Содержание
-
Решение уравнений с одной переменной, степень которых больше двух.
Уравнения, решаемые методом разложения на множители. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Разработка учителя математики Потёмкиной Натальи Борисовны Структурное подразделение ГOУ CОШ№ 409 при ФГУ НИДОИ им. Г.И.Турнера,
-
Алгоритм
1. Разложить левую часть уравнения на множители. - вынесение за скобки общего множителя; - формулы сокращенного умножения; - способ группировки; - деление многочлена на многочлен. 2. Приравнять каждый множитель к нулю. - произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а все остальные при этом имеют смысл. 3.Решить каждое уравнение отдельно. 4. Записать ответ.
-
Уравнения, решаемые методом разложения на множители.
Вынести за скобки общий множитель Пример 1 х³ – 9х = 0 х (х² - 9) = 0 Формула сокращенного умножения х (х – 3)(х + 3) = 0 Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а все остальные при этом существуют х = 0 х – 3 = 0 х + 3 = 0 х = 3 х = - 3 Ответ: -3; 0; 3.
-
Пример 2
а³ - 2 – а + 2а² = 0 Применим способ группировки (а³ - а) + (2а² – 2) = 0 Вынесение за скобки общего множителя а (а² - 1) + 2 (а² - 1) = 0 Вынесение за скобки общего множителя (а² - 1) (а + 2) = 0 Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю а² - 1 = 0 а + 2 = 0 а1,2 = ±1 а = - 2 Ответ: - 2; -1; 1.
-
Пример 3 х³- 2х² - 5х + 6 = 0 Применить алгоритм деления многочлена на многочлен (х – 1)(х – 3)(х + 2) = 0 Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю х – 1 = 0 х – 3 = 0 х + 2 = 0 х = 1 х = 3 х = -2 Ответ: -2; 1; 3.
-
Вынесение за скобки общего множителя
Алгоритм - найти общий множитель; - вынести его за скобки. Пример: ab + ac – ad = a (b + c – d)
-
Формулы сокращенного умножения
1. Формула разности квадратов а² – в² = (а – в) (а + в) Пример: 4а² – 25в² = (2а – 5в) (2а + 5в) 2. Формула квадрата суммы а²+ 2ав + в² = (а + в) ² = (а + в) (а + в) Пример: а²+ 6ав + 9в² = ( а + 3в)² = (а + 3в) (а + 3в) 3. Формула квадрата разности а² - 2ав + в² = (а - в) ² = (а - в) (а - в) Пример: 4а² – 4ав + в² = (2а – в)² = (2а – в) ( 2а – в)
-
Способ группировки
применяется к многочленам, которые не имеют общего множителя для всех членов многочлена. Алгоритм 1. Объединить члены многочлена в группы, имеющие общий множитель. 2. Вынести общий множитель за скобки. Пример: ав – 2с – вс + 2а = (ав – вс) + (2а – 2с)= = в (а – с) + 2 (а – с) = (а – с) (в + 2)
-
Алгоритм 3. Найти целый корень многочленаРп-1(х),если такой есть.(аналогично п.1) Рп-1(х) : (х – х2) = Рп-2 (х) Найти целый корень многочлена Рп(х), если такой есть. - подставляя поочередно каждый делитель в многочленРп(х) - выписать все делители свободного члена; вместо переменнойх,выяснить, при каком значениихРп(х) = 0, это значениехи будет корнем многочленаРп(х). Понизить степень этого многочлена. - разделить многочленРп(х)на (х – х1),гдех1- корень многочлена Рп(х) : (х – х1) = Рп-1 (х) 4. Понизить степень многочлена Рп-1(х) - разделить многочленРп-1(х)на(х – х2),гдех2- корень многочлена 5. Повторять п.1 и п.2, пока не получим многочлен первой степени. 1. 2.
-
Пример: Р3(х) = х³- 2х² - 5х + 6 6 делится на -1; 1; -2; 2; -3; 3; -6; 6. если х = -1, то Р3(-1) = (-1)³ - 2(-1)² - 5(-1) + 6 ≠ 0 х = -1 не является корнем уравнения - Найти делители числа 6. Найти целый корень многочленаР3(х)= 0 если х = 1, то Р3(1) = 1³ - 2 .1 – 5 . 1 + 6 = 0 х = 1 является корнем уравнения - Понизить степень многочлена (разделить Р3(х) на (х – 1)) х³ - 2х² - 5х + 6 х - 1 х² - х - 6 х³ - х² - х² - 5х - х² + х - 6х + 6 - 6х + 6 0 Р2(х) = х² - х - 6 - Найти делители числа 6. 6 делится на 6; 3; 2; 1; -1; -2; -3; -6. -Найти целый корень многочленаР2(х)= 0 если х = 3, то Р2(3) = 3² - 3 – 6 = 0. Тогда х = 3 является корнем уравнения - Понизить степень многочлена (разделить Р2(х) на (х – 3)) х² - х - 6 х - 3 х² - 3х 2х - 6 2х - 6 0 х + 2 Р3(х) = х³- 2х² - 5х + 6 = (х – 1)(х – 3)(х + 2) Р3 (х) = (х – 1)(х² - х – 6)
-
Уравнения, сводящиеся к квадратным биквадратные уравнения сводящиеся к квадратным посредством введения новой переменной дробно-рациональные уравнения ? ? ? ? возвратные уравнения *
-
Биквадратными уравнениями
ах4 + вх² + с = 0, где а ≠ 0. называют уравнения вида Алгоритм 1. Заменить х² = t. 2. Решить квадратное уравнение аt²+bt +c = 0 относительноt. 3. Решить уравнения х² = t. 4. Записать ответ.
-
Пример. 4х 4- 5х² + 1 = 0 Заменим х на t ² Пусть х2 = t, тогда 4t 2- 5t + 1 = 0 Решим квадратное уравнение а = 4 Д = в2 – 4ас t=-в±√Д ; 2а t = - (-5)±√9; 2 .4 t =1; 4 t = 1 Д = (- 5)2 – 4 . 4 . 1 Д = 9 > 0два корня в = - 5 с = 1 то х2=1 4 х 1,2 = ±√1 4 Х1,2 = ±1 2 1. 2. то х² = 1 Х1,2= ±√ 1 Х1,2 = ± 1 Ответ: - 1 ;-1;1 ;1. 2 2 Если t = 1, Если t =1; 4 Решим уравнение х² = t
-
Уравнения, сводящиеся к квадратным посредством введения новой переменной
(ax² + bx)² – c (ax² + bx) + d = 0 Алгоритм 1. Найти в левой части уравнения дважды встречающиеся выражения (один раз в квадрате, другой раз в первой степени). ax² +bx 2. Ввести новую переменную, подставив ее в уравнение вместо повторяющегося выражения. ax² + bx = t t² - ct + d = 0 3. Решить квадратное уравнение относительно новой переменной . Найтиt. 4. Решить уравненияax² +bx =t. 5. Записать ответ.
-
Пример (х² + 2 х + 4)²– 7 ( х² + 2 х + 4) + 12 = 0 Найдем дважды встречающееся выражение Введем новую переменную Пусть х² + 2х + 4 = t, тогда t² - 7 t + 12 = 0 Решим квадратное уравнение Применим теорему обратную теореме Виета: t1 + t2 = 7 t1. t2 = 12 t1 = 3; t2 = 4 Решим уравнение х²+ 2х + 4 = t 1. Если t = 3, то х² + 2х + 4 = 3 х² + 2х + 1 = 0 х1 + х2 = - 2 х1 . х2 = 1 х1 = - 1 х2 = - 1 2. Если t = 4, то х²+ 2х + 4 = 4 х²+ 2х = 0 х ( х + 2) = 0 х = 0 х = - 2 Ответ: - 2; - 1; 0.
-
Возвратные уравнения
ax4 + bx³+ cx² + dx + m = 0 от произвольного уравнения четвертой степени его отличает то, что крайние коэффициенты аиmсвязаны с коэффициентамиbиd следующим соотношением уравнения вида
-
Алгоритм 1. Так как , обозначим , тогда 2. Уравнение примет вид. аx4 + bx³+ cx² + bex + ae² = 0 3. Объединить I и V , II и IV слагаемые. Разделить обе части уравнения на х² (х²≠0, т.к. m≠0 ). Вынести общие множители за скобки. 4. Ввести новую переменную тогда 5. Сделать подстановку в уравнение из пункта 3 и решить получившееся квадратное уравнение. Найдему. 6. Вернуться к уравнению и решить его. 7. Записать ответ.
-
Пример: x4 + 2x³ - 18x² - 10x + 25= 0 Объединим I и V, II и IV слагаемые (x4 + 25) + (2x³ - 10x)- 18x² = 0 Разделим обе части на х², вынесем общий множитель за скобки Введем новую переменную Пустьу = х –5 , х у 2 = х2 – 10 +25 х тогда х2+252 = у2– 10 х следовательно 2 , Уравнение примет вид у² + 10 + 2у – 18 = 0 у² + 2у – 8 = 0 у = 2 у = - 4 1. Если у = 2, то х –5 = 2 х х = 1 + х = 1 - 2. Если у = - 4, то х –5 = - 4 х х = 1 х = - 5 Ответ: - 5; 1 - ; 1 ; 1+ Вернемся к переменной х (х² +25 ) +2 (х –5 ) – 18 = 0 х² х
-
Дробно – рациональные уравнения уравнения вида Р1 (х) Q1 (x) Р3(х) Q3 (x) Р2(х) Q 2(x) + + + … + Рm (х) Q m(x) = 0 где Р1 (х); Р2 (х); Р3 (х); …; Рm (х); …; Q1(x); Q2 (x); Q3(x); …; Qm(x); … – многочлены от неизвестного х
-
Алгоритм 1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение. 2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель. 3. Решить получившееся целое уравнение. 4. Исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель. 5. Записать ответ.
-
Пример: х – 3+1 = х + 5__ х – 5 х х(х – 5) Найдем общий знаменатель дробей Общий знаменатель дробей х(х – 5) Умножим обе части уравнения на общий знаменатель х(х – 3) + (х – 5) = х + 5 х² - 3х – 10 = 0 Упростим уравнение Найдем корни квадратного уравнения х = -2; х = 5. Проверим, являются ли эти числа корнями исходного уравнения Пусть х = -2, тогда -2(-2 – 5) ≠ 0 общий знаменатель х(х – 5) не обращается в ноль, значит число 5не является корнем уравнения. х – 5 х(х – 5) Пусть х = 5, тогда 5(5 – 5) ≠ 0 - 2 является корнем уравнения общий знаменатель х(х – 5) обращаетсяв ноль, выражения х – 3 и х + 5теряют смысл. Ответ: -2.
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.