Презентация на тему "Методы решения уравнений и неравенств"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Нестандартные методы решения уравнений и неравенств

  Научный руководитель: Иноземцева Елена Ивановна Боков Иван Куркова Анастасия Малашок Полина Матющенко Роман Мхитарян Артем Подцикина Серафима Подцыкин Максим Шпилева Надежда 2010 г. МНОУ «Лицей» pptcloud.ru

• 
  Слайд 2

  Гипотеза работы

  Существует большое количество способов решения уравнений и неравенств, многие из которых не изучаются согласно школьной программе

• 
  Слайд 3

  Цели работы

  Изучить нестандартные методы решения уравнений и неравенств Научиться использовать их на практике Создать наглядную и понятную презентацию для ознакомительных целей Ознакомить класс с этими методами при помощи наглядных примеров Создать папку с материалами работы

• 
  Слайд 4

  Древний Египет

  «Фальфивое правило» Задача: куча. Ее седьмая часть 19. Найти кучу Будет хорошо

• 
  Слайд 5

  Вавилон

  Диофант (жил предположительно в III веке н. э.) Квадратные уравнения Задача: Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96 x = 2 = 12и = 8

• 
  Слайд 6

  Задача № 80

  Задача: Найти 2 таких числа, чтобы сумма квадрата каждого из них с другим искомым числом дала полный квадрат Решение: s2 + 2s + 1 = (s + 1)2, (2s + I)2 + s , 4s2 + 5s + 1 = t2 , Положим, что: t = 2s — 2, t2 = 4s2 — 8s + 4 = 4s2 + 5s + 1, 4s2 — 8s + 4 = 4s2 + 5s + 1. Проверка:

• 
  Слайд 7

  Кубические уравнения

  Архимед (287 до н. э. — 212 до н. э.) Сочинение: «О шаре и цилиндре» Задача: рассечь заданный отрезок а на две части х и а—х так, чтобы (а — х) : с = S : х2

• 
  Слайд 8

  Решение уравнений с модулем

  1.«Сравнение модулей» │x - 1│= 2 │x + 2│ 2. Сравнение квадратов (│x - 1│) 2 =(2 ∙ │x + 2│) 2 3. Графический способf (x)= │x - 1│ и f (x) = 2 │x + 2│ Способы решения уравнений, содержащих сумму модулей │x - 1│- 2 │x + 2│= 0 :

• 
  Слайд 9

  Сравнение квадратов

  │x - 1│= 2 │x + 2│ (│x - 1│) 2 =(2 ∙ │x + 2│) 2 (х – 1) 2 - ( 2х + 4) 2 = 0 ((х – 1) - ( 2х + 4))∙ ((х – 1) + ( 2х + 4)) = 0 (х – 1 - 2х - 4)∙ (х – 1 + 2х + 4) = 0 х – 1 - 2х – 4 = 0 или х – 1 + 2х + 4 = 0 - х - 5 = 0 3х + 3 = 0 x = - 5 x = - 1 Пример: Ответ:-5;-1

• 
  Слайд 10

  Введение новой переменной + раскрытие модуля на интервалах

  │4 |x |+ 5│= 6|x | | x |= a, где a > 0, тогда | 4а+5 |=6а 4а+5 =-6а4а+5 =6а Не удовлетворяет условию а>0 , значит, Ответ: Пример:

• 
  Слайд 11

  Раскрытие модуля на интервалах ( начиная с внутреннего)

  На промежутке На промежутке Не удовлетворяет условию Не удовлетворяет условию │4 |x |+ 5│= 6|x | Пример: Ответ:

• 
  Слайд 12

  Использование свойства четности

  у=│4 |x |+ 5│= 6|x | . 4х + 5 = 6х и 4х + 5 = - 6х Пример: Ответ:

• 
  Слайд 13

  Графический способ решения уравнений, содержащих модуль

  2 3 4 5 6 7 X 1 1 2 3 4 -1 -2 -1 -2 -3 Y |4 – x| + |(x – 1)(x – 3)| = 1 Ответ: 3 y1= | (x-1)(x-3) | y2= 1 - | x-4 | |(x – 1)(x – 3)| = 1- |4 – x| Пример:

• 
  Слайд 14

  Уравнения с параметрами

  Уравнение с параметрами – математическое уравнение, внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров. Способы решения: Графический Аналитический

• 
  Слайд 15

  Задача:

  При каких значениях a один корень квадратного уравнения x2-(a+1)x+2a2=0 больше , а другой меньше ?

• 
  Слайд 16

  Шаг 1

  Функция y=x2-(a+1)x+2a2 График этой функции - парабола, ветви направлены вверх

• 
  Слайд 17

  Шаг 2

  8a2 -2a-1

• 
  Слайд 18

  Задача:

  При каких значениях b система имеет единственное решение? ; ,

• 
  Слайд 19

  1 способ

  , , ; ;

• 
  Слайд 20

  2 способ

  График первого уравнения - окружность с центром в начале координат и радиусом 3. График второго уравнения - прямая F , ;

• 
  Слайд 21

  Схема Горнера

  Делим уравнение на (x-1) Пример: Делим уравнение на (x-2) Решаем квадратное уравнение, x=3 и x=4 Ответ:1;2;3;4

• 
  Слайд 22

  Формулы Виета

  Найти кубическое уравнение, корни которого являются квадратами корней уравнения Обозначим корниискомого кубического уравнения как Ответ: Задача:

• 
  Слайд 23

  Решение с выделением полного квадрата

  Пример: x4 – 2x3  – 3x2 + 4x + 4 = 0. Представим – 3x2 как (x2  – 4x2) x4 – 2x3 + x2  – 4x2 + 4x + 4 = 0 Свернем по формуле и вынесем общий множитель (x2  – x)2 – 4(x2 – x)  + 4 = 0 Введем замену y = (x2  – x) Решим уравнение, y=2 2= (x2  – x) x=-1 или x=2 Ответ: -1;2

• 
  Слайд 24

  Идея однородности

  Разделим обе части уравнения на ; или Ответ: Пусть , тогда получим корней нет Пример: ,

• 
  Слайд 25

  Решение уравнений относительно коэффициентов

  или ; Определяем коэффициенты и решаем квадратное уравнение: ; ; Пример: +

• 
  Слайд 26
  

  Ответ: 2 квадратных уравнения; корней нет; - посторонний корень

• 
  Слайд 27

  Метод разложения на простейшие дроби

  Ответ: Выделяем из числителя 1 и переносим:

• 
  Слайд 28

  Неравенство треугольника(Евклидова геометрия)

  Внешний угол больше внутреннего, с ним не смежного Против большей стороны лежит больший внутренний угол Против большего внутреннего угла лежит большая сторона

• 
  Слайд 29
  

  Неравенство Коши

• 
  Слайд 30
  

  Из всех равновеликих треугольников найти треугольник наименьшего периметра. Пусть x, y, z– стороны треугольника, тогда: Применим неравенство Коши: Наименьшее значение периметра равно Достигается при x=y=z Задача:

• 
  Слайд 31

  Неравенства с модулем

  Соотношение двух величин, одна из который имеет модуль, показывающее, что одна величина большеили меньше другой. Методы решения: Метод промежутков Графический

• 
  Слайд 32

  Пример:

  1. Рассмотрим 2. Ответ: 1 2

• 
  Слайд 33
  

  Если дискриминанты положительны, то при D/4=4+5+a=a+9 D/4=4+5-a=9-a Ответ: (0;9)

• 
  Слайд 34
  

  Ответ: |3х - 1| - |х - 1|

• 
  Слайд 35

  Неравенства с параметрами

  Неравенство f (a,b,c,…k,x)> ϕ (a,b,c,…k,x), где a,b,c,…k – параметры, а x –действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.

• 
  Слайд 36

  Пример:

    Ответ: Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство: ; ; ; ; ;

• 
  Слайд 37
  

  Задача: Найдите все значения а при которых неравенство не имеет решений Ответ: (1;5) График – парабола, ветви вверх

• 
  Слайд 38
  

  Найти все значение параметра q, при каждом из которых множество решений неравенства не содержит ни одного решения неравенства Задача:

• 
  Слайд 39
  

  y=2x+8 y=2x+8 ; ; ; ; ;

• 
  Слайд 40
  

  Ответ: при исходное неравенство не содержит ни одного решения неравенства

• 
  Слайд 41
  

  Метод “Ромашки” f(х) = -натуральные числа f(х) >0(соответственно

• 
  Слайд 42
  

  (х + 1)(х — 2) 2 > 0 Пример: Ответ: (—1; 2) (2; +∞). Рассмотрим функцию f(x)=(x+1)(x-2)(x-2) Нули функции: х1=-1, х2=х3=2

• 
  Слайд 43
  

  ≥0 Пример: Ответ: (0; 3] {7}. Рассмотрим функцию f(x)= х≠0. х≠4 Нули функции: х=3, х=7

• 
  Слайд 44

  Заключение

  Мы поставили перед собой задачи: Изучить нестандартные методы решения уравнений и неравенств Научиться использовать их на практике Создать наглядную и понятную презентацию для ознакомительных целей Ознакомить класс с этими методами при помощи наглядных примеров Создать папку с материалами работы Считаем, что намеченные нами цели достигнуты.

• 
  Слайд 45

  Спасибо за внимание!