Презентация на тему "Задания на симметрию"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Центральная симметрия

  Точки A и A' пространства называютсясимметричными относительно точкиO, называемойцентром симметрии,если O является серединой отрезка AA'. Точка O считается симметричной сама себе. Фигура Ф в пространстве называетсяцентрально-симметричнойотносительно точки O, если каждая точка A фигуры Ф симметрична относительно точки O некоторой точке A' фигуры Ф. Например, прямоугольный параллелепипед центрально-симметричен относительно точки пересечения его диагоналей. Шар центрально-симметричен относительно своего центра и т. д. pptcloud.ru

• 
  Слайд 2

  Осевая симметрия

  Точки A и A' пространства называютсясимметричными относительно прямойa, называемойосью симметрии, если прямая a проходит через середину отрезка AA' и перпендикулярна этому отрезку. Точки прямой a считаются симметричными сами себе. Фигура Ф в пространстве называетсясимметричной относительно осиa, если каждая точка A фигуры Ф симметрична относительно этой оси некоторой точке A' фигуры Ф. Например, прямоугольный параллелепипед симметричен относительно оси, проходящей через центры противоположных граней, прямой круговой цилиндр симметричен относительно своей оси и т. д.

• 
  Слайд 3

  Зеркальная симметрия

  Точки A и A' в пространстве называютсясимметричными относительно плоскостиα, называемойплоскостью симметрии, если эта плоскость проходит через середину отрезка AA' и перпендикулярна к нему. Точки плоскости α считаются симметричными сами себе. Симметрия относительно плоскости называется такжезеркальной симметрией. Фигура Ф в пространстве называетсязеркально-симметричнойотносительно плоскости α, если каждая точка A фигуры Ф симметрична относительно этой плоскости некоторой точке A' фигуры Ф. Например, прямоугольный параллелепипед зеркально-симметричен относительно плоскости, проходящей через ось симметрии и параллельной одной из граней. Цилиндр зеркально-симметричен относительно любой плоскости, проходящей через его ось и т. д.

• 
  Слайд 4

  Симметрия n-го порядка

  Прямая a называетсяосью симметрии n-го порядкафигуры Ф, если при повороте фигуры Ф на угол вокруг прямой a фигура Ф совмещается сама с собой. Ясно, что ось симметрии 2-го порядка является просто осью симметрии. Например, в правильной n-угольной пирамиде прямая, проходящая через вершину и центр основания, является осью симметрии n-го порядка.

• 
  Слайд 5

  Упражнение 1

  Приведите примеры центрально-симметричных и не центрально-симметричных фигур. Ответ: Центрально-симметричные: куб, прямоугольный параллелепипед, шар и др.; не центрально-симметричные: пирамида, конус и др.

• 
  Слайд 6

  Упражнение 2

  Может ли центр симметрии фигуры не принадлежать ей? Ответ: Да.

• 
  Слайд 7

  Упражнение 3

  Может ли фигура иметь более одного центра симметрии? Ответ: Да, например, прямая, плоскость и т.д. имеют бесконечно много центров симметрии.

• 
  Слайд 8

  Упражнение 4

  Может ли фигура иметь ровно два центра симметрии? Ответ: Нет.Предположим, что фигура Ф имеет два центра симметрии O1и O2, и докажем, что в этом случае точка O3, симметричная точке O2относительно точки O1, также будет центром симметрии фигуры Ф. Пусть точка A принадлежит фигуре Ф. Тогда точка A1, симметричная точке A относительно точки O1, также принадлежит Ф. Аналогично, точка A2, симметричная точке A1относительно точки O2, принадлежит Ф. Наконец, точка A3, симметричная точке A2относительно точки O1, принадлежит Ф. Симметрия относительно точки O1переводит точки A1, A2, O2соответственно в точки A, A3, O3.Следовательно, точка A3будет симметрична точке A относительно точки O. Значит, каждая точка Aфигуры Ф симметрична относительно точки O3 некоторой точке A3 фигуры Ф, т.е. O3является центром симметрии фигуры Ф. Таким образом фигура не может иметь ровно два центра симметрии. Каждая фигура или не имеет центров симметрии, или имеет один центр симметрии, или имеет бесконечно много центров симметрии.

• 
  Слайд 9

  Упражнение 5

  Имеет ли центр симметрии: а) правильный тетраэдр; б) куб; в) октаэдр; г) икосаэдр; д) додекаэдр? Ответ: а) Нет; б) да; в) да; г) да; д) да.

• 
  Слайд 10

  Упражнение 6

  Имеет ли центр симметрии правильная пятиугольная призма? Ответ: Нет.

• 
  Слайд 11

  Упражнение 7

  Имеет ли центр симметрии правильная пятиугольная антипризма? Ответ: Да.

• 
  Слайд 12

  Упражнение 8

  Имеет ли центр симметрии: а) усеченный тетраэдр; б) усеченный куб; в) усеченный октаэдр; г) усеченный икосаэдр; д) усеченный додекаэдр? Ответ: а) Нет; б) да; в) да; г) да; д) да.

• 
  Слайд 13

  Упражнение 9

  Имеет ли центр симметрии: а) кубооктаэдр; б) икосододекаэдр? Ответ: а) Да; б) да.

• 
  Слайд 14

  Упражнение 10

  Имеет ли центр симметрии: а) усеченный кубооктаэдр; б) усеченный икосододекаэдр? Ответ: а) Да; б) да.

• 
  Слайд 15

  Упражнение 11

  Имеет ли центр симметрии: а) ромбокубооктаэдр; б) ромбоикосододекаэдр? Ответ: а) Да; б) да.

• 
  Слайд 16

  Упражнение 12

  Имеет ли центр симметрии: а) курносый куб; б) курносый додекаэдр? Ответ: а) Нет; б) нет.

• 
  Слайд 17

  Упражнение 13

  Сколько осей симметрии имеет прямоугольный параллелепипед, гранями которого не являются квадраты? Ответ: 3.

• 
  Слайд 18

  Упражнение 14

  Сколько осей симметрии имеет прямоугольный параллелепипед, две грани которого являются квадратами? Ответ: 5.

• 
  Слайд 19

  Упражнение 15

  Сколько осей симметрии имеет шар? Ответ: Бесконечно много.

• 
  Слайд 20

  Упражнение 16

  Приведите примеры пространственных фигур с осями симметрии 3-го, 4-го и т. д. порядков. Ответ: Правильные 3-угольные, 4-угольные пирамиды.

• 
  Слайд 21

  Упражнение 17

  Какие оси симметрии имеет правильная пятиугольная призма? Ответ: Пять осей симметрии второго порядка и одну ось симметрии пятого порядка.

• 
  Слайд 22

  Упражнение 18

  Какие оси симметрии имеет правильная пятиугольная антипризма? Ответ: Нет.

• 
  Слайд 23

  Упражнение 19

  Какие оси симметрии имеет тетраэдр? Ответ: 4 оси симметрии третьего порядка, проходящих через вершины и центры противоположных граней; 3 оси симметрии, проходящих через середины противоположных ребер.

• 
  Слайд 24

  Упражнение 20

  Какие оси симметрии имеет куб? Ответ: 4 оси симметрии третьего порядка, проходящих через противоположные вершины; 6 осей симметрии, проходящих через середины противоположных ребер; 3 оси симметрии четвертого порядка, проходящих через центры противоположных граней.

• 
  Слайд 25

  Упражнение 21

  Какие оси симметрии имеет октаэдр? Ответ: 3 оси симметрии четвертого порядка, проходящих через противоположные вершины; 6 осей симметрии, проходящих через середины противоположных ребер; 4 оси симметрии третьего порядка, проходящих через центры противоположных граней.

• 
  Слайд 26

  Упражнение 22

  Какие оси симметрии имеет икосаэдр? Ответ: 6 осей симметрии пятого порядка, проходящих через противоположные вершины; 15 осей симметрии, проходящих через середины противоположных ребер; 10 осей симметрии третьего порядка, проходящих через центры противоположных граней.

• 
  Слайд 27

  Упражнение 23

  Какие оси симметрии имеет додекаэдр? Ответ: 10 осей симметрии третьего порядка, проходящих через противоположные вершины; 15 осей симметрии, проходящих через середины противоположных ребер; 6 осей симметрии пятого порядка, проходящих через центры противоположных граней.

• 
  Слайд 28

  Упражнение 24

  Какие оси симметрии имеет кубооктаэдр? Ответ: 6 осей симметрии, проходящих через противоположные вершины; 4 оси симметрии третьего порядка, проходящих через центры противоположных треугольных граней; 3 оси симметрии четвертого порядка, проходящих через центры противоположных квадратных граней.

• 
  Слайд 29

  Упражнение 25

  Какие оси симметрии имеет икосододекаэдр? Ответ: 15 осей симметрии, проходящих через противоположные вершины; 10 осей симметрии третьего порядка, проходящих через центры противоположных треугольных граней; 6 осей симметрии пятого порядка, проходящих через центры противоположных пятиугольных граней.

• 
  Слайд 30

  Упражнение 26

  Приведите пример фигуры, имеющей центр симметрии, но не имеющей оси симметрии. Ответ: Наклонный параллелепипед.

• 
  Слайд 31

  Упражнение 27

  Приведите пример фигуры, имеющей ось симметрии, но не имеющей центра симметрии. Ответ: Правильная четырехугольная пирамида.

• 
  Слайд 32

  Упражнение 28

  Укажите центр, оси и плоскости симметрии фигуры, состоящей из двух пересекающихся прямых. Ответ: Центр симметрии – точка пересечения данных прямых. Оси симметрии – две прямые, содержащие биссектрисы углов, образованные данными прямыми, и прямая, проходящая через точку пересечения данных прямых и перпендикулярная их плоскости. Если данные прямые перпендикулярны, то сами они также являются осями симметрии. Плоскости симметрии: плоскость данных прямых и две плоскости, проходящие через биссектрисы углов, образованные данными прямыми и перпендикулярные их плоскости.

• 
  Слайд 33

  Упражнение 29

  Сколько плоскостей симметрии имеет прямоугольный параллелепипед, гранями которого не являются квадраты? Ответ: 3.

• 
  Слайд 34

  Упражнение 30

  Сколько плоскостей симметрии имеет правильная шестиугольная призма? Ответ:7.

• 
  Слайд 35

  Упражнение 31

  Сколько плоскостей симметрии имеет: а) правильный тетраэдр; б) куб; в) октаэдр; г) икосаэдр; д) додекаэдр? Ответ: а) 6; б) 9; в) 9; г) 15; д) 15.

• 
  Слайд 36

  Упражнение 32

  Сколько плоскостей симметрии имеет кубооктаэдр? Ответ: 9.

• 
  Слайд 37

  Упражнение 33

  Сколько плоскостей симметрии имеет икосододекаэдр? Ответ: 15.

• 
  Слайд 38

  Упражнение 34

  Приведите примеры пространственных фигур, у которых есть ось симметрии, но нет плоскости симметрии и, наоборот, есть плоскость симметрии, но нет оси симметрии. Ответ: Пирамида, в основании которой параллелограмм, может иметь ось симметрии, но не имеет плоскости симметрии. Правильная треугольная пирамида имеет плоскости симметрии, но не имеет осей симметрии.