Презентация на тему "Предел числовой последовательности"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Числовые последовательности Автор: Елена Юрьевна Семёнова МОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный pptcloud.ru

• 
  Слайд 2

  Содержание

  Понятие числовой последовательности Примеры числовых последовательностей Способы задания последовательностей Ограниченность числовых последовательностей Возрастание и убывание числовых последовательностей Предел числовой последовательности Гармонический ряд Свойства пределов Примеры Сумма бесконечной геометрической прогрессии Предел функции на бесконечности Предел функции в точке Непрерывность функции в точке

• 
  Слайд 3

  Понятие числовой последовательности

  Рассмотрим ряд натуральных чиселN: 1,  2,  3, …,  n –1,  n, п + 1, … Функцию y = f(x), x  Nназывают функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают y = f(n) или  y1,  y2, …,yn, … или {уn}. Величина уnназывается общим членом последовательности. Обычно числовая последовательность задаётся некоторой формулой уn= f(n), позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n; эта формула называется формулой общего члена.

• 
  Слайд 4

  Примеры числовых последовательностей

  1,  2,  3,  4,  5, … –  ряд натуральных чисел; 2,  4,  6,  8,  10, … – ряд чётных чисел; 1, 4, 9, 16, 25, … – ряд квадратов натуральных чисел; 5, 10, 15, 20, … – ряд натуральных чисел, кратных 5; 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... – ряд вида 1/n, где nN; и т.д.

• 
  Слайд 5

  Способы задания последовательностей

  Перечислением членов последовательности (словесно). Заданием аналитической формулы. Заданием рекуррентной формулы. Примеры: Последовательность простых чисел: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; … Арифметическая прогрессия: an = a1 + (n – 1)d Геометрическая прогрессия: bn+1 = bn ∙ q

• 
  Слайд 6

  Ограниченность числовой последовательности

  Последовательность {уn} называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа. Пример: -1, -4, -9, -16, …, -п2, … - ограничена сверху 0. Последовательность {уn} ограниченна сверху, если существует число M такое, что для любого п выполняется неравенство уп≤ М Число М называют верхней границей последовательности.

• 
  Слайд 7
  

  Последовательность {уn} называют ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа. Пример: 1, 4, 9, 16, …, п2, … - ограничена снизу 1. Последовательность {уn} ограниченна снизу, если существует число m такое, что для любого п выполняется неравенство уп≥ m Числоmназывают нижней границей последовательности. Еслипоследовательность ограничена и сверху и снизу, то ее называют ограниченной последовательностью.

• 
  Слайд 8

  Возрастание и убывание числовой последовательности

  Последовательность {уn} называют возрастающей последовательностью, если каждый ее член больше предыдущего: у1 y2 > y3 > y4 > … > yn > yn+1 > … Пример: 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/(2п–1), … - убывающая последовательность. Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными

• 
  Слайд 9

  Предел числовой последовательности

  Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу a при увеличении порядкового номера n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. Это понятие имеет более строгое определение. Число а называется пределом числовой последовательности {уn}: если для любого ε> 0 найдется такое число N = N(ε), зависящее от ε, что │un – a│ N

• 
  Слайд 10
  

  Это определение означает, что a есть предел числовой последовательности, если её общий член неограниченно приближается к a  при возрастании  n. Геометрически это значит, что для любого ε> 0 можно найти такое число N, что начиная с n > Nвсе члены последовательности расположены внутри интервала (a – ε, a + ε). Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противном случае – расходящейся.

• 
  Слайд 11

  Рассмотрим последовательность:

  – гармонический ряд Если │q│ 1, топоследовательность уn = qn расходится

• 
  Слайд 12

  Свойства пределов

  Если , , то предел частного равен частному пределов: предел произведения равен произведению пределов: предел суммы равен сумме пределов: постоянный множитель можно вынести за знак предела:

• 
  Слайд 13

  Примеры:

• 
  Слайд 14

  Если mN, kR, то

• 
  Слайд 15

  Сумма бесконечной геометрической прогрессии

  Пример: Дано:b1 + b2 + b3 + b4 + … + bn + … = 9; (b1)2+ (b2)2 + (b3)2+ (b4)2 + … + (bn)2 + … = 40,5. Найти:b5. Решение: Ответ:

• 
  Слайд 16

  Предел функции на бесконечности

  В этом случае прямая у = bявляется горизонтальной асимптотой графика функции y = f(x). х у y = f(x) 0 у = b Будем говорить, что функция f(x) стремится к пределу b при x → ∞, если для произвольного малого положительного числа εможно указать такое положительное число M, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству |x| > M, выполняется неравенство |f(x) - b|

• 
  Слайд 17

  Предел функции в точке

  Функция y = f(x) стремится к пределу b при x → a, если для каждого положительного числа ε, как бы мало оно не было, можно указать такое положительное число δ, что при всех x ≠ a из области определения функции, удовлетворяющих неравенству |x - a|

• 
  Слайд 18

  Непрерывность функции в точке

  Функцию y = f(x) называют непрерывной в точке x = a, если выполняется условие Примеры: