Презентация на тему "Интересные свойства треугольника, в котором проведены высоты" 8 класс

Урок геометрии по теме: Интересные свойства треугольника, в котором проведены высоты.

Учитель: Макарина Наталья Владимировна.

МОБУ «Агалатовская СОШ»

Цель урока: - познакомить учащихся с понятием «ортотреугольник»;

- изучить основные свойства ортотреугольника;

- научить учащихся применять свойства ортотреугольника при решении задач.

Ход урока

1. Вводная беседа.

Учитель: Мы с вами закончили изучать замечательные точки треугольника. Давайте их назовем.

Предполагаемый ответ: Центр вписанной окружности,

центр описанной окружности,

центроид треугольника,

ортоцентр треугольника.

Учитель: На пересечении каких отрезков лежит каждая точка?

Предполагаемый ответ: Центр вписанной окружности – на пересечении биссектрис,

центр описанной окружности – на пересечении серединных перпендикулярах,

центроид – на пересечении медиан,

ортоцентр – на пересечении высот или их продолжений.

Учитель: Сегодня мне бы хотелось продолжить данную тему и познакомить вас еще с одним понятием. Тема нашего разговора: Ортотреугольник и его замечательные свойства.

2. Изучение нового материала.

Определение: Пусть высоты треугольника АВС пересекают стороны ВС, АС, АВ (или их продолжения) в точках К, М, Р соответственно, тогда треугольник МКР называется ортоцентрическим или, коротко, ортотреугольником (слайд № 2 и №3 презентации).

Свойства ортогреугольника.

1. Если в треугольнике АВС провести высоты АК, ВМ и СР, то треугольники СКМ, МРА, КРВ подобны данному с коэффициентом подобия |cosC|, |cosA|, |cosB| соответственно.

Рассмотрим три случая.

1.

2.

3.

Доказательство:

1. Треугольник АРС: соsA= ,

2. Треугольник АВМ: соsA= ,

3. = , <А - общий ( в случаях 1и 3) и <РАС =<ВАМ (в случае 2).

Треугольник АРМ подобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия к=|соs A|. (Слайды № 4-10 презентации).

2. Следствие 1. Две смежные стороны ортотреугольника образуют равные углы с

соответствующей стороной(или ее продолжением) исходного треугольника.

Следствие 2. Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами его ортотреугольника. (Слайды № 11- 13).(Доказательство устно, вместе с учащимися).

3. Решение задач.

Задача1 (ЕГЭ 2010). АК, СР, ВМ - высоты треугольника АВС. Углы треугольника МНК равны 90, 60 и 30 градусов. Найдите углы треугольника АВС.

Комментарии. Учащиеся решают задачу по вариантам. Для варианта №1 треугольник АВС – остроугольный, для варианта № 2 – тупоугольный. Представитель от каждого варианта оформляет и защищает свое решение на интерактивной доске с помощью приставки mimio.

Решение. Случай № 1. Для определенности будем считать, что в треугольнике МНК угол М - 90, угол К - 60 и угол Р – 30. Воспользуемся следствием 1, что две смежные стороны ортотреугольника образуют равные углы с

соответствующей стороной (или ее продолжением) исходного треугольника.

Тогда <СМК= (180-90)/2=45,

<СКМ = (180 - 60)/2=60,

<АРМ=(180 - 30)/2=75.

В случаях, когда <М=60 и < М=30 учащиеся рассматривают самостоятельно дома.

Случай № 2. Для определенности будем считать, что в треугольнике МНК угол М - 90, угол К - 60 и угол Р – 30. Воспользуемся следствием 1, что две смежные стороны ортотреугольника образуют равные углы с соответствующей стороной (или ее продолжением) исходного треугольника.

< ВАС=<РКМ/2=30,

< АВС=<РМК/2=45,

< АСВ=180-30-45=105.

Остальные случаи учащиеся рассматривают самостоятельно дома.

Ответ: 45, 75, 60 или 135, 15, 30, или 120, 15, 45, или 105, 30, 45.

Задача 2 (ЕГЭ 2010). Треугольник АВС остроугольный, и угол ВАС равен α. На стороне ВС как на диаметре построена полуокружность, пересекающая стороны АВ и АС в точках Р и Q соответственно. Найдите отношение площадей треугольников АВС и APQ.

Комментарии. Задача решается самостоятельно учащимися. Проверка также осуществляется с помощью приставки mimio.

А В С Q PРешение. Поскольку и - высоты треугольника , треугольник подобен с коэффициентом подобия , поэтому .

Домашняя задача. Если Н – ортоцентр треугольника, то радиусы окружностей, описанных около треугольников АВС, АВН, ВСН, АСН, равны между собой. Доказать.

Урок геометрии по теме: Интересные свойства треугольника, в котором проведены высоты.

Учитель: Макарина Наталья Владимировна.

МОБУ «Агалатовская СОШ»

Цель урока: - познакомить учащихся с понятием «ортотреугольник»;

- изучить основные свойства ортотреугольника;

- научить учащихся применять свойства ортотреугольника при решении задач.

Ход урока

1. Вводная беседа.

Учитель: Мы с вами закончили изучать замечательные точки треугольника. Давайте их назовем.

Предполагаемый ответ: Центр вписанной окружности,

центр описанной окружности,

центроид треугольника,

ортоцентр треугольника.

Учитель: На пересечении каких отрезков лежит каждая точка?

Предполагаемый ответ: Центр вписанной окружности – на пересечении биссектрис,

центр описанной окружности – на пересечении серединных перпендикулярах,

центроид – на пересечении медиан,

ортоцентр – на пересечении высот или их продолжений.

Учитель: Сегодня мне бы хотелось продолжить данную тему и познакомить вас еще с одним понятием. Тема нашего разговора: Ортотреугольник и его замечательные свойства.

2. Изучение нового материала.

Определение: Пусть высоты треугольника АВС пересекают стороны ВС, АС, АВ (или их продолжения) в точках К, М, Р соответственно, тогда треугольник МКР называется ортоцентрическим или, коротко, ортотреугольником (слайд № 2 и №3 презентации).

Свойства ортогреугольника.

1. Если в треугольнике АВС провести высоты АК, ВМ и СР, то треугольники СКМ, МРА, КРВ подобны данному с коэффициентом подобия |cosC|, |cosA|, |cosB| соответственно.

Рассмотрим три случая.

1.

2.

3.

Доказательство:

1. Треугольник АРС: соsA= ,

2. Треугольник АВМ: соsA= ,

3. = , <А - общий ( в случаях 1и 3) и <РАС =<ВАМ (в случае 2).

Треугольник АРМ подобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия к=|соs A|. (Слайды № 4-10 презентации).

2. Следствие 1. Две смежные стороны ортотреугольника образуют равные углы с

соответствующей стороной(или ее продолжением) исходного треугольника.

Следствие 2. Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами его ортотреугольника. (Слайды № 11- 13).(Доказательство устно, вместе с учащимися).

3. Решение задач.

Задача1 (ЕГЭ 2010). АК, СР, ВМ - высоты треугольника АВС. Углы треугольника МНК равны 90, 60 и 30 градусов. Найдите углы треугольника АВС.

Комментарии. Учащиеся решают задачу по вариантам. Для варианта №1 треугольник АВС – остроугольный, для варианта № 2 – тупоугольный. Представитель от каждого варианта оформляет и защищает свое решение на интерактивной доске с помощью приставки mimio.

Решение. Случай № 1. Для определенности будем считать, что в треугольнике МНК угол М - 90, угол К - 60 и угол Р – 30. Воспользуемся следствием 1, что две смежные стороны ортотреугольника образуют равные углы с

соответствующей стороной (или ее продолжением) исходного треугольника.

Тогда <СМК= (180-90)/2=45,

<СКМ = (180 - 60)/2=60,

<АРМ=(180 - 30)/2=75.

В случаях, когда <М=60 и < М=30 учащиеся рассматривают самостоятельно дома.

Случай № 2. Для определенности будем считать, что в треугольнике МНК угол М - 90, угол К - 60 и угол Р – 30. Воспользуемся следствием 1, что две смежные стороны ортотреугольника образуют равные углы с соответствующей стороной (или ее продолжением) исходного треугольника.

< ВАС=<РКМ/2=30,

< АВС=<РМК/2=45,

< АСВ=180-30-45=105.

Остальные случаи учащиеся рассматривают самостоятельно дома.

Ответ: 45, 75, 60 или 135, 15, 30, или 120, 15, 45, или 105, 30, 45.

Задача 2 (ЕГЭ 2010). Треугольник АВС остроугольный, и угол ВАС равен α. На стороне ВС как на диаметре построена полуокружность, пересекающая стороны АВ и АС в точках Р и Q соответственно. Найдите отношение площадей треугольников АВС и APQ.

Комментарии. Задача решается самостоятельно учащимися. Проверка также осуществляется с помощью приставки mimio.

А В С Q PРешение. Поскольку и - высоты треугольника , треугольник подобен с коэффициентом подобия , поэтому .

Домашняя задача. Если Н – ортоцентр треугольника, то радиусы окружностей, описанных около треугольников АВС, АВН, ВСН, АСН, равны между собой. Доказать.

Скачать конспект