Презентация на тему "Предел функции в бесконечности и в точке"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В БЕСКОНЕЧНОСТИ И В ТОЧКЕ Понятие предела функции y=f(x)связано с понятием предела числовой последовательности У числовой последовательности переменная n, возрастая, принимает только целые значения, а у функции переменная х может принимать любые значения.

• 
  Слайд 2
  

  Число А называется пределом функции у=f(x), при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε>0, найдется такое положительное число S, что при всех |x|>S, выполняется неравенство:

• 
  Слайд 3
  

  При достаточно больших по модулю значениях х, значения функции f(x) очень мало отличаются от числа А (меньше, чем на число ε , каким бы малым оно не было). смысл определения:

• 
  Слайд 4
  

  Рассмотрим геометрический смысл этого определения. Неравенство равносильно двойному неравенству что соответствует расположению части графика у=f(x)в полосе шириной 2ε.

• 
  Слайд 5
  
• 
  Слайд 6
  

  Т.е. число А есть предел функции какой бы узкой она не была. если для любого, сколь угодно малого числа ε>0, найдется такое число S,что при всех соответствующие ординаты графика функции у=f(x) будут заключены в полосе

• 
  Слайд 7
  

  Доказать, что Пример.

• 
  Слайд 8
  

  Т.е. для любого ε>0 существует число Такое, что для всех х, таких что |x|>S, выполняется неравенство: Для любого ε>0 Решение.

• 
  Слайд 9
  

  Рассмотренное определение предела при x стремящемся к бесконечности предполагает неограниченное возрастание x по абсолютной величине. Можно сформулировать понятие предела при стремлении x к бесконечности любого знака, т.е. при Замечание 1.

• 
  Слайд 10
  

  В случае, когда неравенство должно выполняться при всехx таких, что х>s. В случае, когда неравенство должно выполняться при всехx таких, что х

• 
  Слайд 11
  

  Число А называется пределом функции у=f(x), при х→x0, (или в точке x0) если для любого, сколь угодно малого числа ε>0, найдется такое положительное число δ, что при всех |x-x0|

• 
  Слайд 12
  

  При всех значениях х, достаточно близких к x0, значения функции у=f(x) очень мало отличаются по абсолютной величине от числа А (меньше, чем на число ε, каким бы малым оно не было). смысл определения:

• 
  Слайд 13
  

  Неравенство равносильно двойному неравенству Аналогично неравенство равносильно неравенству Это соответствует расположению части графика в полосе шириной 2ε и попаданию точки х в δ -окрестность точки x0.

• 
  Слайд 14
  

  Т.е. число А есть предел функции при х→x0, если для любого, сколь угодно малого числа какой бы узкой она не была. найдется такая δ–окрестность точки x0, что для всех х≠x0 из этой окрестности соответствующие ординаты графика функции будут заключены в полосе

• 
  Слайд 15
  
• 
  Слайд 16
  

  Доказать, что Пример.

• 
  Слайд 17
  

  Пусть ε=0.1 Тогда неравенство будет выполняться при Аналогично, при ε=0.01 Неравенство будет выполняться при Решение.

• 
  Слайд 18
  

  Т.е. для любого ε>0 неравенство выполняется при Т.е. для любого ε>0 существует число что для всех х, таких что |x-1|

• 
  Слайд 19
  

  Определение предела не требует существования функции в самой точке x0, т.к. рассматриваются значения функции в некоторой окрестности точки x0. Т.е. рассматривая предел мы предполагаем, что но не достигает значенияx0. Замечание 2.

• 
  Слайд 20
  

  переменная x принимает значения только меньше x0 или, наоборот, больше x0, и при этом функция f(x) стремится к некоторому числу А, то говорят об односторонних пределах соответственно справа и слева: Если при Замечание 3.

• 
  Слайд 21
  

  Определение этих пределов будет аналогично рассмотренному выше при Вместо значений x, удовлетворяющих условию рассматриваются такие x, что при и значения x, такие что при

• 
  Слайд 22
  

  Если пределы функции f(x) слева и справа одинаковы и равны А, то существует общий предел этой функции, также равный А: