Презентация на тему "Теорема Виета" 8 класс

Содержание

• 
  Слайд 1

  Теорема Виета

  Подготовил учитель математики 34 школы Белгорода Василисин С.В.

• 
  Слайд 2
  

  В математике существуют специальные приемы, с которыми многие квадратные уравнения решаются очень быстро и без всяких дискриминантов. Более того, при надлежащей тренировке многие начинают решать квадратные уравнения устно, буквально «с первого взгляда».

• 
  Слайд 3
  

  Квадратное уравнение вида x2 + bx + c = 0 называется приведенным. Обратите внимание: коэффициент при x2 равен 1. Никаких других ограничений на коэффициенты не накладывается.Примеры:x2 + 7x + 12 = 0 — это приведенное квадратное уравнение;x2 − 5x + 6 = 0 — тоже приведенное;2x2 − 6x + 8 = 0 — а вот это не приведенное, поскольку коэффициент при x2 равен 2.Разумеется, любое квадратное уравнение вида ax2 + bx + c = 0 можно сделать приведенным — достаточно разделить все коэффициенты на число a. Мы всегда можем так поступить, поскольку из определения квадратного уравнения следует, что a ≠ 0.Правда, далеко не всегда эти преобразования будут полезны для отыскания корней. Чуть ниже мы убедимся, что делать это надо лишь тогда, когда в итоговом приведенном квадратом уравнении все коэффициенты будут целочисленными. А пока рассмотрим простейшие примеры:

• 
  Слайд 4
  

  Задача. Преобразовать квадратное уравнение в приведенное:3x2 − 12x + 18 = 0;−4x2 + 32x + 16 = 0;1,5x2 + 7,5x + 3 = 0;2x2 + 7x − 11 = 0

• 
  Слайд 5
  

  Разделим каждое уравнение на коэффициент при переменной x2. Получим: 3x2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x2 − 4x + 6 = 0 — разделили все на 3; −4x2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x2 − 8x − 4 = 0 — разделили на −4; 1,5x2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x2 + 5x + 2 = 0 — разделили на 1,5, все коэффициенты стали целочисленными; 2x2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x2 + 3,5x − 5,5 = 0 — разделили на 2. При этом возникли дробные коэффициенты.

• 
  Слайд 6
  

  Как видите, приведенные квадратные уравнения могут иметь целые коэффициенты даже в том случае, когда исходное уравнение содержало дроби.Теперь сформулируем основную теорему, для которой, собственно, и вводилось понятие приведенного квадратного уравнения:

• 
  Слайд 7
  

  Теорема Виета. Рассмотрим приведенное квадратное уравнение вида x2 + bx + c = 0. Предположим, что это уравнение имеет действительные корни x1 и x2. В этом случае верны следующие утверждения: x1 + x2 = −b. Другими словами, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при переменной x, взятому с противоположным знаком; x1 · x2 = c. Произведение корней квадратного уравнения равно свободному коэффициенту.

• 
  Слайд 8
  

  Примеры. Для простоты будем рассматривать только приведенные квадратные уравнения, не требующие дополнительных преобразований: x2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−9) = 9; x1 · x2 = 20; корни: x1 = 4; x2 = 5; x2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x1 + x2 = −2; x1 · x2 = −15; корни: x1 = 3; x2 = −5; x2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1 · x2 = 4; корни: x1 = −1; x2 = −4.

• 
  Слайд 9
  

  Теорема Виета дает нам дополнительную информацию о корнях квадратного уравнения. На первый взгляд это может показаться сложным, но даже при минимальной тренировке вы научитесь «видеть» корни и буквально угадывать их за считанные секунды.

  Задача. Решите квадратное уравнение: x2 − 9x + 14 = 0; x2 − 12x + 27 = 0; 3x2 + 33x + 30 = 0; −7x2 + 77x − 210 = 0.

• 
  Слайд 10
  

  Попробуем выписать коэффициенты по теореме Виета и «угадать» корни: x2 − 9x + 14 = 0 — это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета имеем: x1 + x2 = −(−9) = 9; x1 · x2 = 14. Несложно заметить, что корни — числа 2 и 7; x2 − 12x + 27 = 0 — тоже приведенное. По теореме Виета: x1 + x2 = −(−12) = 12; x1 · x2 = 27. Отсюда корни: 3 и 9; 3x2 + 33x + 30 = 0 — это уравнение не является приведенным. Но мы это сейчас исправим, разделив обе стороны уравнения на коэффициент a = 3. Получим: x2 + 11x + 10 = 0. Решаем по теореме Виета: x1 + x2 = −11; x1 · x2 = 10 ⇒ корни: −10 и −1; −7x2 + 77x − 210 = 0 — снова коэффициент при x2 не равен 1, т.е. уравнение не приведенное. Делим все на число a = −7. Получим: x2 − 11x + 30 = 0. По теореме Виета: x1 + x2 = −(−11) = 11; x1 · x2 = 30; из этих уравнений легко угадать корни: 5 и 6.

• 
  Слайд 11
  

  Разумеется, во всех размышлениях мы исходили из двух важных предположений, которые, вообще говоря, не всегда выполняются в реальных задачах: Квадратное уравнение является приведенным, т.е. коэффициент при x2 равен 1; Уравнение имеет два различных корня. С точки зрения алгебры, в этом случае дискриминант D > 0 — по сути, мы изначально предполагаем, что это неравенство верно.

• 
  Слайд 12
  

  Таким образом, общая схема решения квадратных уравнений по теореме Виета выглядит следующим образом: Свести квадратное уравнение к приведенному, если это еще не сделано в условии задачи; Если коэффициенты в приведенном квадратном уравнении получились дробными, решаем через дискриминант. Можно даже вернуться к исходному уравнению, чтобы работать с более «удобными» числами; В случае с целочисленными коэффициентами решаем уравнение по теореме Виета; Если в течение нескольких секунд не получилось угадать корни, забиваем на теорему Виета и решаем через дискриминант.

• 
  Слайд 13
  

  Задача. Решите уравнение: 5x2 − 35x + 50 = 0. Итак, перед нами уравнение, которое не является приведенным, т.к. коэффициент a = 5. Разделим все на 5, получим: x2 − 7x + 10 = 0. Все коэффициенты квадратного уравнения целочисленные — попробуем решить по теореме Виета. Имеем: x1 + x2 = −(−7) = 7; x1 · x2 = 10. В данном случае корни угадываются легко — это 2 и 5. Считать через дискриминант не надо.

• 
  Слайд 14
  

  Задача. Решите уравнение: −5x2 + 8x − 2,4 = 0. Смотрим: −5x2 + 8x − 2,4 = 0 — это уравнение не является приведенным, разделим обе стороны на коэффициент a = −5. Получим: x2 − 1,6x + 0,48 = 0 — уравнение с дробными коэффициентами. Лучше вернуться к исходному уравнению и считать через дискриминант: −5x2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 82 − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x1 = 1,2; x2 = 0,4.