Презентация на тему "Элементы дифференциального исчисления"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Элементы дифференциального исчисления

  Лекция 4

• 
  Слайд 2

  Дифференциальное исчисление функций одной переменной

  1. Производные 2. Таблица производных 3. Дифференциал 4. Производные и дифференциалы высших порядков 5. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях 6.Применение производных к исследованию функций 7. Общая схема исследования функции и построение графика

• 
  Слайд 3

  Производная. Задача о касательной

  Определение. Если существует предельное положение секущей при стремлении вдоль по кривой, то оно называется касательной к графику функции в точке . x0 y 0 к

• 
  Слайд 4
  

  Обозначим угол наклона касательной к графику функции в точке Очевидно, при а стремится к . Тогда угловой коэффициент касательной равен .

• 
  Слайд 5

  Производная. Определение

  Пусть функция у = определена в интервале и пусть точка Рассмотрим далее точку В обеих точках вычислим значения функции и разность . Эту разность будем называть приращением функции в фиксированной точке .

• 
  Слайд 6
  

  Если существует конечный (или бесконечный) = , то он называется конечной (или бесконечной) производной функции в точке и обозначается символами или,т.е.

• 
  Слайд 7

  Примеры

  Ясно, что угловой коэффициент касательной равен производной в точке касания.Приведем примеры. y y в точке 0

• 
  Слайд 8

  Уравнение касательной

  Касательную как прямую, проходящую через точку касания , задают уравнением . Например, уравнение касательной к кривой в точке (1;2) имеет вид у-2=2(х-1) или 2х-у=0.

• 
  Слайд 9

  Теоремы опроизводных

• 
  Слайд 10
  
• 
  Слайд 11
  
• 
  Слайд 12
  

  Например: y x y' не существует в точке

• 
  Слайд 13

  Примеры

• 
  Слайд 14
  
• 
  Слайд 15

  Производная обратной функции

  Теорема. Пусть функция х=f(y) монотонна и дифференцируема в некотором интервале (a,b) и имеет в точке у этого интервала не равную нулю производную. Тогда в соответствующей точке х обратная функция имеет производную или .

• 
  Слайд 16

  Примеры

  Для функции y=arcsinxобратной является функция x=siny , которая в интервале (-π/2;π/2) монотонна и дифференцируема. Ее производная в этом интервале в нуль не обращается. Поэтому

• 
  Слайд 17
  

  Итак, Аналогично можно получить

• 
  Слайд 18

  Теорема опроизводной сложной функции

• 
  Слайд 19

  Производная степенной функции

  Справедливо тождество Тогда

• 
  Слайд 20

  Производные гиперболических функций

  Гиперболическими называют функции

• 
  Слайд 21
  

  Поэтому

• 
  Слайд 22

  Таблица производных

• 
  Слайд 23
  

  13. 14.

• 
  Слайд 24
  

  Лекция 5

• 
  Слайд 25

  Дифференцируемая функция

• 
  Слайд 26

  Дифференциал функции

• 
  Слайд 27

  Определение дифференциала

  Пусть приращение функции в точке может быть представлено в виде , где -приращение аргумента, А-величина, не зависящая от , -бесконечно малая более высокого порядка , чем при

• 
  Слайд 28
  

  Тогда главная линейная относительно часть приращения функции называется дифференциалом функции в точке и обозначается . Итак, по определению . Теорема. Для того чтобы в точке х функция имела дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела производную.

• 
  Слайд 29

  Дифференциал функции

• 
  Слайд 30
  
• 
  Слайд 31
  
• 
  Слайд 32

  Инвариантность дифференциала

  По правилу дифференцирования сложной функции Здесь форма дифференциала остается неизменной, но под дифференциалом аргумента понимается не приращение этого аргумента, а его дифференциал.

• 
  Слайд 33

  Производные высших порядков

• 
  Слайд 34

  Дифференциалы высшего порядка

  Дифференциал от дифференциала данной функции называется ее дифференциалом второго порядка и обозначается . По определению Итак, и т.д.

• 
  Слайд 35

  Дифференцирование функций, заданных параметрически

  Пусть функция у от х задана параметрическими уравнениями И пусть эти функции дифференцируемы. Тогда Если существует вторая производная, то

• 
  Слайд 36

  Пример

  Найти производную функции Имеем

• 
  Слайд 37

  Производные неявных функций

  Пусть значения х и у связаны уравнением F(x,y)=0. Если функция у=f(х), определенная на некотором промежутке, при подстановке ее вместо у в уравнение F(x,y)=0 обращает это уравнение в тождество, то говорят, что это уравнение задает функцию у=f(х) неявно.

• 
  Слайд 38

  Пример

  Продифференцируем функцию . Имеем . Отсюда

• 
  Слайд 39

  Продолжение

  Найдем вторую производную. Так как то

• 
  Слайд 40

  Логарифмическое дифференцирование

  Найти производную функции Прологарифмируем обе части: Теперь берем производную Окончательно