Презентация на тему ""Исследование функций и построение их графиков""

Содержание

• 
  Слайд 1

  Алгебра и начала математического анализа 11 класс

  «Исследование функций и построение их графиков»

• 
  Слайд 2
  

  Автор презентации: учитель математики МБОУ«Малошильнинская СОШ» Тукаевского района Республики Татарстан КиямоваФирузаМухамматовна

• 
  Слайд 3

  Алгоритм исследования функции

  Для исследования функции необходимопройти следующие этапы:

• 
  Слайд 4
  

  1. Находим область определения функции: D(f)=? Областью определения функции y=f(x),заданной аналитически, называют множество всех действительных значений независимой переменной х, для каждого из которых функция принимает действительные значения.

• 
  Слайд 5

  Находим область изменения функции:

  Областью изменения функции f(х) называют множество всех чисел f(х), соответствующих каждому х из области определения функции. Е(f)-?

• 
  Слайд 6
  

  2.Выясняем четность функции. Если f(-x)=f(x), то функция f(x)называется четной. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Если f(-x)=-f(x), то функция f(x)называется нечетной. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

• 
  Слайд 7

  3.Выясняем периодичность функции

  Если f(x+T)=f(x)при некотором T>0, то функция y=f(x)называется периодической. График периодической функции имеет одну и ту же форму на каждом из отрезков …, [-2T; -T], [-T; 0], [0; T], [T; 2T], … . Поэтому достаточно построить график на каком-нибудь одном таком отрезке и затем воспроизвести полученную кривую на остальных отрезках.

• 
  Слайд 8
  

  4. Находим точки максимума и минимума функции и интервалы возрастания и убывания (интервалы монотонности).

  Для этого: вычисляем производную f’(x) и находим критические точки функции, т.е. точки, в которых f’(x)=0или не существует; определяя знак производной, находим интервалы возрастания и убывания функции: если f’(x)>0, то функция возрастает, если f’(x)

• 
  Слайд 9

  5. Находим точки перегиба функции и интервалы выпуклостивверх/вниз.

  Для этого: вычисляем вторую производнуюf’’(x) и находим точки, принадлежащие области определения функции, в которых f''(x)=0 или не существует; определяя знак второй производной, находим интервалы выпуклости и вогнутости: если f’’(x)0, то график функции имеет выпуклость вниз; если вторая производная меняет знак при переходе через точку xo єD, в которой f''(x)=0 или не существует, то xo – точка перегиба.

• 
  Слайд 10

  6. Находим асимптоты функции.

  Вертикальные: находим односторонние пределы в граничных точках или . Если такие пределы существуют, то прямая х=а является вертикальной асимптотой графика функции у=f(x)  Наклонные асимптоты: Если выполняется условие lim (f(x) – (kx + b)) = 0, x   то прямая у = kx + b является асимптотой функции у = f(x) при x. Коэффициенты k и b можно найти следующим образом:   k = b = (f(x) - kx)  

• 
  Слайд 11

  7. Есть ли у функции промежутки, где она возрастает (убывает)?

  f’(x)> 0,функция возрастающая f’(x)

• 
  Слайд 12

  8. Есть ли у нее промежутки знакопостоянства?

  f’(x)= 0на промежутке, => функция f(х)постоянная на этом промежутке. Если в точке xo производная меняет знак c «+» на «-», то xo- точка локального максимума; Если в точке xo производная меняет знак с «-» на «+», то xo - точка локального минимума.

• 
  Слайд 13

  Пример

  у= х/х²-1 1. Знаменатель выражения х/(х2 – 1) обращается в нуль при х= -1 и при х = 1, поэтому D(f) = (-∞;-1)U(-1; 1) U (1; +∞). 2. Е(f) = R (видно из дальнейшего исследования) 3.f(-х) = -f(х) -функция нечетная. 4. Функция непериодическая. 5. Производная функции в области определения: f '(x) =( )'= - и f '(x) функция непрерывна и возрастает во всей области определения, точек локального экстремума нет. 6. f’’(x) = 2х(х² + 3)/( х²-1) ³ обращается в нуль в точке х=0  

• 
  Слайд 14

  Знак второй производной f’’(x)

  Вторая производная меняет знак только в одной точке х=0 => xo=0 – точка перегиба. На интервалах (-∞;-1) и(0;1) график функции имеет выпуклость вверх, а на интервалах (-1;0) и (1; +∞) - выпуклость вниз. Вычислим координаты нескольких точек:

• 
  Слайд 15

  График имеет вид

  .