Презентация на тему "Применение производных"

Содержание

• 
  Слайд 1

  Применение производных

  Лекция 6

• 
  Слайд 2

  Содержание

  1.Теоремы о дифференцируемых функциях. 2. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. 3.Убывание и возрастание функции. 4. Экстремумы. 5. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. 6. Асимптоты. 7. Общая схема исследования функции и построение графика.

• 
  Слайд 3

  Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

• 
  Слайд 4

  Теорема Ферма.

  a c b

• 
  Слайд 5

  Теорема Ролля.

• 
  Слайд 6

  Теорема Лагранжа.

• 
  Слайд 7

  Геометрическая интерпретация

  Из теоремы Лагранжа вытекает, что найдется точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна секущей, проходящей через точки (a, f(a))и (b, f(b)). a b f(a) f(b)

• 
  Слайд 8

  Правило Лопиталя

  Пусть в некоторой окрестности О точки функции дифференцируемы всюду, кроме быть может самой точки и пусть в О.

• 
  Слайд 9
  

  Если функции являются одновременно бесконечно малыми или бесконечно большими при и при этом существует предел отношения их производных, то существует и предел отношения самих функций, причем

• 
  Слайд 10

  Примеры.

  Правило применимо и в случае, когда 1. 2.

• 
  Слайд 11

  Примеры

  Найдем

• 
  Слайд 12

  Пример

  Найдем Прологарифмируем это выражение и найдем предел. Тогда

• 
  Слайд 13

  Убывающие и возрастающие функции

• 
  Слайд 14

  Теорема (Признак возрастания функции).

• 
  Слайд 15

  Теорема(Признак убывания функции).

• 
  Слайд 16

  Максимум и минимум функции

• 
  Слайд 17

  Экстремум функции

• 
  Слайд 18
  
• 
  Слайд 19

  Необходимое условие экстремума

  Теорема. Если дифференцируемая функция имеет в точке с экстремум, то ее производная обращается в нуль в этой точке.

• 
  Слайд 20

  Экстремум функции

• 
  Слайд 21

  Продолжение

  Кроме точек, где , экстремумы могут быть в точках, где производная не существует или равна бесконечности

• 
  Слайд 22

  Критические точки

• 
  Слайд 23
  
• 
  Слайд 24

  Теорема (Достаточное условие экстремума).

• 
  Слайд 25

  Найти экстремумы

  Приравняем производную к нулю: Проверим, меняет ли производная знаки при переходе через эти точки, для чего числовую ось разобьем точками 0 и 4/3 на интервалы (––∞, 0), (0, 4/3) и (4/3,∞ ) и найдем знаки у' в этих интервалах. В точке х = 0 имеем максимум, а в точке х = 4/3 – минимум. max y = 0,.

• 
  Слайд 26

  Выпуклость и вогнутость кривой

  y а b c x

• 
  Слайд 27

  Достаточное условие выпуклости

• 
  Слайд 28

  Правило дождя

  Легко запомнить, что там, где +, имеем вогнутость, а там, где – выпуклость. + --

• 
  Слайд 29

  Точка перегиба

• 
  Слайд 30

  Достаточное условие перегиба кривой

• 
  Слайд 31

  Продолжение

  y x

• 
  Слайд 32

  Асимптоты

  При исследовании формы кривой приходится исследовать характер изменения функции при неограниченном возрастании (по абсолютной величине) абсциссы или ординаты переменной точки кривой.

• 
  Слайд 33

  Асимптоты кривой

  y x L . M

• 
  Слайд 34

  Пример

  Функция у = в точках х = 2, очевидно, имеет бесконечный разрыв, поэтому прямые х = – 2 и х = 2 являются вертикальными асимптотами кривой у = .

• 
  Слайд 35

  Наклонные асимптоты

  Наклонные асимптоты задают уравнением у = kх + b, где угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый асимптотой на оси OY, ищут по формулам: 1) k = , b = ( f (x)– kx ) для правой асимптоты и 2) k = , b = ( f (x)– kx ) для левой асимптоты.

• 
  Слайд 36

  Общая схема исследования функции и построение графика

• 
  Слайд 37
  
• 
  Слайд 38