Презентация на тему "Невизначений інтеграл"

Содержание

• 
  Слайд 1
  
• 
  Слайд 2
  

  Основною задачею диференціального числення є задача диференціювання, тобто задача відшукання швидкості змінювання деякої функції. Але на практиці часто виникає потреба у розв’язанні оберненої задачі: якщо відома швидкість змінювання функції знайти цю функцію. Тобто потрібно знайти функцію, якщо відома похідна цієї функції. Ця операція називається інтегруванням. Визначимо цей термін. 1. ПЕРВІСНА І НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

• 
  Слайд 3
  

  Означення. Нехай функція f (x) задана на інтервалі (a,b). ФункціяF(x) називається первісною для функції f (x), якщодля будь-якого x∈(a,b) виконуєтьсярівністьF′(x) = f (x).Наприклад, нехай f (x) = cos x, тоді її первісна F(x) = sin x.Дійсно, за означенням первісної: F′(x) = (sin x)′ = cos x = f(x). Легко помітити, що функція 1F (x) = sin x + C (С - довільна стала) буде тежпервісноюдля функції f (x) = cos x: F (x)′ = (sin x + C)′ = (sin x)′ + C′ = cos x = 1 F (x) f(x). Тобтоможна стверджувати, якщо F(x) первісна для функціїf(x), то функція F(x) + C також буде первісною для функціїf(x).

• 
  Слайд 4
  

  Нехай G(x) тежпервісна для функціїf (x) , тобтоG′(x) = f (x) , але і F′(x) = f (x) . РозглянеморізницюG(x) − F(x) і позначимоїї через R(x). ТодіR′(x) = [G(x) − F(x)]′ = G′(x) − F′(x) = f (x) − f (x) = 0 . ТобтоR′(x) = 0, а тому R(x) - стала величина, і R(x) = C = G(x) − F(x) . Таким чином, двіпервісні для функціїf (x) відрізняються на сталу величину і виразF(x) + C зображуєзагальнийвиглядшуканоїпервісноїфункції, абоінакше - повнусім’юпервісних для функціїf (x) .

• 
  Слайд 5
  

  Означення. ЯкщоF(x) первісна для функції f (x) , то вираз F(x) + C , де С можеприймати будь-яке сталезначення, називаєтьсяневизначенимінтеграломвідфункції f (x) і позначається символом ∫f(x)dx , де ∫ - позначенняінтегралу, f (x) - підінтегральнафункція, f(x)dx - підінтегральнийвираз. Таким чином, рівність ∫ f (x)dx = F(x) + C є лишеіншийзаписспіввідношенняF′(x) = f (x) , або (F(x) + C)′ = f (x).

• 
  Слайд 6
  

  З геометричної точки зоруневизначенийінтеграл - цесім’якривих (інтегральнихкривих), кожна з якихотримується шляхом зсувуоднієї з кривихпаралельносамійсобіугоруабо вниз вздовжосіОy.Операціязнаходженняневизначеногоінтеграла (тобтовідшуканняF(x) + C ) відданоїфункціїf (x) називаєтьсяінтегруваннямфункціїf (x) .І нарештівиникаєпитання: чи для будь-якоїфункціїіснуєпервісна, а відповідно і невизначений ?

• 
  Слайд 7
  

  ТЕОРЕМА (про існуванняпервісної).Якщофункціяf (x) неперервна на деякомуінтервалі, тодля цієїфункціїіснуєпервісна (а тому - і невизначенийінтеграл).Інтегрування – операціяоберненаопераціїдиференціювання (тобтоопераціїзнаходженняпохідноївідфункції ), тому правильність результату інтегруванняможназавждиперевіритидиференціюваннямпервісної.Приклад.тому що

• 
  Слайд 8
  

  1. Невизначенийінтегралвіддиференціаладеякоїфункціїдорівнюєційфункції плюс довільна стала∫dF(x) = F(x) + C .Доведення: Нагадаємо, щодиференціалфункції y = f (x) знаходитьсяза формулою : dy = f ′(x)dx , тому∫dF(x) = ∫ F′(x)dx = ∫ f (x)dx =F(x) + C .2. Диференціалвідневизначеногоінтеграладорівнюєпідінтегральномувиразуd ∫ f (x)dx = f (x)dx .Доведення:d ∫ f (x)dx = d(F(x) + C) = dF(x) + dC = F′(x)dx + 0 = f (x)dx . 2. ВЛАСТИВОСТІ НЕВИЗНАЧЕНИХ ІНТЕГРАЛІВ

• 
  Слайд 9
  

  3. ∫c ⋅ f (x) dx = c ⋅ ∫ f (x)dx , де c ≠ 0 , тобто сталий множник можна виносити за знак інтеграла.4. тобто невизначений інтеграл від суми функцій дорівнює сумі невизначених інтегралів від цих функцій.5. Якщо ∫ f (x)dx = F(x) + C , то∫ f (ax + b )dx =1/а F(ax + b) + C,де a і b сталі, (а =0).

• 
  Слайд 10

  3. ТАБЛИЦЯ НЕВИЗНАЧЕНИХ ІНТЕГРАЛІВ

  1. ∫0 ⋅ dx = C . 2. 3. 4. 5. ∫sin xdx = −cos x + C .

• 
  Слайд 11
  

  6. ∫cos xdx = sin x + C. 7. 8. 9.

• 
  Слайд 12
  

  10. 11. 12.