Презентация на тему "Творческая работа по планиметрии " Вневписанная окружность"" 10 класс

Содержание

• 
  Слайд 1

  Вневписанная окружность

  Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать. Г. Галилей Автор: Ражева Анастасия , Ученица 10 «А» класс , ГБОУ лицей-интернат «ЦОД» Руководитель: Каткова Г.Г..

• 
  Слайд 2

  Содержание

  История треугольника и вневписанной окружности. Задачи , приводящие к понятию вневписанной окружности Вневписанная окружность ,ее свойства и ее связь с основными элементами треугольника Применение вневписанной окружности и ее свойств к решению задач Заключение

• 
  Слайд 3

  История треугольника

  Простейший из многоугольников — треугольник — играет в геометрии особую роль. За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о «геометрии треугольника» как о самостоятельном разделе элементарной геометрии. Первые упоминания о треугольнике и его свойствах можно найти в египетских папирусах, которым более 4000 лет. Через 2000 лет в Древней Греции изучение свойств треугольника достигает высокого уровня — достаточно вспомнить теорему Пифагора и формулу Герона. Центральное место в геометрии треугольника занимают свойства так называемых замечательных точек и линий.

• 
  Слайд 4

  Вневписанная окружность

  Задача: вписать в данный треугольник окружность –имеет единственное решение. Изменим условие: построить окружность , касающуюся трех различных прямых АВ, ВС, АС- и однозначность решения пропадет.

• 
  Слайд 5
  

  В итоге получаем четыре окружности с центрами О, Оа, Ob, Oc, касающиеся трех данных несовпадающих прямых. При этом одна из них будет вписанной в треугольник окружностью, а три других — вневписанными окружностями.

• 
  Слайд 6
  

  Определение. Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из его сторон и продолжений двух других. Для каждого треугольника существует три вневписанных окружности, которые расположены вне треугольника, почему они и получили название вневписанных.

• 
  Слайд 7
  

  Центрамивневписанных окружностей являются точки пересечения биссектрис внешних углов треугольника. Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах. Шесть биссектрис треугольника — три внутренние и три внешние — пересекаются по три в четырех точках — центрах вписанной и трех вневписанных окружностей. Радиусомвневписанной окружности является отрезок перпендикуляра, проведенного из центра окружности к какой-либо стороне треугольника или ее продолжению.

• 
  Слайд 8
  

  Свойства вневписанной окружности и ее связь с основными элементами треугольника

  Теорема. Пусть K1 - точка касания вневписанной окружности с продолжением стороны АС треугольника АВС. Тогда длина отрезка AK1 равна полупериметру треугольника АВС.

• 
  Слайд 9
  

  Доказательство: 1) Пусть точки К2и К3 — точки касания вневписанной окружности с прямыми АВ и ВС соответственно. 2) СК1 = СК3, ВК2 = ВК3, АК1 = АК2 ( по свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки). 3) Р = АС + СВ + АВ = = АС + СК3 + ВК3 + АВ = = АС + СК1 + ВК2 + АВ = = АК1 + АК2 = 2АК1 Значит, АК1 = Р : 2

• 
  Слайд 10

  Основные обозначения

  a, b, c— длины сторон BC,CA и AB; α, β, γ- величины углов при вершинах A, B, C; p — полупериметр; R— радиус описанной окружности; r— радиус вписанной окружности;

• 
  Слайд 11
  

  Соотношения между радиусами вписанной, описанной и вневписанной окружностей

• 
  Слайд 12

  Формулы , выражающие связь с основными элементами треугольника

• 
  Слайд 13

  Решение задач

  Задача 1. Две непересекающиеся окружности с радиусами R1 и R2 касаются стороны прямого угла с вершиной A. Общая внутренняя касательная с окружностями пересекает стороны угла в точках B и C. Найти площадь треугольника ABC. Решение: так как обе окружности касаются сторон угла, то одна из них будет вписанной в треугольник ABC, а другая вневписанной. Пусть R1 ∝ R2, где R1и R2 – соответственно радиусы вписанной и вневписанной окружностей (рис. 1). Если O – центр вневписанной окружности, а точки K и M – её точки касания со сторонами угла A, легко доказать, что AKOM – квадрат со стороной R2. По теореме 2 . Но так как AK = R2, то p – R2. А R1= . Отсюда следует, S = R1 x p, S = R1 x R2. Ответ: S = R1 x R2. A C B K M O Рис. 1

• 
  Слайд 14
  

  Решение задач Задача 2. К двум непересекающимся окружностям проведены две общие внешние касательные и общая внутренняя касательная. Докажите, что отрезок внутренней касательной, заключенный между внешними касательными, равен отрезку внешней касательной, заключенному между точками касания. Решение: Пусть даны две окружности. Точки касания окружностей с первой внешней касательной – А и В, со второй – С и D(рис. 2). Внутренняя касательная пересекает внешние в точках M и N. Продолжим прямые АВ и СD. До их пересечение в точке К. Тогда окружность с центром O2является вписанной в треугольник MNK, а окружность с центром O1 – вневписанной. Обозначим сторону MN треугольника MNK – a и его периметр – p. Тогда (по т.2) AK=p и BK=p-a. Значит, AB=a, то есть AB=MN. Аналогично CD=MN. C N A M D K O1 O2 Рис. 2

• 
  Слайд 15

  Решение задач

  Задача 3. В равнобедренном треугольнике с основанием 12 вписана окружность, к ней проведены три касательные так, что они отсекают от данного треугольника три малых треугольника. Сумма периметра малы треугольников равна 48. Найдите боковую сторону данного треугольника. Решение: Окружность с центром О – вневписанная окружность треугольников EAL, BKF и PDC. По теореме 2: AM = , BM = , BQ = , QC= , CN = , AN = . Из этого следует, что P = . Значит, AB = Ответ: 18. O C P D N L E M K F B Q A Рис. 3

• 
  Слайд 16

  Задача из журнала «Квант»

  Задача: Докажите, что середина высоты треугольника, центр вписанной в него окружности и точка касания стороны, на которую опущена высота, с соответствующей вневписанной окружностью лежат на одной прямой. А D H C K M Q B I F Рис. 4

• 
  Слайд 17

  Задача из журнала «Квант»

  Решение: Рассмотрим треугольник АВС, в котором АН – высота, точка D – её середина, точки I и Q – центры вписанной и вневписанной ( касающейся стороны ВС) окружностей соответственно, К и М – точки касания этих окружностей со стороной ВС (рис. 4). Проведем KF – диаметр вписанной окружности, тогда точки A, F и M лежат на одной прямой. Так как KF || AH, то медиана MD треугольника AMH проходит через середину отрезка KF, то есть содержит точку I.

• 
  Слайд 18
  

  Задача из ГИА

• 
  Слайд 19

  Решение задач

  Задача . Дан треугольник АВС со сторонами а, в, с. Найти длину отрезков, на которые делятся стороны треугольника точками касания вневписанных окружностей. Решение. ПустьAQ=y. Тогда AS=y,QC=CT=b-y,BS=BT, а поэтому c+y=a+(b-y), Аналогично можно вычислить и длины других отрезков.

• 
  Слайд 20

  Заключение

  Геометрия начинается с треугольника, а треугольник неисчерпаем. Две с половиной тысячи лет постоянно открываются его новые свойства. К сожалению, в школьной программе вневписанной окружности уделяется незначительное время и внимание, но при более подробном знакомстве можно увидеть в ней скрытую красоту и силу, можно рассматривать её как подспорье в решении геометрических задач.

• 
  Слайд 21

  Литература

  http://rgp.nm.ru/knigi/kulanin5.html http://www.geometr.info/geometriia/treug/radiusy.html http://schools.techno.ru/sch758/aishat/bis.htm АтанасянЛ.С., БутузовВ.Ф., КадомцевС.Б., КиселеваЛ.С., ПознякЭ.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы, 9 издание.- М.: Просвещение, 2000. Биссектрисы вписанной и вневписанной окружности треугольника // Квант №7, 1987. Гнеденко Б.В. Энциклопедический словарь юного математика. - М.: «Педагогика», 1989. Гохидзе М. Г. Вневписанная окружность // Математика в школе №3, 1989. Гохидзе М. Г. О вневписанной окружности и задачах по стереометрии.// Математика в школе №5, 1987. О свойствах центра вневписанной окружности // Квант №2, 2001. Шарыгин Н. Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач. Учеб. пособие для 11 кл. сред. шк. - М.: Просвещение,1991.-С.138-140.