Презентация на тему "Геометрические места точек"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Геометрические места точек

  Геометрическим местом точек (ГМТ) называется фигура, состоящая из всех точек, удовлетворяющих заданному свойству или нескольким заданным свойствам. Примерами геометрических мест точек являются: окружность– ГМТ, удаленных от данной точки на данное расстояние; круг– ГМТ, удаленных от данной точки на расстояние, не превосходящее данное.

• 
  Слайд 2

  Упражнение 1

  Пусть O – точка плоскости. Изобразите ГМТ X, для которых выполняются неравенства r OX R. Ответ: Кольцо

• 
  Слайд 3

  Упражнение 2

  На данной прямой a найдите точки, удаленные от данной точки C на заданное расстояние R. Какие при этом возможны случаи? Ответ: Точки пересечения прямой a и окружности с центром в точке C и радиусом R. Получаются две, одна или ни одной точки в зависимости от того, расстояние от точки C до прямой a больше R, равно R или меньше R соответственно.

• 
  Слайд 4

  Упражнение 3

  На прямой c отметьте точки, удаленные от точки A на расстояние, равное (стороны квадратных клеток равны 1).

• 
  Слайд 5

  Пересечение фигур

  Пусть Ф1 и Ф2 – фигуры на плоскости. Фигура Ф, состоящая из всех точек, принадлежащих фигуре Ф1 и фигуре Ф2, называется пересечением фигур Ф1 и Ф2 и обозначается Ф1 Ф2.

• 
  Слайд 6

  Упражнение 4

  Ответ: Искомое ГМТ является пересечением двух кругов с центрами в точках O1, O2и радиусами R1, R2. Даны две точки O1и O2. Найдите ГМТ X, для которых XO1 R1и XO2 R2. Пересечением каких фигур является искомое ГМТ.

• 
  Слайд 7

  Объединение фигур

  Пусть Ф1 и Ф2 – фигуры на плоскости. Фигура Ф, состоящая из всех точек, принадлежащих фигуре Ф1 или фигуре Ф2, называется объединением фигур Ф1 и Ф2 и обозначается Ф1 Ф2.

• 
  Слайд 8

  Упражнение 5

  Даны две точки O1и O2. Найдите ГМТ X, для которых XO1 R1или XO2 R2. Объединением каких фигур является искомое ГМТ. Ответ: Искомое ГМТ является объединением двух кругов с центрами в точках O1, O2и радиусами R1, R2.

• 
  Слайд 9

  Разность фигур

  Пусть Ф1 и Ф2 – фигуры на плоскости. Фигура Ф, состоящая из всех точек, принадлежащих фигуре Ф1 и не принадлежащих фигуре Ф2, называется разностью фигур Ф1 и Ф2 и обозначается Ф1 \Ф2.

• 
  Слайд 10

  Упражнение 6

  Ответ: Искомое ГМТ является разностью двух кругов с центрами в точках O1, O2и радиусами R1, R2. Даны две точки O1и O2. Найдите ГМТ X, для которых XO1 R1и XO2 R2. Разностью каких фигур является искомое ГМТ.

• 
  Слайд 11

  Серединный перпендикуляр

  Серединным перпендикуляром к заданному отрезку называется … Теорема. Серединный перпендикуляр к отрезку является ГМТ, одинаково удаленных от концов этого отрезка. прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину. Доказательство. Пусть дан отрезок АВ и точка О – его середина. Очевидно, точка О одинаково удалена от точек А, В и принадлежит серединному перпендикуляру. Пусть точка С одинаково удалена от точек А и В и не совпадает с точкой О. Обратно, пусть точка С принадлежит серединному перпендикуляру и не совпадает с О, тогда прямоугольные треугольники АОС и ВОС равны (по катетам). Следовательно, АС=ВС. Тогда треугольник АВС равнобедренный и СО – медиана. По свойству равнобедренного треугольника медиана является также и высотой. Значит, точка С принадлежит серединному перпендикуляру.

• 
  Слайд 12

  Упражнение 7

  Постройте геометрическое место точек, равноудаленных от точек A и B.

• 
  Слайд 13

  Упражнение 8

  На прямой c отметьте точку C равноудаленную от точек A и B.

• 
  Слайд 14

  Упражнение 9

  Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки. Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему две данные точки.

• 
  Слайд 15

  Упражнение 10

  Найдите геометрическое место вершин С равнобедренных треугольников с заданным основанием AB. Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку AB без середины этого отрезка.

• 
  Слайд 16

  Упражнение 11

  Пусть А и В - точки плоскости. Найдите геометрическое место точек С, для которых АС ВС. Ответ: Полуплоскость, определяемая серединным перпендикуляром к отрезку AB, содержащая точку A;

• 
  Слайд 17

  Упражнение 12

  Пусть А и В точки плоскости, c - прямая. Найдите геометрическое место точек прямой c, расположенных ближе к А, чем к В. В каком случае таких точек нет? Ответ: Часть прямой c, лежащая внутри полуплоскости, определяемой серединным перпендикуляром к отрезку AB и точкой A. Если прямая c целиком лежит в полуплоскости, определяемой серединным перпендикуляром и точкой B, то таких точек нет.

• 
  Слайд 18

  Упражнение 13

  Даны три точки: А, В, С. Найдите точки, которые одинаково удалены от точек А и В и находятся на расстоянии R от точки С. Ответ: Точки пересечения серединного перпендикуляра к отрезку AB и окружности с центром в точке C и радиусом R.

• 
  Слайд 19

  Упражнение 14

  Ответ: Искомое ГМТ является пересечением круга и полуплоскости. Даны две точки Aи B. Найдите ГМТ C, для которых CACB AB. Пересечением каких фигур является искомое ГМТ.

• 
  Слайд 20

  Упражнение 15

  Даны три точки A, B, C. Найдите ГМТ X, для которых AX BX и BX CX. Пересечением каких фигур является искомое ГМТ. Ответ: Искомое ГМТ является пересечением двух полупространств, определяемых серединными перпендикулярами к отрезкам AB и BC.

• 
  Слайд 21

  Упражнение 16

  Даны три точки A, B, C. Найдите ГМТ X, для которых AX BX или BX CX. Объединением каких фигур является искомое ГМТ. Ответ: Искомое ГМТ является объединением двух полупространств, определяемых серединными перпендикулярами к отрезкам AB и BC.

• 
  Слайд 22

  Биссектриса угла

  Теорема. Биссектриса угла является ГМТ, лежащих внутри этого угла и одинаково удаленных от его сторон. Доказательство. Рассмотрим угол c вершиной в точке О и сторонами а,b. Пусть точка С лежит внутри данного угла. Опустим из нееперпендикуляры СА и CB на стороны а и b. Если CA = CB, то прямоугольные треугольники АOС и ВOС равны (по гипотенузе и катету). Следовательно, углы AOC и BOC равны. Значит, точка C принадлежит биссектрисе угла.Обратно, если точка C принадлежит биссектрисе угла, то прямоугольные треугольники AOC и BOC равны (по гипотенузе и острому углу). Следовательно, AC = BC. Значит, точка С одинаково удалена от сторон данного угла.

• 
  Слайд 23

  Упражнение 17

  Постройте геометрическое место внутренних точекугла AOB, равноудаленных от его сторон.

• 
  Слайд 24

  Упражнение 18

  На прямой c отметьте точку C, равноудаленную от сторон угла AOB.

• 
  Слайд 25

  Упражнение 19

  Что является геометрическим местом центров окружностей касающихся двух данных пересекающихся прямых? Ответ: Биссектрисы углов, образующихся при пересечении данных прямых, без точки пересечения этих прямых.

• 
  Слайд 26

  Упражнение 20

  Ответ: а) Точки, принадлежащие биссектрисам четырех углов, образованных данными прямыми; б) внутренности двух вертикальных углов, образованных биссектрисами. Пусть a и b - пересекающиеся прямые. Найдите геометрическое место точек: а) одинаково удаленных от a и b; б) расположенных ближе к a, чем к b.

• 
  Слайд 27

  Упражнение 21

  На прямойc, пересекающей стороны угла, найдите точкуC, одинаково удаленную от этих сторон. Ответ: Точка пересечения данной прямой с биссектрисой данного угла.

• 
  Слайд 28

  Упражнение 22

  Дан угол АOB и точки M, N на его сторонах. Внутри угла найдите точку, одинаково удаленную от точек M и N и находящуюся на одинаковом расстоянии от сторон угла. Ответ: Точка пересечения серединного перпендикуляра к MN с биссектрисой угла.