2 = 1/2 * 10 * 10 = 50 см2 . Таким образом общая площадь S = S1 + 4S2 = 100 + 4 * 50 = 300 см2 . Ответ: 300 см2 .