Презентация на тему "Квадратный трехчлен. Квадратичная функция. Квадратные уравнения. Разложение квадратного трехчлена на множители"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Квадратный трехчлен. Квадратичная функция. Квадратные уравнения. Разложение квадратного трехчлена на множители. (8 класс)

• 
  Слайд 2
  

  Разработано учителем математики МОУ «СОШ» п. Аджером Корткеросского района Республики Коми Мишариной Альбиной Геннадьевной

• 
  Слайд 3

  Содержание

  Квадратный трехчлен Квадратичная функция Квадратные уравнения Разложение квадратного трёхчлена на множители

• 
  Слайд 4
  

  КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН

• 
  Слайд 5

  Определение

  Многочлен ax²+bx+c , где а, в, с – числа (коэффициенты), причем а ≠ 0называется квадратным трехчленом Причем: а – старший коэффициент, в - второй коэффициент с – свободный член

• 
  Слайд 6

  Назовите коэффициенты:

  1) 2х² - 6х + 1 2) - 2х² + 8х – 5 3) 3х² + 2х х² - 4х + 7 - х² - 8 6х² - х - 2 а =2; в = -6; с = 1 2) а =-2; в = 8; с = -5 3) а =3; в = 2; с = 0 4) а =1; в = -4; с = 7 5) а =-1; в = 0; с = -8 6) а =6; в = -1; с = -2

• 
  Слайд 7
  

  КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ

• 
  Слайд 8

  Запомним

  Функция у =ax²+bx+c, где а, в, с – произвольные числа, причем а ≠0 называется квадратичной. Графиком квадратичной функции является парабола

• 
  Слайд 9
  

  Ветви параболы у =ax²+bx+c направлены вверх, если а > 0, и вниз если а

• 
  Слайд 10

  Найти координаты вершины параболы, её ось симметрии и построить её:

  у = 2х² - 8х + 1 у = - 2х² +16х – 5 Т.к. а =2 ; в =-8; с =1 то х₀ = 8 : (2·2)=2 у₀= 2·2² - 8·2 + 1=-7 Значит: (2; -7) координаты вершины, а ось симметрии параболы: х=2 2) Т.к. а=-2; в=16; с=-5 то х₀ = -16 : (2·(-2)) = 4 у₀ = -2· 4² + 16·4 - 5 = 27 Значит: (4; 27) координаты вершины; ось симметрии: х=4

• 
  Слайд 11

  Самостоятельно: вычислить координаты вершины параболы

  1) у = х² + 4х + 5 2) у = 2х² + 4х 3) у = -3х² + 6х + 1 4) у = 3х² - 12х 5) у = х² + 6х - 2 6) у = -2х² + 8х - 5 7) у = -4х² - 8х Проверим: 1) (-2; 1) 2) (-1; -2) 3) (1; 4) 4) (2; - 12) 5) (-3; - 11) 6) (2; 3) 7) (-1; 4)

• 
  Слайд 12

  Рефлексия:

  1) Сегодня на уроке я запомнил… 2) Сегодня на уроке я научился… 3) Сегодня на уроке я узнал … 4) Сегодня на уроке я выучил… 5) Сегодня на уроке было интересно … 6) Сегодня на уроке мне понравилось …

• 
  Слайд 13
  

  Квадратные уравнения

• 
  Слайд 14

  Содержание:

  Определение квадратного уравнения Классификация квадратных уравнений Способы решения квадратного уравнения

• 
  Слайд 15

  Определение

  Квадратным уравнением называется уравнение вида ax²+bx+c=0, где x - переменная, a, b, c – любые действительные числа, причем a≠0. (Почему?) Причем: а – старший коэффициент в - второй коэффициент с – свободный член

• 
  Слайд 16

  Классификация .

  Квадратные уравнения. неполноеполное b = 0; x² + c = 0ах² + b х + с = 0, а≠0 c = 0;ax² + bx = 0 b = 0; c = 0;ax² = 0приведённое x² + p x + q = 0, а=1

• 
  Слайд 17

  Запомним

  Решить квадратное уравнение – это значит найти все его корни или установить, что их нет. Причем: квадратное уравнение может иметь либо 2 корня (если D >0), либо 1 корень (если D = 0), либо вообще не иметь корней (если D

• 
  Слайд 18

  Способы решения квадратного уравнения:

  Разложением на множители Выделением полного квадрата По формуле корней (универсальный способ) По теореме Виета По коэффициентам Графический Введение новой переменной

• 
  Слайд 19

  Разложение левой части на множители

• 
  Слайд 20

  Выделение полного квадрата

  Например:

• 
  Слайд 21

  Рассмотрим ещё одно решение:

  Решим уравнение: х² + 6х - 7 = 0. Решение:х² + 6х -7 = 0. х² + 2 · 3 · х + 9 – 9 – 7 = 0 (х² + 6х + 9) - 9 – 7 = 0 (х +3)² – 16 = 0. (х +3)² = 16. Значит: х +3 = 4 и х + 3 = -4. х = 1 х =-7. Ответ: 1; -7.

• 
  Слайд 22

  Алгоритм решения квадратного уравнения ПО ФОРМУЛЕ КОРНЕЙ:

  Найти число, называемое дискриминантом квадратного уравнения и равное D = b²- 4ac. 2) Дискриминант показывает сколько корней имеет уравнение - если D

• 
  Слайд 23
  

  - если D=0, то данное квадратное уравнение имеет единственный корень, который равен            - если D>0, то данное квадратное уравнение имеет два корня, которые равны

• 
  Слайд 24

  Решить уравнение:2x2- 5x + 2 = 0

  Здесь a = 2, b = -5, c = 2. Имеем D = b2- 4ac = (-5)2- 422 = 9. Так как D > 0, то уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле то есть x₁ = 2 и x₂ = 0,5 - корни заданного уравнения.

• 
  Слайд 25

  Решить самостоятельно:

  x2- 2x + 1 = 0. 2x2- 3x +5= 0. Проверим 1 уравнение: получили один корень х = 1, т.к.D = 0 Проверим 2 уравнение: уравнениене имеет действительных корней, т.к. D

• 
  Слайд 26

  Работаем в парах:

  1) Выберите квадратные уравнения и определите значения их коэффициентов: А) 2х² – 8 = 0; Б) -х² + 4х + 1 = 0; В) 3х³ + 2х – 9 = 0; Г) 5х – 3х² +2 = 0; Д) х – 3 = 0; Е) 3 – 5х² – х = 0; Ж) х² – х = 0. И) х² + 5 - 2х = 0 2) По коэффициентам указать приведенные уравнения. 3) Из квадратных уравнений выбрать неполные и решить их.

• 
  Слайд 27

  Проверим:

  Квадратные уравнения: А) 2х² – 8 = 0, где а=2; в=0; с=-8 Б) -х² + 4х + 1 = 0, где а=-1; в=4; с=1 Г) 5х – 3х² + 2 = 0, где а=-3; в=5; с=2 Е) 3 – 5х² – х = 0, где а=-5; в=-1; с=3 Ж) х² – х = 0, где а=1; в=-1; с=0 И) х² + 5 - 2х = 0, где а=1; в=-2; с=5

• 
  Слайд 28

  Проверим:

  2) Приведенные квадратные уравнения: И) х² + 5 - 2х = 0 3) Неполные квадратные уравнения: А) 2х² – 8 = 0 и Ж) х² – х = 0 Решения: 2х² – 8 = 0 и х² – х = 0 2(х² - 4)=0 х(х-1)=0 2≠0; х² - 4 =0 х=0; х-1=0 х² = 4 х=0; х=1 х = ± 2

• 
  Слайд 29

  Пример решения квадратного уравнения

  Дано уравнение: Решение: Ответ:

• 
  Слайд 30

  Самостоятельная работа(по вариантам)

• 
  Слайд 31

  Проверь решение:

• 
  Слайд 32
  
• 
  Слайд 33
  

  Запомни: по теореме Виета решаются только приведенные квадратные уравнения

  Теорема Виета: Если корни х₁ и х₂ приведённого квадратного уравнения х²+px+ q = 0 , то х₁ + х₂ =- p, а х₁ · х₂ = q. Обратное утверждение: Если числа mи nтаковы, что m + n = - p, m∙n = q, то эти числа являются корнями уравнения х²+ px + q = 0. Обобщённая теорема: Числа х₁ и х₂ являются корнями приведённого квадратного уравнения х²+ px + q= 0тогда и только тогда, когда х₁ + х₂= - p,х₁ · х₂= q. Следствие: х²+ px + q= (х – х₁)(х – х₂)

• 
  Слайд 34

  НАПРИМЕР

  Дано приведённое квадратное уравнение x²-7x+10=0 Решение: методом подбора проверим числа 2 и 5. Их произведение равно 10(т.е. свободному члену уравнения),а их сумма равна 7, (т.е. второму коэффициенту уравнения , но с противоположным знаком ) Значит эти числа и являются корнями данного уравнения. Ответ: 2 и 5

• 
  Слайд 35

  Решить :

  Решаем вместе: 1) х² - 15х + 14 = 0 2) х² + 3х – 4 = 0 3) х² - 10х – 11 = 0 4) х² + 8х – 9 = 0 Решить самостоятельно в парах: 1) х² + 8х + 7 = 0 2) х² - 19х + 18 = 0 3) х² - 9х – 10 = 0 4) х² + 9х + 20 = 0

• 
  Слайд 36

  Проверим ответы:

  1) х₁ =-1 х₂ =-7 2) х₁ = 1 х₂ = 18 3) х₁ =-1 х₂ =10 4) х₁ =-4 х₂ =-5

• 
  Слайд 37

  Решение квадратных уравнений по коэффициентам

  Если сумма коэффициентов равна 0, т.е. а + в + с = 0 , тох₁ = 1 х₂ =с/а. 2) Если а –в + с = 0, то х₁ = -1 х₂ = -с/а. 3) Если а = с, в = а ² + 1, то х₁ = –а = - сх₂ =-1/а = -1 /с. 4) Если а = с , в = - (а² + 1), то х₁ = а = сх₂ = 1/а = 1/с

• 
  Слайд 38

  Решить самостоятельно по группам:

  1) 3х² + 4х + 1 = 0, 2) 5х² - 4х – 9 = 0, 3) 6х² + 37х + 6 = 0, 4) 7х² + 2х – 5 = 0, 5) 13х² - 18х + 5 = 0, 6) 5х² + х – 6 = 0, 7) 7х² - 50х + 7 = 0, 8) 6х² - 37х + 6 = 0, 9) 7х² + 50х + 7 = 0.

• 
  Слайд 39

  Проверим:

• 
  Слайд 40
  
• 
  Слайд 41
  
• 
  Слайд 42

  Решим графически уравнение:

  Решение: преобразуем Пусть у₁ = х² и у₂ = 4 Построим эти графики в одной координатной плоскости Ответ: х = -2; х = 2

• 
  Слайд 43

  Решить графически уравнения по вариантам:

  1 вариант 1) х² + 2х – 3 = 0 2) - х² + 6х – 5 = 0 3) 2х² - 3х + 1 = 0 2 вариант 1) х² - 4х + 3 = 0 2) -х² - 3х + 4 = 0 3) 2х² - 5х + 2 = 0

• 
  Слайд 44

  Введение новой переменной

  Умение удачно ввести новую переменную – облегчает решение Например: надо решить уравнение (2х+3)² = 3(2х+3) – 2. Решение: пусть: а = 2х + 3. Произведем замену переменной: а² = 3а - 2. Тогда получим уравнение а² - 3а + 2 = 0 и у него D > 0. Решим квадратное уравнение и получим: а₁ = 1, а₂ = 2. Произведем обратную замену и вернемся к переменной х: 1). если а₁ = 1, то 2х + 3 = 1 и тогда х₁ = - 1; 2). если а₂ = 2, то 2х + 3 = 2 и тогда х₂ = - 0,5 Ответ: -1; -0,5.

• 
  Слайд 45

  Решить самостоятельно в парах:

  а) (х² - х)² - 14(х² - х) + 24 = 0; б) (2х - 1)⁴ - (2х - 1)² - 12 = 0 Проверим ответы: а) б)

• 
  Слайд 46
  

  Разложение квадратного трехчлена на множители

• 
  Слайд 47

  Запомнить:

  Если квадратное уравнение ax²+bx+c=0 имеет корни х₁ и х₂, то квадратный трехчлен ax²+bx+c,раскладывается на множители следующим образом: ax²+bx+c= а·(х - х₁)(х - х₂).

• 
  Слайд 48

  Разложите квадратный трехчлен на множители:

  1 вариант 1) х² - 11х + 24 2) х² + 7х + 12 3) - х² - 8х + 9 4) 3х² + 5х - 2 5) -5х² + 6х - 1 2 вариант 1) х² - 2х - 15 2) х² + 3х - 10 3) - х² + 5х - 6 4) 5х² + 2х - 3 5) -2х² + 9х - 4

• 
  Слайд 49

  Проверим

  1 вариант 1) (х-8)(х-3) 2) (х+3)(х+4) 3) – (х-1)(х+9) 4) 3·(х-1/6)(х+13/6) 5) -5·(х-1)(х- 0,2) 2 вариант 1) (х-5)(х+3) 2) (х-2)(х+5) 3) - (х-2)(х-3) 4) 5·(х+1)(х- 0,6) 5) -2·(х-½)(х-4)

• 
  Слайд 50

  Рефлексия:

  Сегодня на уроке я запомнил… Сегодня на уроке я научился… Сегодня на уроке я узнал … Сегодня на уроке я выучил… Сегодня на уроке было интересно … Сегодня на уроке мне понравилось …

• 
  Слайд 51
  

  СПАСИБО ЗА УРОК !!!

• 
  Слайд 52

  Источники изображений

  http://www.avazun.ru/photoframes/&sort=&p=10 http://s59.radikal.ru/i163/0811/73/ad11fb505124.png