Презентация на тему "Понятие предела функции"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Понятие предела функции

• 
  Слайд 2

  Определение

   Пусть функция f, принимающая действительные значения, определена в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может, самой точки x0.  Функция f имеет предел в точке x0, если для любой последовательности точек xn, n = 1, 2,..., xn ≠ x0, стремящейся к точке x0,  последовательность значений функции f (xn) сходится к одному и тому же числу А, которое и называется пределом функции f в точке x0, (или при x → x0) при этом пишется у х О х0 А

• 
  Слайд 3
  

  Число А называется пределом функции f в точке x0, если для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всех точек х ≠ x0, удовлетворяющих условию |х — x0|

• 
  Слайд 4
  

  Все основные элементарные функции: постоянные, степенная функция (хα),  показательная функция (ax), тригонометрические функции (sinx, cosx, tgx и ctgx) и обратные тригонометрические функции (arcsinx, arccosx, arctgx и arcctgx) во всех внутренних точках своих областей определения имеют пределы, совпадающие с их значениями в этих точках. 

• 
  Слайд 5

  Примеры функций,имеющих предел в точке

  у= x2 Предел функции  при x → 2 равен 4(при x → 2 значения функции → 4). Предел функций  при x → 0 равен 0.

• 
  Слайд 6
  

  х О а у А у х О а у х О 1 -1 Примеры функций, не имеющих предел в точке

• 
  Слайд 7

  Свойства предела функции в точке

  Если функции f (x) и g (x) имеют конечные пределы в точке a, причем    То  если B ≠ 0 и если g (x) ≠ 0 в δ-окрестности точки a.

• 
  Слайд 8

  Вычисление предела функции в точке

  Найдем Предел числителя Предел знаменателя . Используя теорему о пределе частного, получим Сначала просто пытаемся подставить число в функцию

• 
  Слайд 9
  

  Найдем Предел числителя Предел знаменателя равен нулю, поэтому теорему о пределе частного применять нельзя. Величина 1/(x-3) является бесконечно большой величиной при x→3. Тогда

• 
  Слайд 10

  Раскрытие неопределенности

  При нахождении предела иногда сталкиваются с неопределенностями вида Отыскание предела в таких случаях называется раскрытием неопределенности. Для того, чтобы раскрыть неопределенность ∞/∞ необходимо разделить числитель и знаменатель на х в старшей степени.     Разделим числитель и знаменатель на  х2  

• 
  Слайд 11
  

  Разделим числитель и знаменатель на х4 

• 
  Слайд 12
  

  Разделим числитель и знаменатель на  х2  подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.   Таким образом, при раскрытии неопределенности может получиться конечное число, ноль или бесконечность.

• 
  Слайд 13
  

  Вычислить предел  Сначала попробуем подставить -1 в дробь:  В данном случае получена так называемая неопределенность 0/0 Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенность вида 0/0, то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Очевидно, что можно сократить на  (х+1) : Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

• 
  Слайд 14
  

  Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение Найти предел  Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела.  Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.     Получена неопределенность вида 0/0 , которую нужно устранять

• 
  Слайд 15
  
• 
  Слайд 16

  Замечательные пределы

  первый замечательный предел второй замечательный предел

• 
  Слайд 17

  Примеры

• 
  Слайд 18

  Односторонние пределы

  Число A1 называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех    выполняется неравенство   При х приближающихся к а слева, значения функции стремятся к А1  у х О а А1 а-δ А1+ε А1-ε Предел функции  слева

• 
  Слайд 19

  Предел функции  справа

  Число A2 называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех    выполняется неравенство  При х приближающихся к а справа, значения функции стремятся к А2  у х О а А2 а+δ А2+ε А2-ε Функция, определённая в некоторой окрестности точки, имеет предел в точке, если её предел справа равен пределу слева. у х О а А

• 
  Слайд 20
  

  у х О 1 -1