Презентация на тему "Отбор корней в тригонометрических уравнениях"

Содержание

• 
  Слайд 1

  ОТБОРКОРНЕЙВ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ

  Презентацию разработала учитель математики МБОУ СОШ №4 г. ПокачиХМАО-Югра Тюменской области Литвинченко Л.В.

• 
  Слайд 2
  

  Расскажем, как можно решить такую проблему. Первый методнахождения подходящих корней заключатся в решении диофантовых уравнений с целыми коэффициентами для этого необходимо: - найти наибольший общий делитель коэффициентов при неизвестных ; попробовать сократить на него обе части уравнения (разумеется, свободный член должен при этом остаться целым числом). Второй методзаключается в изображении всех решений на тригонометрической окружности и исключении неподходящих решений. Метод этот очень прост в применении, если решения легко изобразить на тригонометрической окружности. Решая тригонометрические уравнения , возникает вопрос отбора корней ,связанных с областью определения и другими условиями. Рассмотрим пример : 21k - 24n = 8 и решим его первым способом. Набольший общий делитель коэффициентов равен 3, и сократить его не удается, так как 8 на 3 не делится. Тогда можно сразу сказать, что это уравнение решений в целых числах не имеет.

• 
  Слайд 3
  

  Покажем, как искать решения. Решим уравнение 166n - 44k = 6. Для начала поделим обе части на 2: 83n - 22k = 3. Теперь выберем ту неизвестную, коэффициент при которой меньше по абсолютной величине – в нашем случае это k - и выразим ее через другую неизвестную: 3. Выделим в этой дроби целую часть: Обозначим , или 17 n – 3 = 22t. Снова получилось неопределенное уравнение, но его коэффициенты уже меньше, чем у исходного.

• 
  Слайд 4
  

  5. Проделаем с этим новым уравнением ту же операцию, что и с исходным: выразим из него ту неизвестную, коэффициент при которой меньше по абсолютной величине (на сей раз это будет n), и выделим из получающейся дроби целую часть: 6. Обозначим , или 5t + 3 =17s. Продолжая в том же духе, выразим t через s: 7. Обозначим , или5v = 2s – 3.Выразим s через v:

• 
  Слайд 5
  

  Обозначим , илиv = 2u – 3. Чтобы получить решения исходного уравнения, нам осталось последовательно выразить v через u, s через v, t через s, n через t, k через n. 10. Отправимся в обратный путь: v = 2u – 3

• 
  Слайд 6
  

  Итак, решение получено: k = 83u – 102, n = 22u – 27, где u – произвольное целое число. Стало быть ответ таков: 44k + 6 = 166nдля некоторого n∊Zтогда и только тогда, когда k = 83u – 102, где u∊Z . Изложенный нами способ нахождения решения линейного неопределенного уравнения с целыми коэффициентами (диофантового) называется алгоритмом Евклида.

• 
  Слайд 7
  

  Важным этапом решения сложных тригонометрических уравнений является нахождение пересечения двух множеств углов π(a+bn) и π(c+dk), где a, b, c, d - фиксированные рациональные числа; n, k – переменные, принимающие целочисленные значения. Иными словами, речь идет об отыскании целочисленных решений уравнения π(a+bn) = π(c+dk) (1) с рациональными коэффициентами a, b, c, d. Решаем вторым способ уравнение(1)-на тригонометрическом круге. Однако он применим только для достаточно простых комбинаций углов. Например, решить уравнения: а) б)

• 
  Слайд 8
  

  в) если НОД (u,v)больше 1, то (1)не имеет решений; б) если НОД (u,v) = 1. В этом случае подбором найдем некоторое частное решение (n₀, k₀)уравнения(2), т.е. такую пару целых чисел (n₀,k₀), для которых выполняется равенство un₀ + vk₀ = w ; г) запишем решение уравнения (1) в виде: или а) уравнение (1) приведем к виду un + vk = w (2) где u, v, w – фиксированные целые числа и их НОД (u, v, w ) = 1; Изложим общие этапы решения уравнения π(a+bn) = π(c+dk) (1):

• 
  Слайд 9
  

  Пример 1.Решить в целых числах уравнение Решение. Приведем это уравнение к виду (2): -12n + 5k = 3. Пара n₀ = 1, k₀ = 3 – его частное решение. Поэтому общее решение имеет вид n = 1 + 5t, k = 3 + 12t, t∊ Z. Ответ: n = 1 + 5t,k = 3 + 12t, t∊ Z. Пример 2.Решить в целых числах уравнение Решение. Приведем это уравнение к виду (2): 6n - 40k = 7. Так как НОД( 6 и 40 )=2 > 1, то решений нет. Ответ: нет решений. Рассмотрим два примера.

• 
  Слайд 10

  Пример 1. Объединить семейства значений.

  Рассмотрим примеры отбора корней на единичной окружности. Тогда ответ можно записать более компактно: x2 Отметимна окружности значения x1 – кружками,x2 – квадратиками, (где x1и x2 являются решениями уравнения). На окружности получилось шесть точек, которые делят окружность на равные части.

• 
  Слайд 11

  Пример 2. Объединить семейства значений.

  x1= , x2= Решение. I способ. Нанесем на окружности значения x1 – кружками, x2 – квадратиками. Значения x = πm являются повторяющимися. а) Если ответ исключить их из первого семейства, то он будет выглядеть так: б) Если же ответ исключить из второго семейства, то он таков:

• 
  Слайд 12

  Чтобы найти повторяющиеся решения, надо решить уравнение

  Решим относительно k.Получим , при n=4 mзначенияkбудут целыми. Таким образом, ответ можно записать так, сохранив первое семейство, а из второго исключить повторяющиеся. 2 способ. Аналитическое решение.

• 
  Слайд 13
  

  При отборе корней в тригонометрическом уравнении изображение их на тригонометрическом круге не всегда удобно, когда период меньше 2π. В таких случаях удобнее применять аналитический способ. Пример: Решение: заменим это тригонометрическое уравнение эквивалентной системой уравнений, а затем найдем пересечение множеств решений.

• 
  Слайд 14
  

  В данном случае сделать отбор решений на тригонометрическом круге неудобно, так как периоды серий разные. Найдём такие целые k, при которых x=π+2πkимеет посторонние корни, удовлетворяющие условию x≠3πn, n∊ Z. Ответ: x=π+2πk, где k≠3m+1, m∊Zили x=π+6πm, x=3π+6πm, m∊ Z. Пусть π+2πk=3πn; 1+2k=3n. Отсюда k=(3n-1):2 = (2n+n-1):2 = n+(n-1):2. Пусть m=(n-1):2. Тогда 2m=n-1. Отсюда n=2m+1. Следовательно k=(3(2m+1)-1):2=(6m+3-1):2=3m+1. Итак, посторонние корни в серии x=π+2πkбудут при k=3m+1,m∊Z.

• 
  Слайд 15

  ОСНОВНАЯ СХЕМА ОТБОРА КОРНЕЙ ТАКОВА:

  Находится наименьший общий период всех тригонометрических функций, входящих в уравнение. На числовой прямой наносятся все решения, входящие в этот период (повторяющиеся, лишние отбрасываются; находятся удовлетворяющие уравнению и периодически продолжаются). Если период равен 2π, то корни наносятся на единичную окружность, а затем с периодом 2π продолжаются. Если значения корней очень маленькие, то их «укрупняют», а затем выбирают нужные. Возможно аналитическое решение пересечений семейств решений.

• 
  Слайд 16

  Спасибо за внимание!