Презентация на тему "Введение в теорию пределов"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Введение в теорию пределов

• 
  Слайд 2

  Последовательность

  Опр. Числовой последовательностью называется функция , заданная на множестве N натуральных чисел. Кратко обозначается - общий или n- ый член последовательности Примеры:

• 
  Слайд 3

  Предел последовательности

  Числоназывается пределом последовательности если для любого положительного числа найдётся такое натуральное число N, что при всех n > N выполняется неравенство

• 
  Слайд 4

  Предел функции в точке

  Определение Коши (в терминах ) Число А называется пределом функции в точке (при ), если для любого найдётся число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство

• 
  Слайд 5

  Односторонние пределы

  Число называется пределом функции в точке слева, если для любого существует , что при выполняется неравенство Число называется пределом функции в точке справа, если для любого существует , что при выполняется неравенство

• 
  Слайд 6

  Предел функции в бесконечности

  Число А называется пределом функции при , если для любого существует такое число М>0, что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство

• 
  Слайд 7

  Бесконечно большая функция

  Функция называется бесконечно большой при , если для любого числа М>0 существует , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство

• 
  Слайд 8

  Бесконечно малая функция (величина)

  Функция называется бесконечно малой при , если (б.м.величина) Величина обратная б.м.ф. есть б.б.ф: если - б.м.ф. ( ), то - б.б.ф, Величина обратная б.б.ф. есть б.м.ф.: если - б.б.ф. ( ) , то - б.м.ф

• 
  Слайд 9

  Теоремы о бесконечно малых

  Пусть и - бесконечно малые функции , – ограниченная функция. Тогда… 1. Сумма (разность) б.м.ф. есть б.м.ф.: 2. Произведение б.м.ф. есть б.м.ф.: 3.Произведение б.м.ф. и ограниченной есть б.м.ф. 4. Частное б.м.ф. и функции

• 
  Слайд 10

  Связь между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией

• 
  Слайд 11

  Основные теоремы о пределах

  Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов: Предел произведения двух функций равен произведению их пределов: Постоянный множитель можно выносить за знак предела: Функция может иметь только один предел при

• 
  Слайд 12
  

  Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: Предел дроби равен пределу числителя, делённому на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

• 
  Слайд 13

  Признаки существования пределов

  Теорема о пределе промежуточной функции. Если функция заключена между двумя функциями, стремящимися к одному и тому же пределу, то она стремится к этому пределу. Теорема о пределе монотонной функции. Если функция монотонная и ограниченная при , то существует соответственно её левый предел или её правый предел

• 
  Слайд 14

  Замечательные пределы

  I ЗП (первый замечательный предел) II ЗП (второй замечательный предел) или

• 
  Слайд 15

  Эквивалентные бесконечно малые

• 
  Слайд 16

  Применение эквивалентных б.м. для вычисления пределов функций

  Т. При вычислении предела функции можно бесконечно малую функцию заменить на ей эквивалентную.

• 
  Слайд 17

  Правило Лопиталя

  При раскрытии неопределённости вида редел отношений функций равен пределу отношений производных этих функций.