Презентация на тему "Обобщённая теорема Фалеса.Деление отрезка на n равных частей."

Содержание

• 
  Слайд 1

  Обобщённая теорема Фалеса.Деление отрезка на n равных частей.

  Работу подготовила Ученица 9 класса «В» ГБОУ гимназии №1517 Горбач Екатерина

• 
  Слайд 2

  Теорема Фалеса

• 
  Слайд 3

  Формулировка:

  Параллельные прямые, пересекающие две другие прямые, отсекают на них пропорциональные отрезки. О А С D B a b a b m1 m2 m3

• 
  Слайд 4

  Случай 1

  Дано: a||b m1||m2||m3 m1 a = A m1b = D m2a = B m2b = E m3a = C m3b = F AB=BC DE AB BC EF = Доказать: m1 m2 m3 a b A B C D E F

• 
  Слайд 5

  Доказательство:

  1. Рассмотрим ABED: a||b (по усл) m1||m2 (по усл) m1 m2 m3 a b A B C D E F ABED – п/г (по опр) AB=DE (по св-вуп/г) 2. BCFE – п/г (док-во аналогично п.1) BC=EF(по св-вуп/г) 3. Из п.1 и 2 DE AB BC EF = Что и требовалось доказать

• 
  Слайд 6

  Случай 2

  Дано: O; AB || CD AB a=A AB b=B CD a=C CD b=D Доказать: О А С D B b a OA OB AC BD =

• 
  Слайд 7

  Доказательство:

  1.Доп. построение: AC1: A Є AC1и AС1 || BD BD CD=C1 О А С С1 D B b a

• 
  Слайд 8
  

  2. O= CAC1 – как соотв. углы (при AB || CD и OA – секущей) OAB= C – как соотв. углы (при AB || CD и OС – секущей) О А С С1 D B b a

• 
  Слайд 9
  

  ΔOAB = ΔACC1 (по 2 углам) ( по определению подобных треугольников) 3. AC1=BD, т.к BAC1D – п/г (по определению) О А С С1 D B b a AC OA OB AC1 = OB OA AC BD = Что и требовалось доказать

• 
  Слайд 10

  Деление отрезка на n равных частей

• 
  Слайд 11

  Дано:AB – отрезокРазделить отрезок AB на 3 равные части

• 
  Слайд 12

  Анализ построения:

  A B1 B2 B A2 A1 C A3 BAC A1B1 A2B2 A3B || || AB1 = B1B2 =B2B AA1 = A1A2 = A2A3

• 
  Слайд 13

  Построение:

  1. Отрезок AB 2. Луч AC; BAC 3. (A;R) AC=A1 (A1;R) AC=A2 (A2;R) AC=A3 AA1=A1A2=A2A3=R 4. BA3 - прямая 5. Через точки A1 и A2проводим m1||m2||BA3 m1AB=B1 m2 AB=B2 A m1 m2 B A2 A1 C A3 B1 B2 Таким образом, по теореме Фалеса: AB1=B1B2=B2B

• 
  Слайд 14
  

  А как разделить отрезок на n равных частей?

• 
  Слайд 15

  Задачи на разминку:

  Задача №1 Прямая CD параллельна к AB и пересекает угол BOA так, что O,B,D лежат на одной прямой, а также O,A,C лежат на одной прямой. Найдите длину CD, если AB=5, OB=3 и OD=12. Ответ: 20 Задача №2 Прямая CD параллельна к AB и пересекает угол BOA так, что O,B,D лежат на одной прямой, а O,A,C лежат на другой прямой. Найдите длину ОC, если OA=2, OB=5 и OD=15. Ответ: 6

• 
  Слайд 16
  

  Задача №3 Прямая CD параллельна к AB и пересекает угол BOA так, что O,B,D лежат на одной прямой, и O,A,C лежат также на одной прямой. Определите длину OB, если OA=2, AC=4 и BD=6. Ответ: 3 Задача №4 Прямая CD параллельна к AB и пересекает угол BOA так, что O,B,D лежат на одной прямой, но и O,A,C лежат на одной прямой. Определите длину BD, если AB=6, CD=8 и OB=12. Ответ: 4

• 
  Слайд 17

  Задача №1

  Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и K являются серединами боковых сторон. Докажите, что отрезок MK пересекает диагональ AC в ее середине.

• 
  Слайд 18

  Дано:

  ABCD – трапеция BC и AD – основания M Є AB; AM=MB K Є CD; CK=KD MK AC=O Доказать: AO=OC A M B C K D O

• 
  Слайд 19

  Решение:

  1. AМ=MB (по усл)  CK=KD (по усл) A M B C K D O MK – средняя линия (по опр) MK || BC || AD (по св-ву средней линии)

• 
  Слайд 20
  

  2. По теореме Фалеса: OC AO AM MB = AМ=MB (по усл) AO=OC A M B C K D O Что и требовалось доказать

• 
  Слайд 21

  Задача №2

  Боковая сторона трапеции разделена на три равные части, и из точек деления проведены к другой стороне отрезки, параллельные основаниям. Найдите длины этих отрезков, если основания трапеции равны 2 и 5.

• 
  Слайд 22

  Дано:

  ABCD – трапеция M Є AB; K Є AB BM=NK=KA N Є CD; P Є CD MN||KP||BC||AD BC=2; AD=5 Найти: MN и KP A K M B C N P D

• 
  Слайд 23

  Решение:

  1. По теореме Фалеса CN=NP=PD 2. Рассмотрим KBCP – трапеция (по опр) BM=MK (по усл) CN=NP (по п.1) A K M B C N P D MN – средняя линия (по опр) MN=½ (KP+BC)

• 
  Слайд 24
  

  3. Рассмотрим AMND – трапеция (по опр) MK=KA (по усл) NP=PD (по п.1) A K M B C N P D KP – средняя линия (по опр) KP=½ (MN+AD)

• 
  Слайд 25
  

  4. Из п.2 и п.3 KP=½ (½ (BC+KP)+AD)= = ½ (½KP+6)=¼KP+3 ¾KP=3 KP=4MN=3 Ответ: MN=3; KP=4 A K M B C N P D

• 
  Слайд 26

  Задача №3

  В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса острого угла; отрезок, соединяющий её основание с точкой пересечения медиан, перпендикулярен катету. Найдите углы треугольника.

• 
  Слайд 27

  Дано:

  Δ ACB – прямоугольный BE – медиана; AE=EC AD – биссектриса CAB OD BC Найти: A и B A C B O E D

• 
  Слайд 28

  Решение:

  OB EO 1 2 = 1) (по св-ву медиан) OD||EC , т.к. ACB=90и OD BC (по усл) A C B O E D BD CD EO OB = 1 2 = (по теореме Фалеса) 2) AC CD BD AB = BD CD AC AB = (по св-вубис-сы) AC AB 1 2 = sin B= ½ B=30 A=60 Ответ: 30; 60

• 
  Слайд 29

  Задача №4

  Дана трапеция ABCD с основаниями AD=aи BC=b. Точки M и N лежат на сторонах AB и соответственно, причём отрезок MNпараллелен основаниям трапеции. Диагональ AC пересекает этот отрезок в точке O. Найдите MN, если известно, что площади треугольников AMO и CNO равны.

• 
  Слайд 30

  Дано:

  ABCD – трапеция AD и BC – основания AD=a; BC=b M AB; N CD MN||BC||AD AC MN=O SΔAMO=SΔCNO Найти: MN A B C D M N O

• 
  Слайд 31

  Решение:

  1. BM/AM=CO/OC=CN/ND 2. Доп. построение: CH AD, CH MN=K 3. CK/KH=BM/AM=CO/OA=CN/ND 4. Пусть CK=h; KH=m, тогда, выражая отношение площадей равных треугольников через введенные величины, получаем: ON/MO=m/h 5. Т.к. ΔMAO ΔBAC (по двум углам) MO=(b AO)/AC 6. Т.к. ΔOCN ΔACD (по двум углам) ON=(a CO)/AC 7. AO/OC=m/h= 8. MO=b /( + ); ON=a /( + ) 9. MN=MO+ON= A B C D M N O H K Ответ:

• 
  Слайд 32
  

  Благодарю за внимание!