Содержание
-
Предел последовательности и пределфункции
pptcloud.ru
-
Предел последовательности
Рассмотрим две числовые последовательности (уn) и (хn) и изобразим их члены точками на координатной прямой. (уn): 1, 3, 5, 7, 9,…, 2n – 1,…; (хn): у 0 1 3 5 7 9 11 13 0 1 х
-
Обрати внимание, что члены последовательности (хn) как бы «сгущаются» около точки 0, а у последовательности (уn) такой точки нет. В подобных случаях говорят, что последовательность (хn) сходится, а последовательность (уn) расходится. Чтобы узнать является ли конкретная точка, взятая на прямой, «точкой сгущения» для членов заданной последовательности, введем следующее понятие.
-
Определение 1. Пусть а – точка прямой, а r– положительное число. Интервал (а-r;a+r)называют окрестностью точки а, а число r – радиусом окрестности. Пример. (3,97; 4,03) – окрестность точки 4, радиус равен 0,03. х a-r a+r a
-
В математике «точку сгущения» для членов заданной последовательности принято называть «пределом последовательности». Определение 2. Число b называют пределом последовательности (уn),если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера. Обозначение: 1. (уnстремится к bили уnсходится к b); 2. (предел последовательности уn при стремлении nк бесконечности равен b)
-
Примеры
1. ; 2. Если , то ; Если , то последовательность расходится. 3. .
-
Обсудим результаты, полученные в примерах с геометрической точки зрения. Для этого построим графики последовательностей:
-
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 y=2
-
Обрати внимание, что на всех трех рисунках точки графика, по мере их ухода вправо, все ближе и ближе подходят к некоторой горизонтальной прямой: на рис 1 – к прямой у=0, на рис 2 – к прямой у=0, на рис 3 – к прямой у=2. Каждую из этих прямых называют горизонтальной асимптотой графика.
-
Вообще равенство означает, что прямая является горизонтальной асимптотой графика последовательности, т.е. графика функции y=b
-
Свойства сходящихся последовательностей
Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу. Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограничена, обратное неверно. Свойство 3. Если последовательность монотонна и ограниченна, то она сходится.
-
Вычисление пределов последовательности
I. Предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности:
-
Пусть , .
II. Предел суммы равен сумме пределов: Пример.
-
III. Предел произведения равен произведению пределов: Пример.
-
IV. Предел частного равен частному от пределов (при условиях, что : Пример.
-
V. Постоянный множитель можно вынести за знак предела: Пример.
-
Сумма бесконечной геометрической прогрессии
Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию Вычислим суммы двух, трех и т.д. членов прогрессии:
-
Получилась последовательность
Она может сходиться или расходиться. Если последовательность сходится к пределу S, то число S называется суммой геометрической прогрессии. Если расходится, то о сумме геометрической прогрессии не говорят. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии следующая:
-
Теорема. Если знаменатель геометрической прогрессии удовлетворяет неравенству , то сумма прогрессии вычисляется по формуле Пример.
-
Предел функции
Предел функции на бесконечности. Предел функции в точке.
-
Предел функции на бесконечности
Пусть дана функция в области определения которой содержится отрезок и пусть прямая Является горизонтальной асимптотой графика функции тогда или y=b
-
Вычисление предела функции на бесконечности
Для справедливо соотношение
-
2. Если ,то
а) предел суммы равен сумме пределов: б) предел произведения равен произведению пределов:
-
в) предел частного равен частному от пределов: г) постоянный множитель можно вынести за знак предела: Пример.
-
Предел функции в точке
Пусть дана функция и пусть дана точка Пусть значение функции в этой точке существует и равно тогда (читают: предел функции при стремлении х к а равен b) Пример. y=f(x) b a
-
Проверь себя!
Дорогой друг, теперь тебе предстоит проверить свои знания. Для этого нужно ответить на тест, который состоит из 10 вопросов, К каждому вопросу дается на выбор три ответа, один из которых верный. Желаю удачи!
-
1. Окрестность какой точки является интервал (2,1; 2,3)?
а) 2; б) 2,15; в) 2,2.
-
Неверно! Попробуй еще!
-
Верно! Дальше!
-
а) 2; б) 1; в) 1,5. 2. Интервал (7; 5) окрестность точки 6, чему равен радиус этой окрестности?
-
Неверно! Попробуй еще!
-
Верно! Дальше!
-
3. Последовательностьявляется:
а) сходящейся; б) расходящейся; в) ничего определенного сказать нельзя.
-
Неверно! Попробуй еще!
-
Верно! Дальше!
-
4. Число b называют пределом последовательности , если:
а) в любой окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера; б) в любой окрес тности точки b содержатся некоторые члены последовательности, начиная с некоторого номера; в) в любой окрестности точки b не содержатся члены последовательности.
-
Неверно! Попробуй еще!
-
Верно! Дальше!
-
5. Равенство означает, что прямая является дляграфика :
а) горизонтальной асимптотой; б) вертикальной асимптотой; в) наклонной асимптотой.
-
Неверно! Попробуй еще!
-
Верно! Дальше!
-
6. Какое из утверждений верно?
а) если последовательность имеет предел, то она монотонна; б) если последовательность не монотонна, то она не имеет предела; в) если последовательность ограничена, то она имеет предел.
-
Неверно! Попробуй еще!
-
Верно! Дальше!
-
7. Предел последовательности равен:
а) 0; б) 1; в) 2.
-
Неверно! Попробуй еще!
-
Верно! Дальше!
-
8. Сумма геометрической прогрессии равна:
а) 40; б) 41; в) 40,5.
-
Неверно! Попробуй еще!
-
Верно! Дальше!
-
9. Найти
а) 0; б) ; в) .
-
Неверно! Попробуй еще!
-
Верно! Дальше!
-
10. Найти
а) 1; б) 3; в) 2.
-
Неверно! Попробуй еще!
-
Верно! Дальше!
-
Конец
-
Пример. Найти предел последовательности Решение.
-
Пример. Вычислить Решение. Делим числитель и знаменатель дроби почленно на наивысшую из имеющихся степень переменной n, т.е. на n2.
-
Пример. Найти предел последовательности Решение.
-
Пример. Найти предел последовательности Решение.
-
Пример. Вычислить
Решение. Ответ: -1,5.
-
Дано (уn)= Доказать, что
Решение. Возьмем любую окрестность точки 0, с радиусом r. Подберем натуральное число n0 так, чтобы выполнялось неравенство Если например, r=0,001, то в качестве n0можно взять 1001; если , то n0=5774. Член данной последовательности с номером n0попадает в выбранную окрестность точки 0. В этой же окрестности будут находиться все последующие члены, тогда по определению 2 следует, что
-
Пример.Найти сумму геометрической прогрессии
Решение. Здесь Так как знаменатель прогрессии удовлетворяет неравенству , то воспользовавшись формулой , получим Ответ:
-
Если , то
Пусть , получим По аналогии с первым примером, здесь последовательность сходится к 0, значит . Если , то последовательность расходится. Пусть , получим Эта последовательность явно не имеет предела, значит она расходится.
-
Дана последовательностьнайти ее предел.
Выполним некоторые преобразования выражения : Это значит, в частности, что и т. д., Данную последовательность перепишем так: Видно, что «точкой сгущения» является 2, значит
-
Рассмотрим пример. Дана последовательность (хn)=1, 2, 3, 1, 2, 3,…, 1, 2, 3,…. Эта последовательность ограничена, но не является сходящейся.
-
Пример. Вычислить
Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби почленно на х2: Ответ: 2.
Нет комментариев для данной презентации
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.