Презентация на тему "Пределы функций"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Математический анализ

  Составитель: Никулина Л.С., старший преподаватель кафедры Математики и Моделирования

• 
  Слайд 2

  Введение

• 
  Слайд 3

  Назначение курса

  Математический анализ является фундаментальной дисциплиной, составляющей основу математического образования. Курс предназначен для ознакомления студентов с основными понятиями математического анализа и их применением к решению задач. В курсе излагаются традиционные классические методы математического анализа

• 
  Слайд 4

  Цели преподавания дисциплины

  Развитие интеллекта и способностей к логическому и алгоритмическому мышлению; Обучение основным математическим методам, необходимым для анализа и моделирования технических и других задач.

• 
  Слайд 5

  Задачи преподавания

  На примерах продемонстрировать студентам сущность математических методов, научить приемам исследования и решения математически формализованных простейших задач, привить навыки самостоятельной работы с математической литературой.

• 
  Слайд 6

  Литература

  Основная литература: Л. Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, т. 1, 2.- М.: высшая школа, 1981 Г. Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1987. Н. С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 1, 2. - М.: Наука, 1984.

• 
  Слайд 7
  

  Дополнительная литература: Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики.-М.: Наука, 1978. Учебно-методические разработки: Л. Я. Дубинина, Л. С. Никулина, И. В. Пивоварова. Курс лекций по высшей математике, ч. 1, 2.-Владивосток, изд. ВГУЭиС, 2001. Сборник задач по высшей математике. Сост. И. В. Пивоварова, Л. Я. Дубинина, Л. С. Никулина. -Владивосток, изд. ВГУЭиС, 2002.

• 
  Слайд 8

  Контроль

  Виды контроля:В процессе обучения студенты должны выполнить 2 контрольных работы, 3 ИДЗ и сдать теорию. Кроме того, студенты должны пройти промежуточную аттестацию. Итоговая аттестация предусмотрена в виде экзамена (компьютерное тестирование).

• 
  Слайд 9

  Аттестации

  Способы проведения промежуточных аттестаций, способ проведения итоговой аттестации и условия получения на ней положительной оценки. Для получения положительнойоценкина экзамене студент должен выполнить все контрольные работы, выполнить и защитить все ИДЗ, проявлять активность на занятиях и регулярно выполнять все домашние задания.

• 
  Слайд 10

  Пределы и непрерывность

  1. Определение предела функции. 2. Односторонние пределы. 3. Бесконечно малые и бесконечно большие. 4. Теоремы о пределах. 5. Некоторые признаки существования предела. 6. Замечательные пределы. 7. Непрерывность. 8. Свойства непрерывных функций.

• 
  Слайд 11

  Лекция 1

• 
  Слайд 12

  Пределы функций

• 
  Слайд 13

  Определение функции

  Если каждому элементу хХ поставлен в соответствие единственный элемент у=f(х)У,где Х и Y -данные числовые множества, и при этом каждому элементу уУ поставлен в соответствие хотя бы один элемент хХ, то у называется функцией от х, определенной на множестве Х.

• 
  Слайд 14

  Обратная функция

  Пусть между элементами множеств X и Y функция y=f(x) устанавливает взаимно однозначное соответствие, то есть xXсоответствует один и только один его образ y =f(x)Y и обратно, для  y Y найдется единственный прообраз xX такой, что f(x) = y. Тогда функция ,где y Y, устанавливающая соответствие между элементами множеств Y и X, называется обратнойдля функции y = f(x).

• 
  Слайд 15

  Определение окрестности

  Окрестностью О (а) точки а называется любой интервал x , окружающий эту точку, из которого, как правило, удалена сама точка а. Под окрестностью О() символа бесконечность понимается внешность любого отрезка ,, то есть О () = (-,)  (,+ ).

• 
  Слайд 16

  Определение предельной точки

  δ-окрестностьюточки а называется интервал (а–δ,а+δ), не содержащий точку а, т.е. О (а, δ) = (а- δ, а)(а, а + δ). Пусть функция f(x) определена на множестве X, кроме быть может точки а.

• 
  Слайд 17
  

  Точку а мы будем называть предельной точкой множества X, если в любой δ -окрестности точки а содержится бесконечно много точек xX, то есть О (а)∩X  для  О(а).

• 
  Слайд 18

  Определение предела

  Число А называется пределом функции f(x) в точке а (или при xа), если для любого  0 существует число δ()  0 такое, что для любого xX, удовлетворяющего условию 0 x – аδ, следует неравенство f (x) – A.

• 
  Слайд 19

  Другое определение предела

  Говорят, что число А является пределом функции f(x) при xа, если для  0 существует δ-окрестность точки а О (а,δ) = {x| 0

• 
  Слайд 20
  

  Утверждение эквивалентно следующему: f(x) – Aпри x ∆, где ∆ = ∆() зависит от  и по смыслу определения является достаточно большим положительным числом. Множество всех точек x, для которых x ∆, очевидно является симметричной окрестностью символа .

• 
  Слайд 21

  Геометрическая иллюстрация

  а А а-δ а+δ А+ε А-ε Y=f(x) х у о

• 
  Слайд 22
  

  Приведем еще один рисунок, поясняющий определение предела. а А А+ε А-ε а-δ а+δ х у У=f(x) 0 о

• 
  Слайд 23
  

  На этом рисунке изображена функция, которая в точке а не имеет предела. а х у 0 Y=f(x)

• 
  Слайд 24

  Односторонние пределы

• 
  Слайд 25
  

  Любой интервал (, а), правым концом которого является точка а, называется левой окрестностью точки а. Аналогично любой интервал (a, ), левым концом которого является точка а, называется ее правой окрестностью.

• 
  Слайд 26
  

  Символически запись означает, что х стремится к а справа, оставаясь большим а, то есть при х > а; запись означает, что х стремится к а слева, то есть при х

• 
  Слайд 27
  

  будем называть левосторонним пределом функции (при слева), - это правосторонний предел функции.

• 
  Слайд 28
  

  Теорема о существовании предела Функция у = f(х) имеет в том и только том случае, когда существуют и равны друг другу ее левосторонний и правосторонний пределы при . Tогда = = =

• 
  Слайд 29

  Бесконечно малые и бесконечно большие

• 
  Слайд 30
  

  Функция (x) называется бесконечно малой при ха, если Ясно, что тогда (x) для всех x O(а, δ) и  > 0. Например, функцияявляется бесконечно малой приx0.

• 
  Слайд 31
  

  Функция f(х) называется бесконечно большой при если . Это равносильно тому, что каким бы ни было число М > 0, найдется такая окрестность О (а, δ), что для всех x O (а, δ) M. Например, бесконечно большая при x0 .

• 
  Слайд 32
  

  Лемма. Если f(х)→ при х→а, →0 при ха. Если  (x)  0 при xa, то  при xa и  (x)  0.

• 
  Слайд 33

  Лекция 2

• 
  Слайд 34
  

  Свойства бесконечно малых. Теорема 1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при xа функций есть функция бесконечно малая при xа.

• 
  Слайд 35
  

  Теорема 2. Произведение конечного числа бесконечно малых при x a функций есть бесконечно малая при xa функция.

• 
  Слайд 36
  

  Теорема 3. Произведение бесконечно малой при xa функции на функцию, ограниченную при xa, есть бесконечно малая при xa.

• 
  Слайд 37
  

  Следствие. Целая положительная степень бесконечно малой при x a функции (x) есть бесконечно малая при xa.

• 
  Слайд 38
  

  Если , то в силу определения предела функции получаем: f(x)-A

• 
  Слайд 39
  

  Тогда, полагая f(x)-A=(x), получим: f(x) = A + (x), где (x) 0 при xa. Таким образом, имеем: f(x) = А+ (x), где(x)→ 0 приxa.

• 
  Слайд 40

  Теоремы о пределах

• 
  Слайд 41
  

  Теорема. Если функция f(х) = с постоянна в некоторой окрестности точки а, то Теорема. Если f(х) имеет предел при х→а, то этот предел единствен.

• 
  Слайд 42
  

  Функция f(х) называется ограниченной на данном множестве Х, если существует такое положительное число М, что |f(х)| М при всех хХ. Если такое число М не существует, то функция f(х) называется неограниченной

• 
  Слайд 43
  

  Лемма. Если функция f(х) имеет предел А при х→а, то она ограничена в некоторой окрестности точки х = а. Теорема. Пусть существует и пусть М

• 
  Слайд 44
  

  Теорема 1. Если в точке а существуют пределы функций f(x) и g(x), то в этой точке существует и предел суммы f(x)g(x),причём .

• 
  Слайд 45
  

  Теорема 2. Если в точке а существуют пределы функций f (x) и g (x), то существует и предел произведения f(x)g(х), причем

• 
  Слайд 46
  

  Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

• 
  Слайд 47
  

  Теорема 3. Если в точке а существуют пределы функций f(х) и g (x) и при этом , то существует и предел частного , причем . .

• 
  Слайд 48

  Пример

  Найти . По теореме о пределе частного

• 
  Слайд 49
  

  Найти Преобразуем данную функцию так, чтобы выделить в числителе и знаменателе множитель , на который и разделим далее числитель и знаменатель:

• 
  Слайд 50
  

  Найти Преобразуем данную функцию, умножив числитель и знаменатель на

• 
  Слайд 51
  

  Еще один пример. Вычислить Положим .

• 
  Слайд 52

  Признаки существования предела

  «Теорема о двух милиционерах» куда они меня тащут?

• 
  Слайд 53
  

  Теорема (о промежуточной функции). Пусть в некоторой окрестности О (а) точки а функция f(x) заключена между двумя функциями и , имеющими одинаковый предел А при xa, то есть и Тогда функция f(x) имеет тот же предел:

• 
  Слайд 54

  Первый замечательный предел

  Теорема. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице, то есть . Этот предел называют первым замечательным пределом.

• 
  Слайд 55
  

  Это объясняется тем, что бесконечно малая дуга почти не успевает изменить свое направление, т.е. искривиться. x x y А В

• 
  Слайд 56

  Второй замечательный предел

  Второй замечательный предел: или или

• 
  Слайд 57

  Примеры

  Вычислим =

• 
  Слайд 58
  

  Найти Полагая , получим: =

• 
  Слайд 59
  

  Сравнение бесконечно малых Две бесконечно малые при х→а функции (х) и (х) называются бесконечно малыми одинакового порядка, если k, где k 0 и конечно. При этом пишут: (х) =О((х))

• 
  Слайд 60
  

  Две бесконечно малые при х→а функции (х) и (х) называются эквивалентными при х→а, если . Это записывают так: (x)(x) при x→a.

• 
  Слайд 61
  

  Бесконечно малая при х→а функция (х) называется функцией более высокого порядка по сравнению с функцией (х) при х→а, если . В этом случае пишут (х) = о ((х)) при x→a.

• 
  Слайд 62
  

  Приведем некоторые замечательные примеры в дополнение к первому и второму замечательным пределам.

• 
  Слайд 63
  

  Теорема. Если при бесконечно малые , то Пример.