Презентация на тему "Предел функции"

Содержание

• 
  Слайд 1

  11 классУрок по теме: «Пределы»

• 
  Слайд 2

  Содержание

  Предел функции в точке Односторонние пределы Предел функции при x стремящемся к бесконечности Основные теоремы о пределах Вычисление пределов Раскрытие неопределенностей Первый замечательный предел

• 
  Слайд 3
  

  Случай 1. А

• 
  Слайд 4
  

  Случай 2. А

• 
  Слайд 5
  

  Случай 3. А В этом случае говорят, что функция непрерывна в точкеа

• 
  Слайд 6

  Предел функции в точке

  Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может самой точки x0. Число А называют пределом функции в точке x0 (или при ), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ, что для всех х из δ – окрестности точки x0 справедливо неравенство:

• 
  Слайд 7
  

  y 0 х х0 А δ окрестность точки x0 ε окрестность точки А Геометрический смысл предела: для всех х из δ– окрестности точки x0 точки графика функции лежат внутри полосы, шириной 2ε, ограниченной прямыми: у = А +ε , у = А -ε .

• 
  Слайд 8

  Односторонние пределы

  В определении предела функции Бывают случаи, когда способ приближения аргумента x к x0 существенно влияет на значение предела, поэтому вводят понятия односторонних пределов. предполагается, что x стремится к x0 любым способом: оставаясь меньше, чем x0(слева от x0), большим, чем x0(справа от x0), или колеблясь около точки x0. Число А1 называют пределом функции слева в точке x0, если для любого ε > 0 найдется такое δ>0, что для всех справедливо неравенство: Предел слева записывают так:

• 
  Слайд 9
  

  Число А2 называют пределом функции справа в точке x0, если Предел справа записывают так: y 0 х А1 х0 А2 Пределы функции слева и справа называют односторонними пределами. Очевидно, если существует то существуют и оба односторонних предела, причем А = А1 = А2 y 0 х А1=А2=А х0

• 
  Слайд 10

  Предел функции при x стремящемся к бесконечности

  Пусть функция y = f(x) определена в промежутке . Число А называют пределом функции при , если Геометрический смысл этого определения таков: существует такое число М, что при х >M или при x

• 
  Слайд 11

  Основные теоремы о пределах

  Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функций. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) пределов: Формулировка теорем, когда или аналогичны, поэтому будем пользоваться обозначением: . Предел произведения двух функций равен произведению пределов: Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

• 
  Слайд 12
  

  Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю: Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: Предел показательно – степенной функции:

• 
  Слайд 13
  

  Если между соответствующими значениями трех функций при этом: тогда: выполняются неравенства: Если функция f(x) монотонна и ограничена при xx0, то существует соответственно ее левый предел: или ее правый предел:

• 
  Слайд 14

  Вычисление пределов

  Вычисление предела: начинают с подстановки предельного значения x0 в функцию f(x). Если при этом получается конечное число, то предел равен этому числу. Если при подстановки предельного значения x0 в функцию f(x)получаются выражения вида: то предел будет равен:

• 
  Слайд 15
  

  Часто при подстановке предельного значения x0 в функцию f(x)получаются выражения следующих видов: Эти выражения называются неопределенности, а вычисление пределов в этом случае называется раскрытие неопределенности.

• 
  Слайд 16

  Раскрытие неопределенностей

  Раскрытие неопределенности Если f(x) – дробно – рациональная функция, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель дроби Если f(x) – иррациональная дробь, необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю.

• 
  Слайд 17
  

  Раскрытие неопределенности Если f(x) – дробно – рациональная функция или иррациональная дробь необходимо разделить числитель и знаменатель дроби на x в старшей степени

• 
  Слайд 18
  

  Раскрытие неопределенности Умножим и разделим функцию на сопряженное выражение.

• 
  Слайд 19

  Первый замечательный предел

  Функция не определена при x = 0. Найдем предел этой функции при О А В С М Обозначим: S1 - площадь треугольника OMA, S2 - площадь сектора OMА, S3 - площадь треугольника OСА, Из рисунка видно, что S1

• 
  Слайд 20
  

  О А В С М x

• 
  Слайд 21
  

  Следствия: Формула справедлива также при x

• 
  Слайд 22