Презентация на тему "Предел последовательности"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Предел последовательности

  Преподаватель ГБПОУ СО «Свердловский областной педагогический колледж» Перминова Е.В

• 
  Слайд 2
  

  а) 1, 2, 3,…,n,…. б) 1, -1/2, 1/3, -1/4,…,   в) sin 1, sin 2, sin 3,…, sin n,… Любое число в совокупности имеет номер в соответствии с тем местом, которое оно занимает и от него зависит. Пример: n=12 а) a12=12 б) b12=-1/12 в) c12=sin 12

• 
  Слайд 3
  

  ОПР.Совокупность чисел, каждое из которых имеет свой номер n є N и от него зависит, называется числовой последовательностью. Xn={X1,X2,…,Xn} an={a1,a2,…,an}

• 
  Слайд 4
  

  Задать числовую последовательность, значит указать как отыскивается любой ее член, если известен номер занимаемого им места.

  Описание (xn )-последовательность приближенных значений √2 с недостатком с точностью до 0,1; 0,01; 0,001… √2=1,1421356… (Xn)={1,1; 1,14; 1,142; 1,1421;…}

• 
  Слайд 5

  2. Формула n-го члена.

  Формула, позволяющая найти любой член последовательности по его номеру Назовите первые 5 членов последовательности (Xn)= n²

• 
  Слайд 6

  Понятие сходящейся последовательности

  Рассмотрим две числовые последовательности (уn) и (хn) и изобразим их члены точками на координатной прямой. (уn): 1, 3, 5, 7, 9,…, 2n – 1,…; (хn): у 0 1 3 5 7 9 11 13 0 1 х Обратим внимание, что члены последовательности (хn) как бы «сгущаются» около точки 0, а у последовательности (уn) такой точки нет. В подобных случаях говорят, что последовательность (хn) сходится, а последовательность (уn) расходится.

• 
  Слайд 7
  

  (уn): 1, 3, 5, 7,…,(2n-1),... Нет точки сгущения Последовательность расходится (хn): 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/6,…1/n,.. Точка сгущения – 0 Последовательность сходится Чтобы узнать является ли конкретная точка, взятая на прямой, «точкой сгущения» для членов заданной последовательности, введем следующее понятие.

• 
  Слайд 8

  Окрестность точки

  Определение 1. Пусть а – точка прямой, а r– положительное число. Интервал (а - r;a+r)называют окрестностью точки а, а число r – радиусом окрестности. Пример. (3,97; 4,03) – окрестность точки 4, радиус равен 0,03. х a-r a+r a

• 
  Слайд 9

  Предел последовательности

  В математике «точку сгущения» для членов заданной последовательности принято называть «пределом последовательности». Определение 2.Число b называют пределом последовательности (уn),если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера. Обозначение: 1.(уnстремится к bили уnсходится к b); 2. (предел последовательности уn при стремлении n к бесконечности равен b)

• 
  Слайд 10

  Формулы

  1) lim 1/n= 0 n→∞ 2) lim qn= 0, если 0 1, то lim qn не существует. n→∞ 3) lim С= С n→∞ 4) lim (к /nm)= 0 n→∞

• 
  Слайд 11

  Предел последовательности

  Построим графики последовательностей:

• 
  Слайд 12
  

  Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 у =2 у = 0 у = 0

• 
  Слайд 13

  Асимптоты графика

  Обратите внимание, что на всех трех рисунках точки графика, по мере их ухода вправо, все ближе и ближе подходят к некоторой горизонтальной прямой: на рис 1 – к прямой у = 0, на рис 2 – к прямой у = 0, на рис 3 – к прямой у = 2. Каждую из этих прямых называют горизонтальной асимптотой графика.

• 
  Слайд 14
  

  Вообще равенство означает, что прямая у = а является горизонтальной асимптотой графика последовательности, т.е. графика функции у =b

• 
  Слайд 15

  Свойства

  ● Если последовательность сходится, то только к одному пределу. ● Если последовательность сходится , то она ограничена. Обратное−неверно:1,2,3,1,2,3,…− ограниченная последовательность, но она не сходится ●Теорема Вейерштрасса Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

• 
  Слайд 16
  

  Карл Теодор Вейерштрасс- выдающийся немецкий математик, отец «современного анализа» 1815-1897 г. Кратер на Луне

• 
  Слайд 17

  Свойства вычисления пределов

  Если limхn= b и limуn=c , то n→∞n→∞ 1)Предел суммы равен сумме пределов: lim(хn+ уn) =limхn + limуn=b + c n→∞ n→∞n→∞ 2)Предел произведения равен произведению пределов: lim(хn· уn) =limхn ∙ limуn=b·c n→∞n→∞n→∞ 3)Предел частного равен частному пределов: lim(хn:уn) = limхn : limуn = b:c n→∞n→∞n→∞ 4)Постоянный множитель можно вынести за знак предела: lim(k· хn) = k · limхn = k∙b n→∞n→∞

• 
  Слайд 18

  Примеры вычисления пределов

  Пример 1. Вычислить Решение. Делим числитель и знаменатель дроби почленно на наивысшую из имеющихся степень переменной x, т.е. на x5.

• 
  Слайд 19
  

  Пример 2. Вычислить Решение. Делим числитель и знаменатель дроби почленно на наивысшую из имеющихся степень переменной x т.е. на x4.

• 
  Слайд 20
  

  Пример 3. Вычислить Решение. Делим числитель и знаменатель дроби почленно на наивысшую из имеющихся степень переменной x, т.е. на x6. (не существует)

• 
  Слайд 21

  Правила вычисления пределов

  1. Если старшая степень числителя и знаменателя совпадают, то предел такого вида всегда будет равен отношению коэффициентов при старших степенях переменной.

• 
  Слайд 22
  

  2. Если степень знаменателя выше степени числителя, то предел такого вида равен нулю.

• 
  Слайд 23
  

  3. Если же старшая степень числителя выше степени знаменателя, то, очевидно, все слагаемые знаменателя в пределе будут равны нулю, это означает, что предел не существует.

• 
  Слайд 24
  

  1. 2. 3. 4. Вычислите самостоятельно пределы функций на бесконечности:

• 
  Слайд 25

  Методика вычисления пределов в точке

  Если функция существует в точке x = a, то ее предел равен f(a). Пример 1.Вычислить Решение.Подставим вместо x число 3 (т.к. x3) и применим правила вычисления пределов. Примеры вычисления пределов

• 
  Слайд 26
  

  Пример 2.Вычислить Решение. Пример 3.Вычислить Решение. Примеры вычисления пределов

• 
  Слайд 27

  Методика вычисления пределов в точке

  Если же функция в точке х = а не существует, в знаменателе дроби ноль, то вычисляем значение числителя в этой точке. 1. 2. 3.

• 
  Слайд 28
  

  Пример 1.Вычислить Решение.Подставим вместо x число 2 (т.к. x2) и применим правила вычисления пределов. Примеры вычисления пределов

• 
  Слайд 29
  

  Пример 2.Вычислить Решение.Подставим вместо x число 2 (т.к. x2) и применим правила вычисления пределов. Примеры вычисления пределов

• 
  Слайд 30
  

  Пример 3.Вычислить Решение.Подставим вместо x число 3 (т.к. x3) и применим правила вычисления пределов. Примеры вычисления пределов

• 
  Слайд 31

  Методика вычисления пределов в точке

  Если и в знаменателе и в числителе нули, то, говорят, имеем неопределенность вида . Методика раскрытия таких неопределенностей проста. Если числитель и знаменатель дробно-рациональной функции при х = а, то разложение на множители и числителя и знаменателя обязательно содержат сомножитель (х – а), на который дробь будет сокращена. Покажем на примере.  

• 
  Слайд 32

  Примеры вычисления пределов

  Пример 1.Вычислить выяснили, что при х = 1 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида Решение. Выяснили, что при х = 1 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида , раскладываем числитель и знаменатель на множители, используя известную школьную методику разложения квадратного трехчлена на линейные множители  

• 
  Слайд 33
  

  Пример 2.Вычислить выяснили, что при х = 1 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида Решение. Выяснили, что при х = 2 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида , раскладываем числитель и знаменатель на множители, используя известную школьную методику разложения квадратного трехчлена на линейные множители  

• 
  Слайд 34
  

  Пример 3.Вычислить Решение. Выяснили, что при х = 2 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида , воспользуемся формулами сокращенного умножения ,   Активно используйте формулы сокращенного умножения

• 
  Слайд 35

  Следующие пределы вычислите самостоятельно

  1. 2. 4. 6. 7. 8.

• 
  Слайд 36

  Ответы

  1. 2. 4. 6. 7. 8.