Презентация на тему "Знакомство с первообразной"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Первообразная

  Выполнил: Студент группы К-11 ХК ДУТ Надыч Владимир

• 
  Слайд 2

  План

  Первообразная; Пример 1 Свойства первообразной Техника интегрирования Другие определения Определение первообразной через предел n-ой производной Теорема Пример 2 Пример 3 Источники информации

• 
  Слайд 3

  Первообразная

  Первообразная. Непрерывная функция  F ( x ) называется  первообразной для функции  f ( x ) на промежутке  X ,  если для каждого      F’ ( x ) = f ( x ).

• 
  Слайд 4

  Пример 1

  Функция  F ( x ) = x 3 является первообразной для функции                         f ( x ) = 3x 2  на интервале  ( - , +  ) , так как                                                  F’ ( x ) = ( x 3 )’  = 3x 2 =  f ( x )                          для всех  x  ( - , +  ) .                        Легко проверить, что функция x 3 + 13 имеет ту же производную                        3x 2, поэтому x 3 + 13 также является первообразной для функции                        3x 2  для всех   x  ( - , +  ) . Ясно, что вместо 13 можно взять                        любую постоянную.

• 
  Слайд 5
  

  Таким образом, задача нахождения первообразной имеет бесчисленное множество решений. Этот факт нашёл отражение в определении неопределённого интеграла.   Неопределённый интеграл функции  f ( x ) на промежутке  X есть множество всех её первообразных. Это записывается в виде: где  C  – любая постоянная, называемая постоянной интегрирования.

• 
  Слайд 6

  Свойства первообразной

  Первообразная суммы равна сумме первообразных Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции Достаточным условием существования первообразной у заданной на отрезке функции  является непрерывность  на этом отрезке Необходимыми условиями существования являются принадлежность функции  первому классу Бэраи выполнение для неё свойства Дарбу У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную.

• 
  Слайд 7

  Техника интегрирования

  Нахождение первообразных значительно сложнее, чем нахождение производных. Для этого имеется несколько методов: линейность интегрирования позволяет разбивать сложные интегралы на части, интегрирование через подстановку, часто применяемое вместе с тригонометрическими тождествами или натуральным логарифмом, интегрирование по частям для операций с произведениями функций, метод обратной цепочки, особый случай интегрирования по частям, метод интегрирования рациональных дробей позволяет интегрировать любые рациональные функции (дроби с полиномами в числителе и знаменателе),

• 
  Слайд 8
  

  алгоритм Риша - алгоритм для интегрирования любых элементарных функций, некоторые интегралы можно найти в таблице интегралов, при многократном интегрировании можно использовать дополнительную технику, для примера см. двойной интеграл и полярные координаты,Якобиан и теорема Стокса, Системы компьютерной алгебры помогают автоматизировать некоторые вышеприведённые символьные операции (в частности алгоритм Риша), что очень удобно, когда алгебраические вычисления становятся слишком громоздкими, если функция не имеет элементарной первообразной (как, например, ), её интеграл может быть вычислен приближённо с помощьючисленного интегрирования.

• 
  Слайд 9

  Другие определения

  Это определение является наиболее распространенным, но встречаются и другие, в которых ослаблены требования существования всюду конечной  и выполнения всюду равенства , иногда в определении используют обобщения производной.

• 
  Слайд 10

  Определение первообразной через предел n-ой производной

  Функцияназывается первообразной для функцииесли будет существовать предел для функцииявляющейся производной n- го порядка для функции то есть

• 
  Слайд 11

  Теорема

  Данное определение эквивалентно основному определению. В самом деле;

• 
  Слайд 12

  Пример 2

  Вычислим первообразную для функции  И так: при условии, что  Поскольку: Получаем:

• 
  Слайд 13

  Пример 3

  Вычислим первообразную для функции: …

• 
  Слайд 14

  Источники информации

  Интересные примеры нахождения неопределенных интегралов Первообразная как интеграл Ньютона-Лейбница с переменным верхним пределом WolframIntegrator — вычисление интегралов онлайн с помощью системы Mathematica MathematicalAssistantonWeb — символьные вычисления онлайн

• 
  Слайд 15