Презентация на тему "Решение прямоугольных треугольников"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Задание В4

  Решение прямоугольных треугольников pptcloud.ru

• 
  Слайд 2

  Часть 1

  Теорема Пифагора

• 
  Слайд 3

  Прямоугольный треугольник

  Теорему Пифагора при-меняют дляпрямоугольных треугольников, то есть для треугольников у которых один угол равен 90 градусов. Стороны прямоугольных треугольников имеют названия. Стороны, которые прилежат к прямому углу - КАТЕТЫ. Сторона, лежащая напротив прямого угла - ГИПОТЕНУЗА 90° С B A катет гипотенуза катет

• 
  Слайд 4

  Найдите катеты и гипотенузув данных треугольниках

  С Т В гипотенуза катет катет K D C катет катет гипотенуза C H B C P F СР – катет СF – катет PF - гипотенуза CH- катет СB – катет НВ - гипотенуза

• 
  Слайд 5

  Теорема Пифагора

  Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов АС - катет ВС - катет АВ -гипотенуза AC2+ CB2 AB2 = c B A катет катет гипотенуза

• 
  Слайд 6

  Применение Теоремы Пифагора. Найти гипотенузу по двум катетам

  3 4 ? 3 4 ? С В А К2+ К2 = Г2 32 + 42 =Г2 9 + 16 = Г2 25= Г2 Г= АВ =5 АС2 + СB2 = AВ2

• 
  Слайд 7

  Применение Теоремы Пифагора.Найти катет по гипотенузе и другому катету

  8 ? 10 С В А ВС2 = АВ2 - АС2 Г2 – К2 = К2 102 – 82 = К2 100 – 64 = К2 36 = К2 К = СВ = 6

• 
  Слайд 8

  Применение Теоремы Пифагора

  К2 + К2 = Г2 12 + 12 = Г2 1 + 1 = Г2 2 = Г2 Г = Г2 – К2 =К2 ( )2 – 22 = К2 8 – 4 = К2 4 = К2 К = 2 1 1 ? С В А 2 ? С В А АВ = СВ = 2

• 
  Слайд 9

  Упражнения

  1 2 ? 5 3 ? 5 12 ? √10 √6 ? 4 13 2

• 
  Слайд 10

  Часть 2

  ОПРЕДЕЛЕНИЕСИНУСА, КОСИНУСА ТАНГЕНСА ОСТРОГО УГЛА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ

• 
  Слайд 11
  

  Синус, косинус, тангенс – это дроби, которые описывают величину угла. В числителе и в знаменателе такой дроби стоит длина одной из сторон. Как разобраться длину, какой стороны надо поставить в числитель или в знаменатель?

• 
  Слайд 12

  Определение косинуса

  Просто косинуса не бывает!!!! Косинус описывает величину какого-то угла. Итак, надо, например, найти cos А (т.е. косинус угла А). Найдем этот угол в треугольнике.Обведем «пожирнее» его стороны. А С В

• 
  Слайд 13

  Определим cos A

  Косинус этого угла – это отношение тех сторон, которые обвели. Это дробь в числитель, которой записана меньшая (из обведенных сторон) , а в знаменатель большая. Большая сторона треугольни- ка - это гипотенуза( сторона, которая лежит напротив прямого угла) А С В Прилежащий катет Гипотенуза cos A = AC AB

• 
  Слайд 14

  Определим cos В.

  Повторяем предыдущий алгоритм. Нашли угол В, обвели его стороны. Записали дробь в числителе, которая меньшая из обведенных сторон, а в знаменателе большая cos B = A C B прилежащий катет Гипотенуза ВС АВ

• 
  Слайд 15

  Определение синуса

  Определим sin A. Обведем стороны углаА. Синус этого угла - это дробь в числителе, которой та сторона, которую не обвели, а в знаменателе большая из обведенных. A C B Гипотенуза Противолежащий катет sin A = BC AB

• 
  Слайд 16

  Определим sin В.

  Повторяем предыдущий алгоритм. Нашли угол В, обвели его стороны. Записали дробь в числителе, сторона, которую не обвели, а в знаменателе большая из обведенных. sin B = A C B Гипотенуза AC АВ Противолежещий катет

• 
  Слайд 17

  Определение тангенса

  Определим tg A. Обведем стороны углаА. Тангенс этого угла - это дробь в числителе, которой та сторона, которую не обвели, а в знаменателе меньшая из обведенных. A C B Противолежащий катет tg A = BC AC Прилежащий катет

• 
  Слайд 18

  Определим tg В.

  Обведем стороны угла В. Тангенс этого угла - это дробь в числителе, которой та сторона, которую не обвели, а в знаменателе меньшая из обведенных tg B = A C B AC BC Противолежещий катет Прилежащий катет

• 
  Слайд 19

  Найдите sin, cos,tg выделенного угла

  M A D M C T M A D

• 
  Слайд 20
  

  C D A C N M

• 
  Слайд 21

  Нaйдите sin, cos, tg выделенного угла

  А T H P A T P H

• 
  Слайд 22
  

  H A B T H A K B cos B = BH/BK sin B = HK/BK tg B = HK/BH cos B = BH/BT sin B = HT/BT tg B = HT/BH

• 
  Слайд 23

  Два прямоугольных треугольника с общим острым углом

  Пусть дан прямоугольный треугольник, в котором проведена высота к гипотенузе. Угол D общий для ∆АDC и ∆DCH Синус, косинус и тангенс угла А можно выразить через стороны одного и через стороны другого треугольника C D H A C D A H высота sin D=CH/CD cos D=DH/CD tg D=CH/DH sin D= AC/AD cos D=DC/AD tg D=CA/DH

• 
  Слайд 24

  Найдите sin, cos, tgвыделенного угла

  C B R H C B R H cos R = RC/BR sin R = BC/BR tg R = BC/RC cos R = RH/CR sin R = HC/CR tg R = HC/RH

• 
  Слайд 25

  Часть 3

  I и II тип задач

• 
  Слайд 26

  I тип: найти sin (cos, tg) по двум данным сторонам

  Как решать: Выразитьsin (cos, tg) через стороны треугольника по определению Подставить те стороны, которые даны в задаче При необходимости найти недостающую сторону по теореме Пифагора

• 
  Слайд 27

  Пример

  Выразим sin A через стороны треугольника sin A = BC/AB AB=25, надо найти ВС, По теореме Пифагора. sin A = 20/25=4/5=0,8 С А В 15 25 sin A = ? AC=15 AB=25

• 
  Слайд 28

  Упражнения

  ,7 С B A 20 12 sin B = ? C B A 25 20 tg C C A A B B 5 3 10 8 cos A = ? tg A = ? 0,8 0,75 0,8 0,75 g A = ?

• 
  Слайд 29

  IIтип: найти сторону треугольника по данному sin (cos, tg) и стороне

  Как решать: Выразитьsin (cos, tg) через стороны треугольника по определению Подставить ту сторону, которая дана Приравнять к данному значению sin (cos,tg) Решить пропорцию. При необходимости найти недостающую сторону по теореме Пифагора

• 
  Слайд 30

  Пример

  Выразим cosB через стороны треугольника cosB = CB/AB BC/13=5/13, значит ВС=5 надо найти AС, по теореме Пифагора ВС=12 С А В ? 13 cosB=5/13 AB =13 AC = ?

• 
  Слайд 31

  Упражнения

  С С С С A A A A B B B B 25 ? cos B = 4/5 4 ? cos A = 0,5 35 ? cos B = 0,8 15 8 ? 39 cos A =5/13 36 21

• 
  Слайд 32

  Часть 4

  Основное тригонометрическое тождество

• 
  Слайд 33

  sin2 A + cos2 A = 1

  Эта формула позволяет по данному значению синуса острого угла прямоугольного треугольника найти значение косинуса и наоборот sin A = √ 1 – cos2A cos A = √1 – sin2A

• 
  Слайд 34

  Применение основного тригонометрического тождества

  sin A = 3/5 cos A = ? cos A = √1 – (3/5)2 cos A = √1 - 9/25 cos A =√25/25 - 9/25 cos A = √16/25 cos A =4/5 cos A = √13/ 7 sin A = ? sin A =√1 – (√13/7)2 sin A = √1- 13/49 sin A = √49/49 -13/49 sin A = √36/49 sin A = 6/7

• 
  Слайд 35

  Упражнения

  sin A = 0,8 cos A = ? 0,6 cos A = 0,6 sin A = ? 0,8 sin A = 12/13 cos A = ? 5/13 √93/10 cos A = √7/10 sin A = ? sin A = 3/√34 cos A = ? 5/√34 cos A=√91/10 sin A = ? 0,3 sin A = 5/√41 cos A = ? 4/√41 cos A =5/13 sin A = ? 12/13

• 
  Слайд 36

  Часть 5

  III тип задач

• 
  Слайд 37

  IIIтип: найти сторону треугольника по данному sin (cos) и стороне

  Как решать: Выразитьsin (cos) через стороны треугольника Подставить ту сторону, которая дана, но такой стороны нет (в этом отличие от второго типа) По данному значению sin (cos) найти cos (sin) Выразить найденный cos (sin) через стороны Подставить ту сторону, которая дана в условии Приравнять к найденному значению Решить пропорцию. При необходимости найти недостающую сторону по теореме Пифагора

• 
  Слайд 38

  Пример

  Выразить sin через стороны треугольника Подставить ту сторону, которая дана, но такой стороны нет По данному значению sinA найти cosA Выразить найденный cos через стороны Подставить ту сторону, которая дана вусловии Приравнять к найден- ному значению cos Решить пропорцию: С A B 4 sin A = 3/5 ? sin A = BC/AB cos A = √1 – (3/5)2 = 4/5 cos A = AC/AB cos A = 4/AB 4/5 = 4/AB АВ = 5

• 
  Слайд 39

  Упражнение

  sin B = AC/AB cos B =√1 – (11/14)2 cos B = √1 – 121/196 cos B = √75/14= 5√3/14 cos B = CB/AB cos B = 10√3 /AB AB = 28 С В А 10√3 ? sin B =11/14

• 
  Слайд 40

  Проверь себя

  С С А А В В 12 ? sin A = 3/5 √19 ? sin A = 0,9 Ответ: АВ = 10 Ответ: ВС = 9

• 
  Слайд 41
  

  С С А А В В ? cos A = 0,4 ? cos A = 14/15 Ответ: АВ = 30 Ответ: AB =5

• 
  Слайд 42

  Часть 6

  Свойства равнобедренного треугольника

• 
  Слайд 43

  Равнобедренный треугольник

  Равнобедренный треуголь-ник - это треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми. Третья сторона называется основание. В равнобедренном треугольнике Углы при основании равны. основание Боковая сторона Боковая сторона А В С

• 
  Слайд 44

  Упражнения

  Укажите в равнобедренных треугольниках основание и равные углы Важно помнить: основание не обязательнорасполагаетсягоризонтально. A B C C A B A B C AB – основание CA - основание BC - основание

• 
  Слайд 45

  Медиана, высота и биссектриса треугольника

  Высота треугольника – это отрезок, который соединяет вершину треугольника и точку противоположной стороны и является перпендикуляром к ней. Медиана треугольника – это отрезок, который соединяет вершину треугольника и середину противоположной стороны. Биссектриса треугольника – это отрезок, который соединяет вершину треугольника и точку противоположной стороны и лежит на биссектрисе угла, т. е. на луче который делит данный угол пополам. K A AK - биссектриса В H BH - высота СD - медиана С D

• 
  Слайд 46

  Высота, проведенная к основанию в равнобедренном треугольнике

  Высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. Медиана, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой Биссектриса, проведенная к основанию, является высотой и медианой А B C H AH - высота, биссектриса, медиана. AC = CB

• 
  Слайд 47

  Часть 7

  Равнобедренный треугольник, в котором проведена высота

• 
  Слайд 48

  Равнобедренный треугольник, в котором проведена высота к основанию

  Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, разбивает его на два равных треугольника. При решении задач вместо данного равнобедренного треугольника можно рассматривать его половину – прямоугольный треугольник. Фактически решение задачи сводится к решению прямоугольного треугольника (смотри I, II, III тип задач) H C A D C H A H C D

• 
  Слайд 49

  Пример. Задача, сводимая к задаче I типа

  Рассмотрим ∆ BAH. Это прямоугольный треугольник, в котором даны две стороны и надо найти косинус угла. Это задача I типа. Выразим косинус угла через стороны. Подставим данные значения. Очевидно, надо найти AH. По теореме Пифагора найдем: AH = 1 B А C H 2√6 AB = BC AB = 5 BH =2√6 cosA = ? H B A 2√6 cosA = AH/AC cosA = AH/5 5 5 cosA = 1/5 =0,2

• 
  Слайд 50

  Пример. Задача, сводимая к задаче II типа

  AH = HB = 16 CH – высота, значит и медиана. Рассмотрим ∆ CAH. Это прямоугольный треугольник, в котором дана сторона и косинус угла надо найти сторону. Это задача II типа. Найдем АС По теореме Пифагора найдем СH: С А В H ? AC = BC AB = 32 cosA = 4/5 CH =? H C A ? 16 cosA = 4/5 cosA = AH/AC AH/AC = 4/5 16/AC = 4/5 AC = 20

• 
  Слайд 51

  Решить задачи

  В треугольнике АВС АС=ВС=4 АВ=6 Найдите cos А. В треугольнике АВС АС=ВС=АВ=10 Найдите tg А. В треугольнике АВС АС=ВС=15 АВ=18 Найдите sin А. В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=24, cos А = Найдите высоту СH В треугольнике АВС АС=ВС=8, sin B= Найдите АВ В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=2, sin A= Найдите АC.

• 
  Слайд 52

  Проверь себя

  С А В С А В H С А В H H 4 3 cos A = ¾=0,75 5 CH = 6 tg A = 6/5 = 1,2 15 9 CH = 12 sin A=12/15= 0,75 A C B A C B A C B 12 H ? AC= CH= 15 H 8 CH = HB = 6 AB = 12 1 ? cos A = ¼ AC = 4

• 
  Слайд 53
  

  Равнобедренный треугольник, в котором высота проведена к боковой стороне

  Высота, проведенная к боковой стороне треугольник, в общем случае, не является медианой и биссектрисой. Но!Эта высота разбивает данный треугольник на двапрямоугольных. Каждый из получившихся прямоугольных треугольников можно рассматривать отдельно. (I, II, III тип задач) Важно помнить, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, Поэтому вместо синуса одного из углов при основании можно рассматривать синус другого угла при основании. Это замечание верно для cos, и tg. B B H A C H H H H A A C C C C B

• 
  Слайд 54

  Пример

  В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=6 cosA=3/5, АН –высота Найдите ВН. Очевидно, что Значит cosA = cosB = 3/5 Данная задача сводится к задаче II типа: найти сторону прямоугольного треугольника по известному косинусу и стороне В А Н С 6 ? 6 ? В Н А Н В А ? 6 BH = 3,6

• 
  Слайд 55

  Упражнения

  В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=20, высота АН=5. Найдите sinA В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=25, высота АН=15. Найдите cosA В треугольнике АВС АB=ВС, АC=16, высота CН=4. Найдите синус угла АСВ В А С Н 1задача sinA= sinB= AH/AB sin A=5/20= 0,25 2задача cosA=cosB=HB/AB HB= 20 (т.Пифагора) cos A=20/25=0,8 B A C H 3 задача sin ACB=sin A= =CH/AC=4/16=0,25

• 
  Слайд 56
  

  Тупоугольный равнобедренный треугольник, в котором высота проведена к боковой стороне

  Сумма углов треугольника 180° . Поэтому в равнобедренном треугольнике тупым углом может быть только угол, образованный боковыми сторонами. Высота, опущенная из вершины основания образует прямой угол с продолжением боковой стороны. Она лежит вне треугольника На чертеже два прямоугольных треугольника. Прямой угол у них общий. Один треугольник лежит внутри другого. Эти треугольники можно рассматривать отдельно(I, II, III тип задач) A H B C A H C B H B

• 
  Слайд 57

  Пример

  В тупоугольном треугольнике АВС АВ = ВС, АС=5, sinC=0,6 CH – высота. Найдите АН. Угол АСВ равен углу А, значит sin ACB= sin A Задача сводится к решению прямоугольного АСН (II тип) sin A = CH/AC CH/5=0,6=3/5CH=3 по теореме Пифагора АН=4 A H С В 5 A H С 5 ?

• 
  Слайд 58

  Упражнения

  В тупоугольном треугольнике АВС АВ=ВС, АС=25, СН - высота, АН = 24 Найдите синус угла АСВ В тупоугольном треугольнике АВС АВ=ВС, АС=2, СН - высота, АН = √3 Найдите синус угла АСВ 0,28 0,5

• 
  Слайд 59

  Часть 8

  Применение формул приведения при решении прямоугольного треугольника

• 
  Слайд 60
  

  Использование формул приведения при решении прямоугольного треугольника

  Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°. Значит, синус одного равен косинусу другого и тангенс одного равен котангенсу другого Внешним углом треугольника называется угол смежный с одним из внутренних углов. При каждой вершине образуется два внешних угла Сумма смежных углов равна 180°. Значит, синус внутреннего угла и внешнего угла равны, а косинусы и тангенсы отличаются знаком С А В α β α + β = 90° sin α = cos β sin β = cos α tg α=ctg β tg β=ctg α α β C A B α + β = 180° sinα = sin β cos α = - cos β tg α = - tg β

• 
  Слайд 61

  Пример использование формул приведения

  В треугольнике АВС угол С равен 90°, cos B =4/5. Найдите косинус внешнего угла при вершине А В треугольнике АВС АС=ВС=25, АВ=30. Найдите синус внешнего угла при вершине В Проведем высоту СН. НВ=15 По теореме Пифагора СН=20 A С В cosB=sinA=4/5 Используя основное тригонометрическое тождество cos A= 3/5 С А В 25 Н 15 sin B=20/25=4/5 - 3/5 = - 0,6 4/5=0,8

• 
  Слайд 62

  Упражнения

  В ∆ АВС угол С=90°, cos В= 0,8. Найти sin A В ∆ АВС угол С=90°. cos В= 0,8. Найти cos A В треугольнике АВС угол С=90°. cos B= Найти косинусвнешнего угла при вершине А С А В 0,8 0,6 С А В - 0,5

• 
  Слайд 63
  

  В треугольнике АВС угол С=90°. АВ= ВС=6. Найти тангенс внешнего угла при вершине А В треугольнике АВС угол С=90°.AB=5. Косинусвнеш-него угла при вершине В равен -0,6. Найти АС С A B 6 - 0,6 С B A 5 4

• 
  Слайд 64
  

  В ∆АВС АС=ВС=10, АВ= Найти синус внешнего угла при вершине В. В ∆АВС угол С равен 90°, АВ= , ВС=8. Найдите тангенс внешнего угла при вершине А С A B 8 - 2 С А В Н 0,7 10

• 
  Слайд 65

  Обобщение и систематизация изученного материала

• 
  Слайд 66
  

  Прямоугольный треугольник Равнобедренный треугольник Найти sin (cos, tg) Найти сторону Найти прямоугольный треугольник. Провести высоту при необходимости Даны 2 стороны Дана одна изсто- рон и cos (sin, tg) Дан sin (cos, tg) cos2α+sin2α=1 tg α=sinα/cosα Формулы Приведения I тип задач Теорема Пифагора II тип задач III тип задач Высота к боко- вой стороне Высота к основанию α = β тупой Делит основание пополам I, II, III тип задач