Презентация на тему "Решение задач на проценты"

Содержание

• 
  Слайд 1
  

  Решение задач на проценты

• 
  Слайд 2
  

  Основные типы задач на проценты. 1. Одна величина больше (меньше) другой на р%. Еслиa больше b на p%, то a=b+0,01pb=b(1+0,01p). Если a меньше b на p%, то a=b-0,01pb=b(1-0,01p). Пример. На сколько процентов надо увеличить число 90, чтобы получилось 120? Решение: a=120, b=90, p-? 120=90+0,01p*90, 120=90(1+0,01p), 1+0,01p=4/3, 0,01p=1/3, p=100/3. Ответ:100/3%.

• 
  Слайд 3
  

  2. Величина увеличивается (уменьшается) на р%. Если aувеличили на p%, то новое значение равно: a(1+0,01p). Пример. Увеличить число 60 на 20%. 60+60*0,2=72 или 60(1+0,2)=72. Если aуменьшили на p%, то новое значение равно: a(1-0,01p). Пример. Число 72 уменьшить на 20%. 72-72*0,2=57,6 или 72(1-0,2)=57,6.

• 
  Слайд 4
  

  Увеличили число a на p%, а затем полученное уменьшили на p%. a(1+0,01p); a(1+0,01p)(1-0,01p)=a(1-(0,01p)²). (*) Пример. Цену товара снизили на 30%, а затем новую цену повысили на 30%. Как изменилась цена товара? Решение. Пусть первоначальная цена товара a, тогда a-0,3a=0,7a - цена товара после снижения, 0,7a+0,7a*0,3=0,91a – новая цена. 1-0,91=0,09 или 9%. Используя формулу (*), получим: а(1-0,3²)=0,91а. Ответ :цена снизилась на 9%.  

• 
  Слайд 5
  

  Задача 1. Цена товара была повышена на 12%. На сколько процентов надо снизить новую цену, чтобы получить первоначальную? Решение. a - первоначальная цена, p - процентные снижения. a+0,12a=1,12a – цена после повышения , 1,12a-1,12a*0,01p – цена после снижения. По условию 1,12a-1,12a*0,01p=a, 1,12(1-0,01p)=1, p=10 5/7 Ответ: 10 5/7%

• 
  Слайд 6
  

  3.Формула сложных процентов. Если при вычислении процентов на каждом следующем шаге исходят от величины, полученной на предыдущем шаге, то говорят о начислении сложных процентов (процентов на проценты). В этом случае применяется формула сложных процентов: b=a(1+0,01p)n , гдеa– первоначальное значение величины, b – новое значение величины, p – количество процентов, n – количество промежутков времени. Если изменения происходят на разное число процентов, то формула выглядит так b=a(1±0,01p1)(1±0,01p2)…(1±0,01pn)

• 
  Слайд 7
  

  Задача 1. Цена товара была повышена на 12%. На сколько процентов надо снизить новую цену, чтобы получить первоначальную? Решение. b=a(1±0,01p1)(1±0,01p2) a - первоначальная цена, p - процентные снижения. a(1+0,12)(1-0,01p)=a, 1,12(1-0,01p)=1, p=10 5/7 Ответ: 10 5/7%

• 
  Слайд 8
  

  Задача 2. Зарплату рабочему повысили сначала на 10%, а через год еще на 20%. На сколько процентов повысилась зарплата по сравнению с первоначальной? Решение. Пусть зарплата рабочего была x, тогда b=x(1+0,1)(1+0,2)=1,32x 1,32x-x=0,32x Значит, зарплата повысилась на 32%. Ответ: на 32%

• 
  Слайд 9
  

  Задача 3. Выпуск продукции завода за 4 года увеличился в16 раз. На сколько процентов в среднем увеличивался выпуск продукции за каждый год по сравнению с предыдущим годом? Решение. Пусть x – искомое число процентов, a –первоначальное количество продукции. a(1+0,01x)4=16a, (1+0,01x)4=16, 1+0,01x=2, 0,01x=1, x=100. Ответ: на 100%.

• 
  Слайд 10
  

  Задача 4. Число рыб в заливе сократилось на 30%, а затем три года увеличивалось на 25%, 35%, 40%. В итоге число рыб достигло 132 300 рыб. Сколько рыб было в заливе? Решение. Пусть x первоначальное количество рыб в заливе. x(1-0,3)(1+0,25)(1+0,35)(1+0,4)=132 300, x*0,7*1,25*1,35*1,4=132 300, x=80 000. Значит, первоначальное количество рыб в заливе равно 80000. Ответ: 80 000 рыб.

• 
  Слайд 11
  

  Задача 5. Зонт стоил 360р. В ноябре цена зонта была снижена на 15%, а в декабре еще на 10%. Какой стала стоимость зонта в декабре? Решение. Применим формулу сложных процентов. b=360* (1-0,15)(1-0,1)= 360*0,85*0,9=275,4(р.) Значит, стоимость зонта в декабре –275р. 40к. Дополнительный вопрос. На сколько процентов по отношению к первоначальной цене подешевел зонт? Решение. 275,4:360=0,235 или 23,5% Ответ:275р. 40к., 23,5%

• 
  Слайд 12
  

  4. Банковские операции. Простые проценты. Увеличение вклада S0 по схеме простых процентов характеризуется тем, что суммы процентов в течение всего срока хранения определяются исходя только из первоначальной суммы вклада S0независимо от срока хранения и количества начисления процентов. Sп= Sо (1+0,01pn) Сложные проценты. Если вкладчик не снимает со счета сумму начисленных процентов, то эта сумма присоединяется к основному вкладу, я в конце следующего года банк будет начислять р% уже на новую, увеличенную сумму. Это означает, что банк станет теперь начислять проценты не только на вклад S0 , но и на проценты, которые на него полагаются. Sп= Sо (1+0,01p)n

• 
  Слайд 13
  

  Задача 6. Банк выплачивает вкладчикам каждый год 8% от внесенной суммы. Клиент сделал вклад в размере 200 000р. Какая сумма будет на его счете через 5 лет, через10 лет? Решение. Используем формулу: Sn= Sо (1+0,01pn) S5= 20 000(1+0,08*5)=280 000(р.) S10=20 000(1+0,08*10)=360 000(р.) Ответ:280 000р.; 360 000р.

• 
  Слайд 14
  

  Задача 7. При какой процентной ставке вклад на сумму 500р. Возрастет за 6 месяцев до 650р.? Решение. Sn= Sо (1+0,01pn) 500(1+0,01p*6)=650, 0,01p*6=650:500-1, 0,01p*6=0,3, p=0,3*100:6, p=5 Ответ: 5%.

• 
  Слайд 15
  

  Задача 8. При гашении кредита, клиент вносит ежемесячно 2 500 р. Оплата должна производиться до10 числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4% от суммы оплаты за месяц. Сколько придется заплатить клиенту банка, если он просрочит неделю? Решение. Sn= Sо (1+0,01pn) S7=2 500(1+0,04*7)=3 200(р.) Ответ: 3 200р.

• 
  Слайд 16
  

  Задача 9. Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2 000р. на вклад, годовой доход по которому составляет 12%, и решил в течение 6 лет не брать процентные начисления. Какая сумма будет лежать на его счете через 6 лет? Решение. Воспользуемся формулой сложных процентов Sn= Sо (1+0,01p)n S6=2 000(1+0,12)6=2 000*1,126=2 000*2 508,8=3 947,65(р.) Значит, через 6 лет на счету будет 3 947р. 65к. Ответ 3 947р. 65к.

• 
  Слайд 17
  

  Задача 10. По пенсионному вкладу банк выплачивает 10% годовых. По истечении каждого срока эти проценты капитализируются, т. е. начисленная сумма присоединяется к вкладу. На данный вид вклада был открыт счёт в 50000 рублей, который не пополнялся и с которого не снимали деньги в течении 3 лет. Какой доход был получен по истечении этого срока? Решение. Sn= Sо (1+0,01p)n S3=50 000(1+0,1)3=50 000*1,13=50 000*1,331= 66 550(р.) Ответ: 66 550р.

• 
  Слайд 18
  

  Задача 11. Для определения оптимального режима повышения цен социологи предложили фирме с 1 января повышать цену на один и тот же товар в двух магазинах двумя способами. В одном магазине – в начале каждого месяца (начиная с февраля) на2%, в другом – через каждые два месяца, в начале третьего (начиная с марта) на одно и то же число процентов, причем такое, чтобы через пол года (1 июля) цены снова стали одинаковыми. На сколько процентов надо повышать цену товара через каждые два месяца во втором магазине? Решение. Sо =x, Sn=x(1+0,02)6 – для первого магазина, Sn=x(1+0,01p)3 – для второго магазина, x(1+0,02)6= x(1+0,01p)3 , 1,022=1+0,01p, p=4,04 Ответ: 4,04

• 
  Слайд 19
  

  5. Задачи на смеси, растворы, сплавы. Формулы для расчета концентрации смеси (сплава) n=mв / mр, где n- концентрация, mв – масса вещества в растворе, mр- масса всего раствора. n= (n1m1+n2m2+..nкmк)/m

• 
  Слайд 20
  

  Задача 13. В бидон налили 7 литров молока трёхпроцентной жирности и 3 литра шестипроцентной жирности. Какова жирность полученного молока? Решение. n=(7*3+3*6):10=(21+18):10=3,9 Ответ: 3,9%

• 
  Слайд 21
  

  Задача 14. Сколько граммов 30%-го раствора надо добавить к 80 г 12%-го раствора этой же соли, чтобы получить 20%-й раствор соли? Решение. Пусть надо добавить x г 30%-го раствора, тогда (30x+12*80) : (80+x)=20, 30x+960=20x+1600, 10x=640, x=64 Значит, надо добавить 64г. Ответ:64г.

• 
  Слайд 22
  

  Задача 15. Если смешать8 кг и 2 кг растворов серной кислоты разной концентрации, то получим 12%-й раствор кислоты. При смешивании двух одинаковых масс тех же растворов получим 15%-й раствор. Определите первоначальную концентрацию каждого раствора. Решение. Пусть концентрация впервом растворе x%, а во втором – y%, (8x+2y) : 10=12, 8x+2y=120, 4x+y=60 Пусть возьмем по 1кг каждого раствора, тогда ( x+y):2= 15, x+y=30  4x+y=60, x+y=30 x=10, y=20 Ответ: 10%, 20%  

• 
  Слайд 23
  

  Задача 16. Во втором круге футбольного чемпионата команда «Зубило» увеличила по сравнению с первым кругом количество забитых голов на 65%, а команда «Метеор» на 40%. В итоге общее количество голов возросло в 1,5 раза. Сколько процентов от общего количества голов, забитых обеими командами в первом круге, составили голы «Метеора» ? Решение. Пусть x – доля голов, забитых «Метеором», а (1-x) – «Зубило», тогда Значит, голы «Метеора» составили 60%. Ответ: 60%

• 
  Слайд 24
  

  Спасибо за внимание